2023-2024學年上海市高二下冊開學考試數學模擬試題

一、填空題

1.已知集合”={-3,T,0,l,2},8={x|W>l},則/n8=.

【正確答案】{-3,2}

將A中元素逐個代入判斷|x|>1是否成立即可得解.

【詳解】將A中元素逐個代入卜|>1,符合的有-3、2,即Zc8={-3,2}.

故答案為.{-3,2}

本題考查了描述法表示集合和集合的交集運算，屬于基礎題.

2.函數y=1的定義域為.

【正確答案】（-8,0]

【分析】由根式的性質，結合指數函數單調性及指對數關系求自變量范圍，即得定義域.

【詳解】由題設出-120,故Eogj=0,故定義域為（-8,0].

故（-8,0]

3.設向量）=（2,1）,"是與￡方向相反的單位向量，則工的坐標為.

【正確答案】卜羋,

【分析】根據相反向量、向量模的概念，求得2相反向量的坐標及模長，即可求"的坐標.

【詳解】由Z相反向量為（-2,-1）且模長為指，

4.復數3-4i的虛部是.

【正確答案】-4

【分析】利用復數的相關概念即可得解.

【詳解】由復數虛部的概念，易知復數3-4i的虛部為-4.

故答案為.-4

5.已知sina=,則cos2a的值為.

7

【正確答案】-

【分析】應用二倍角余弦公式求值即可.

17

【詳解】由cos2a=l-2sin2a=l-2x—=-.

故：

6.在所有由1,2,3,4,5這五個數字組成的無重復數字的五位數中，任取一個數，則取

出的數是奇數的概率為.

3

【正確答案】-##0.6

【分析】根據古典概型的概率公式即可解出.

【詳解】任意一個數，共有5種可能，而這個數是奇數的可能有3種，所以任取一個數，則

取出的數是奇數的概率為尸=1.

故].

7.已知公差為d(dR0)的等差數列其中Y=a。，則馬二幺=__________.

a5

3

【正確答案】一二##-0.75

4

4

【分析】由題干條件得到q=-；〃，從而求出答案.

【詳解】由題意得：(q+2d)2=q(q+d),解得：(3q+44)d=0,

4

因為dwO,所以q=-§d,

Q]—+%—%—2d—2d3

則^一不方二包+J了，

3

故

4

8.已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的4倍，則它的側面積擴大為原來的

___________倍.

【正確答案】2

【分析】求出底面半徑擴大為原來的2倍，從而得到側面積擴大為原來的2倍.

【詳解】設圓柱的高為力，底面半徑為，則體積為Q%,體積擴大為原來的4倍，則擴大

后的體積為4口2〃，因為高不變，故體積4兀/〃=兀(",即底面半徑擴大為原來的2倍,

原來側面積為2箱力,擴大后的圓柱側面積為27t-2泌=4兀心,故側面積擴大為原來的2倍.

故2

9.某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)A和8,系統A和系統8在任

意時刻發生故障的概率分別為上和?，若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為

【正確答案】15##0.2

【分析】根據相互獨立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.

【詳解】由題意可得：?-P)+—%+

]49I

整理可得：1-而P=W，解得：P=飛,

故答案為?

10.直線/過點尸(1,3),且在兩坐標軸上的截距相等，則直線/的方程為

【正確答案】y=3x或x+y-4=0

【分析】分截距為0和不為0兩種情況討論即可.

【詳解】錯解：因為直線/過點P0,3),且在兩坐標軸上的截距相等，

設直線/的方程為±+上=1,則L+]=1,所以。=4,

故直線/的方程為:+4=1,

44

即x+>-4=0.

錯因：錯誤原因是忽略直線/過原點，截距為零的情況.

正解：

若直線/過原點，滿足題意，此時直線/的方程為y=3x；

若直線/不過原點，設直線/的方程為'+上=1,

aa

13

則±+1=1,所以。=4,

故直線/的方程為;+4=1，即》+k4=0.

44

綜上，直線/的方程為N=3x或x+y-4=0.

故>=3x或x+y-4=0.

II.將函數y=/(x)的圖象關于y軸對稱，得到V=g(x)的圖象，當函數了=/(》)與^=8(力

在區間句上同時遞增或同時遞減時，把區間司叫做函數y=/(x)的“不動區間”.若區

間［1,2022］為函數>=|10'的“不動區間”，則實數，的取值范圍是.

