第十八章勾股定理18.2勾股定理的逆定理第1課時勾股定理的逆定理學習導航學習目標新課導入自主學習合作探究當堂檢測課堂總結一、學習目標1.知道勾股定理的逆定理2.能利用勾股定理的逆定理來判斷一個三角形是不是直角三角形(難點)二、新課導入

據說，古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根繩子分成等長的12段,然后以3段，4段，5段的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）思考：按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎?三、自主學習知識點勾股定理的逆定理下面有三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題1：分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是三、自主學習下面有三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題2：這三組數在數量關系上有什么相同點？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.a2+b2=c2問題3：古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？∵32+42=52，∴滿足.三、自主學習問題4：據此你有什么猜想呢?由上面幾個例子，我們猜想：命題

如果三角形的三邊長a,b,c，滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.思考：這個猜想成立嗎？三、自主學習證明猜想：已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．A

B

C

abc證明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a，則A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2∵a2+b2=c2,∴A'B'2=c2,A'B'=c在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)，∴∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形.三、自主學習勾股定理的逆定理:

如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對應的角為直角.注意：四、合作探究問題提出：下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？(1)a=15，b=8，c=17；探究一利用勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形問題探究：(1)最小的兩個數是

.15和8152+82=

，172=

，

289289∴152+82

172，

解：∵82+152=64+225=289，172=289，∴82+152=172，根據勾股定理的逆定理可知，這個三角形是直角三角形.問題解決：=四、合作探究問題提出：下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？(2)a=13，b=14，c=15；問題探究：(2)最小的兩個數是

.13和14132+142=

，152=

，

365225∴132+142

152，

問題解決：≠解：∵132+142=169+196=365，152=225，∴132+142≠152，根據勾股定理，可知這個三角形不是直角三角形.探究一利用勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形四、合作探究歸納總結：

根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.探究一利用勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形四、合作探究解：AF⊥EF.理由如下：設正方形的邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.

如圖，在正方形ABCD中，F是CD的中點，E為BC上一點，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關系，并說明理由．探究二綜合利用勾股定理及其逆定理證明三角形是直角三角形五、當堂檢測1.下列各組線段中，能構成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一個三角形的三邊的長分別是3，4，5，則這個三角形最長邊上的高是（）A．4B．3C．2.5D．2.4D五、當堂檢測3.若△ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，試說明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.五、當堂檢測4.已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數).試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2