6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例新課程標準解讀核心素養1.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題數學建模2.體會向量在解決數學和實際問題中的作用數學運算、邏輯推理知識梳理·讀教材01題型突破·析典例02知能演練·扣課標03目錄CONTENTS01知識梳理·讀教材?

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在生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一桶水，兩人手臂夾角越小越省力.在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越小越省力.問題

你能從數學的角度解釋上述現象嗎？

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?知識點

平面向量的應用1.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系.2.向量在物理中的應用（1）物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等；（2）向量的加減法運算體現在力、速度、加速度、位移的合成與分解中；（3）動量mv是向量的數乘運算；（4）功是力F與所產生的位移s的數量積.用向量法如何證明平面幾何中AB⊥CD？

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A.平行四邊形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形

2.某人在無風條件下騎自行車的速度為v1，風速為v2（｜v1｜＞｜v2｜），則逆風行駛的速度的大小為（

）A.v1－v2B.v1＋v2C.｜v1｜－｜v2｜D.解析：題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實數.故逆風行駛的速度的大小為｜v1｜－｜v2｜.3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），則BC邊的中線AD的長為

?.

02題型突破·析典例?

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題型一平面向量在平面幾何中的應用角度一：平行或共線問題【例1】

如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點，延長CD到M使DM＝CD，延長BE到N使BE＝EN，求證：M，A，N三點共線.

通性通法證明A，B，C三點共線的步驟（1）證明其中兩點組成的向量與另外兩點組成的向量共線；（2）說明兩向量有公共點；（3）下結論，即A，B，C三點共線.角度二：垂直問題【例2】

如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD（異于B，D）上的一點，四邊形PECF是矩形，用向量證明：PA⊥EF.

法二

以D為原點，DC，DA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.

通性通法

角度三：長度問題【例3】

如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長.

通性通法

角度四：夾角問題【例4】

已知長方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E為OC中點，P為AO上一點，利用向量知識判斷當點P在什么位置時，∠PED＝45°.解

如圖，建立平面直角坐標系，則E（1，0），D（2，3），設P（0，b）（0≤b≤3），

整理得2b2－3b－2＝0，

通性通法平面幾何中夾角問題的求解策略

利用平面向量解決幾何中的夾角問題時，本質是將平面圖形中的角視為兩個向量的夾角，借助夾角公式進行求解，這類問題也有兩種方法，一是利用基底法，二是利用坐標運算.在求解過程中，務必注意向量的方向.?

?如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點D在線段BC上，且DC＝2BD.求：（1）AD的長；

（2）∠DAC的大小.

題型二平面向量在物理中的應用角度一：利用向量解決速度、位移問題

解

設風速為v0，有風時飛機的飛行速度為va，無風時飛機的飛行速度為vb，則va＝vb＋v0，且va，vb，v0可構成三角形（如圖所示），

角度二：利用向量解決力與做功問題【例6】

一個物體受到同一平面內三個力F1，F2，F3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m.其中｜F1｜＝2N，方向為北偏東30°；｜F2｜＝4N，方向為北偏東60°；｜F3｜＝6N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功.

通性通法

平面向量在物理的力學、運動學中應用廣泛，用向量處理這些問題時，先根據題意把物理中的相關量用有向線段表示，再利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則轉化為代數方程來計算.?

?兩人提起一個旅行包，旅行包所受的重力為G，兩人用力大小都為｜F｜，夾角為θ，若｜F｜＝｜G｜，則θ的值為（

）A.30°B.60°C.90°D.120°

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?1.如果一架飛機向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機飛行的路程為s，位移為a，則（

）A.s＞｜a｜B.s＜｜a｜C.s＝｜a｜D.s與｜a｜不能比大小

A.是正三角形B.是直角三角形C.是等腰三角形D.形狀無法確定

A.5NB.5NC.5ND.5N

4.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D為AC的中點，則cos∠BDC＝（

）A.－B.C.0D.

答案：103知能演練·扣課標?

?1.兩個大小相等的共點力F1，F2，當它們夾角為90°時，合力大小為20N，則當它們的夾角為120°時，合力大小為（

）A.40NB.10NC.20ND.10N

A.角C為鈍角的三角形B.角B為直角的直角三角形C.銳角三角形D.角A為直角的直角三角形

A.B.2C.13D.26

A.B.2C.3D.2

5.（多選）設a，b，c為同一平面內具有相同起點的三個任意的非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，｜a｜＝

｜c｜，則｜b·c｜的值一定等于（

）A.以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B.以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積C.以a，b為兩邊的三角形面積的2倍D.以b，c為兩邊的三角形面積解析：設b與c的夾角為α，a與b的夾角為θ，則｜b·c｜＝｜b｜·｜c｜·｜cosα｜＝｜b｜·｜a｜·｜cos（90°±θ）｜＝｜b｜·｜a｜·sinθ.故選A、C.

A.·＝－B.存在點P，使｜｜＜｜｜C.·＝0D.AC＝BC

8.有一東西方向的河流（假設河流寬度一樣），一艘快艇從河南岸出發渡河，快艇航行速度的大小為2m/s，方向為北偏西30°，河水的速度為向東1m/s，經過20s到達北岸，現快艇從北岸返回，速度大小不變，方向為正南，從北岸出發返回南岸的時間是

?.

10.如圖所示，若D是△ABC內的一點，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC.

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A.點P在線段AB上B.點P在線段AB的反向延長線上C.點P在線段AB的延長線上D.點P不在直線AB上

A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶5

14.如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，AB＝2.

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?15.（多選）一物體受到3個力的作用，其中重力G的大小為4N，水平拉力F1的大小為3N，另一力F2未知，則（

）A.當該物體處于平衡狀態時，｜F2｜＝5NB.當F2與F1方向相反，且｜F2｜＝5N時，物體所受合力大小為0C.當物體所受合力為F