【正確答案】，。

【分析】求出函數>=的圖象關于了軸對稱對稱的函數的解析式為分

140、f>0兩種情況討論，化簡兩個函數的解析式，對兩個函數在區間［L2022］上的單調性

進行分類討論，可的關于實數，的不等式(組)，綜合可求得實數f的取值范圍.

【詳解】函數y=|io、—|的圖象關于y軸對稱對稱的函數的解析式為y=|ior-f|,

因為區間［1,2022］為函數y=|10'-J的“不動區間”，

所以，函數N=與函數—|在［1,2022］上的單調性相同，

若比0,則_y=|10、T|=10'T在［1,2022］上單調遞增，

y=|10-t-z|=10-1-/在［1,2022］上單調遞減，不合乎題意；

若r>0,則y=WT=［l°'T'W,y=WT=［l°-'-'"'一3

若函數y=在［1,2022］上單調遞增，則lg”l,可得0<fW10,

此時函數、=|10一'-4在［1,2022］也單調遞增，則-lg/41,可得此《，則《4T10；

若函數V=|10'T在口，2022］上單調遞減，則1gd2022,可得合仃以，

此時函數了=|1。-'-4在［1,2022］也單調遞減，則一lg/22022,可得0<f4］。以?，則/不存在.

綜上所述，實數r的取值范圍是10.

故答案為.，0

12.已知數列｛”“｝的前〃項和為S“（S,片0）,7；為數歹￡s.｝的前〃項積，滿足S,+Tn=s?-Tn（n

2

為正整數），其中北=4,給出下列四個結論：①勾=2；②見=〃（2〃_1）；③｛4｝為等差數

列；④S”=出■.其中所有正確結論的序號是.

n

【正確答案】①③④

【分析】根據關系式S“+7；,=S,j7；,當”=1時，即可求得q的值；由S,,+?；=$,,名得

北=不。，當〃22時，可得兩式相除整理可證明為等差數列，即

可求得S,，從而可求得由此得以判斷各結論.

【詳解】因為S,+[=5.2（〃eN*）,

所以當〃=1時，S1+7；=S[Z=>2q=4，解得％=2或q=0,

又S,產0,所以4*0,故4=2,故①正確；

s

因為易得s〃，l,所以,

3“T

當心2時，a=,

所以導含、守，則5,=含x『，

所以一^―=^^=（s”T_i）+i=[t_,i）ii]—!—--

——=1

5?-iSi—1Sr—1S.「1"S「1，Sn—1,-1

iii

又----=-----=i?

S,-laA-\

所以｛白[是以S_]=1為首項，1為公差的等差數列，

所以C1=1+（〃1）x1=〃，則S〃一——，

，一1n

n-4-1

經檢驗，5=4=2滿足上式，所以S,=l,故④正確;

n

n+\

所以則？；-a=（〃+1）-〃=1,n>2,

3〃T〃十Li

n

所以憶｝為等差數列，故③正確;

2

當心2時,a=S?-S?_

nxnn—\n(?—1)

又％=2不符合上式,

2,”=1

所以故②錯誤.

4=14^i),n-r

故①③④.

二、單選題

13.已知Ia>0,b>0,若〃+6=4,則

A./+〃有最小值B.有最小值

c.—+!有最大值

D.^^有最大值

ab

【正確答案】A

【分析】根據基本不等式的性質，即可求解a?+b2有最小值，得到答案.

【詳解】由題意，可知a>0,b>0,且a+b=4,

因為”>0,b>0,則4+622疝，即審)2=4,

JW^a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab>16-2x4=8,

當且僅當a=b=2時，等號成立，取得最小值8,

故選A.

本題主要考查了基本不等式的應用，其中解答中合理應用基本不等式求解是解答的關鍵，著

重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

14.設函數〃x)=asinx+cosx(a為常數)，則“a=0”是“/(x)為偶函數”的()

A.充分非必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【正確答案】C

【分析】根據定義域為R的函數/(x)為偶函數等價于/(-x)寸(外進行判斷.

【詳解】解：當a=0時，/(x)=asinx+cosx=cosx,所以/(x)為偶函數；

當fM為偶函數時，f(-x)=f(x)對任意的x恒成立，

/.f（-x）=asin（-x）+cos（-x）=-asinx+cosx,

即Qsinx+cosx=-asinx+cosx,得asinx=0對任意的x恒成立，從而a=0.

從而是"/（x）為偶函數”的充分必要條件.

故選：C.

15.點M（2,l）到直線/:（2/l+l）x+（lT）y+3=0MeR）的距離的最大值為（）

A.|V5B.V5C.3D.3〃

【正確答案】D

【分析】由題意，求得直線所過定點，由兩點之間距離公式，可得答案.

【詳解】由直線/:（24+l）x+（l-/l）y+3=0,（；leR）,整理可得（2x—y）/l+x+y+3=0,

2x-y=0x=-l

令二3解得

y=-2

點M（2,l）到直線/距離的最大值為點M（2,l）到定點（-1,-2）的距離，則

J（2++（1+2）2=3五,

故選：D.

16./（-2,0）,5（2,0）,C（O,2）,￡（-1,0）,尸（1,0）,一束光線從點尸出發射到8c上的點

D,經8c反射后，再經NC反射，落到線段ZE上（不含端點），則￡0的斜率的取值范圍

是（）

A.°°,2）B.（0,+8）

C.。,+8）D.（4,+oo）

【正確答案】D

【分析】先根據題意求得4-2,0）關于直線BC對稱的點為4（2,4），點司-1,0）關于直線/C

的對稱點為&（-2,1），點￡（-2,1）關于直線8c的對稱點為芻（1，4），再數形結合得到點。的

變動范圍，從而得到與。＞與戶，由此得解.

（O=2k+b\k=-\

【詳解】設直線8c方程為y=h+"則、A，解得/、，即8C:y=-x+2,即

\2=h\b=2

BC:x+j/-2=0,

y

1

x+2\x=2/、

設”(一2,0)關于直線BC對稱的點為4(x,y),則，，解得］=4'即4(2,4)，

x-2+

4尸=4，

同理可得:

點￡(-1,0)關于直線AC:y=x+2的對稱點為弱(-2,1),

點E](-2,1)關于直線BC:y=-x+2的對稱點為點(1,4),

如圖所示:

利用光線反射的性質可知，當這束光線反射后最終經過點A時，則其先經過點N；當這束

光線反射后最終經過點E時，則其先經過點

所以點之間為點。的變動范圍，

因為打(1,4),尸(1,0),所以直線F即直線FN斜率不存在,而kFN=%=4,

所以《P>%FN=4,即%,€(4,+8).

故選：D

三、解答題

17.如圖，設長方體/BCD-44cA中，AB=BC=3,AAt=4.

（1）求異面直線MB與B}C所成角的大小;

（2）求二面角4-4C-B的大小.

【正確答案】（l）arccos^l

9

（2）arccos—

【分析】（1）（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；

【詳解】（1）解：以。4,DC,。。為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4（3,0,4）,5（3,3,0）,B,（3,3,4）,C（0,3,0）,

UUU____

48=(0,3,-4),配=(-3,0,-4),

1616

.?.COS（麗配”絲雪

716+9x716+925，

二異面直線4B與8c所成角的大小為arccos石；

(2)解：福=(0,3,0),而=(3,0,0),

設平面48c的一個法向量為5=(x,y,z),

n-A.B=3y-4z=0/、

則｛」_-，令P=4,則斤=0,4,3),

RCB=3x=Q

設平面J,B,C的一個法向量為成=(a,6,c),

fn-A.B.=3b=0

則，令a=4,則/=(4,0,-3),

inBiC=-3a-4c=0

3〈加=￡=總而=又二面角4C-8為銳二面角，

9

*'?二面角B、-4c-B的大小為arccos石.

18.在N8C中，有6sin/=acos(5-/),其中a,6,c分別為角48,C的對邊.

(1)求角3的大?。?/p>

(2)設點。是NC的中點，若80=6,求的取值范圍.

【正確答案】(1)B=W；

(2)2^3<a+c<4.

【分析】(1)由正弦定理邊角關系將條件轉化為asin8=acos(B-^J,應用差角余弦公式

及三角形內角性質求角的大?。?/p>

(2)延長到E滿足DE=8Z),連接4E,CE,易知/8CE為平行四邊形，再應用余弦定

理、基本不等式求上界，結合三角形三邊關系求下界，即可得范圍.

【詳解】(1)在/8C中，由正弦定理三=工，可得bsinZ=asin8,

smAsinB

由bsinN=acos(8—己)，得asinB=acos(3—,即sinB=cos(6—,

所以sinB二3cos8+」sinB,可得tan8=JJ,又。<B,可得4=^.

223

(2)如圖，延長8。到E滿足。￡=8D,連接4E,CE,則48CE為平行四邊形,

^[BE=2?NBAE="AB=c,AE=BC=a,

3

.-27r?%、

在B4E中,由余弦定理得：(20y=/+/-Zaccos7,即/+/+ac=12,

可變形為:(a+c)2-ac=12,BPac=(a+c)2-12,

由基本不等式得：ac=(a+c)2-12二工)，即(a+c)?416,得a+c44(當且僅當a=c=2

取等號）.

又AE+4B>BE,有a+c>2有，故"+c的取值范圍是2舊<“+。44.

19.已知IN8C的頂點月（5,1）,重心G（3,3）.

（1）求線段8c的中點坐標：

（2）記/8C的垂心為4,若B、，都在直線N=-x上，求//的坐標.

【正確答案】（1）（2,4）

（2）//（5,-5）

【分析】第一問根據頂點到重心的距離與重心到底邊中點的距離比為2:1,可得對應的共線

向量解決求8c的中點：根據求NC,設點C的坐標，根據8c的中點可以用C表示8,

根據點C在NC上且點8在8〃上，求出點C的坐標，根據8c與/“垂直求出"，的方程，

然后聯立4H與BH.

【詳解】（1）設8c中點材卜。,人），

因為G為/8C的重心，且/（5,1）,G（3,3）,

所以刀=2而，即（一2,2）=2（Xo—3,%-3）

所以[與-J,所以5c中點“4）

[%-3=1[%=4

（2）因為5”的方程為歹=—x,且〃為/8C的雍心

所以凝H-kAC=-1即-1=T，所以原C=1

所以直線/C的方程為：y-\=x-5,即y=x-4

所以設點C（Xc，2-4）,又因為8c的中點“（2,4）,設6（%,乙）則

X5+XC=2X2=4（XB=4-xc

j^j?+xc-4=2x4=8[yB=12-xc

又因為點8在直線V=—X上，即12-2=—（4-2）,所以2=8

所以C（8,4）,所以怎C=KC=M=。，則8c邊上的高線為X=5

而點〃也在直線B"：J，=-x上，所以點月的坐標即為4"與8〃的交點

即“（5,-5）.

20.第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊

通過點球戰勝法國隊獲得冠軍.

FIFAWORLDCUP

Q/W

（i）撲點球的難度一般比較大,假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方

向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向

判斷正確也有;的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰中，求門將在前三次

撲到點球的個數X的分布列和期望；

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球

從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向

另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前球在甲

腳下的概率為p〃，易知P|=l,P2=0.

①試證明：｛p,,-；）為等比數列；

②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為仙，比較與的大小.

【正確答案】（1）分布列見解析；期望為］

（2）①證明見解析；②口0</。

【分析】（1）方法一：先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數

學期望；

方法二：判斷X~8（3,￡|,結合二項分布的分布列和期望公式確定結論；

（2）①記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為p,，則當〃N2時，第n-I次傳球之前球在

甲腳下的概率為P.T，由條件確定P,,，P,i的關系，結合等比數列定義完成證明；

②由①求出口。,小。，比較其大小即可.

【詳解】（1）方法一：X的所有可能取值為0」,2,3,

在一次撲球中，撲到點球的概率Pg+Zj

X0123

512192241

P

729729729729

%xl+*x2+-Lx3=班:L

E（X）=

7297297297293

方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為p=；x；=1,

門將在前三次撲到點球的個數X可能的取值為0,1,2,3,易知

所以尸（X=A）=C；田”=。』23

故X的分布列為:

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E（X）=3xt=；.

（2）①第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為P“，

則當〃22時，第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率為p,i,

第n-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-P,T，

貝Pn=P?-\xO+（1-P“_Jxg=Pe-4,

即P"=TP“「H'又巧T=

所以｛p“-是以;為首項，公比為一;的等比數列.

②由①可知P“=!■（-；）+|＞所以四。=|[-；）+：＜；，

…I/,、1122（1丫11

所以/。=弓（|一歷。）=3f一不一?。?,

故Pio＜價0?

21.設函數/（x）的定義域為R.若存在實數以6、m、“（4*6）使得〃X）+〃2"X）=2"7,

/（x）+/（26-x）=2〃均對任意xeR成立，則稱/（x）為“（a,b,m,n）型一Q函數”.

（1）若/（x）是"（0,1,0,0）型一C函數”，求/（2020）的值；

（2）若/（X）是“（0,1,0,1）型―。函數”，求證：函數y=/（x）-x是周期函數：

（3）若“X）是“（”,6,外〃）型—復函數”，且/（x）在R上單調遞增，求證:存在正實數c、M,

使得|/（力-蜀4M對任意xeR成立.

【正確答案】（1）0；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【分析】（1）由/（x）是"（0,1,0,0）型一。函數“，可得a=O,b=l,機=0,〃=0,結合已知條件,

即可求得/(2020