2023-2024學年山東省范澤市單縣高一上冊期末數學試題

一、單選題

1.已知集合/={xeZ|-3Vx<3},M={1,2},N={O,1},則偽M)uN=()

A.(—3,1]B.[—2,1]C.2,—1,0,1}D.{0}

【正確答案】C

【分析】利用補集及并集的定義運算即得.

【詳解】?.?集合/={xeZ|-3Vx<3}={-2,-1,0,1,2},M={1,2},TV={0,1},

.?.樹={-2,-1,0},(,M)uN={-2,-1,0,1}.

故選：C.

2.函數>=號空的定義域為()

A.(1,2)B.[1,2)

C.(1,2]D.[1,2]

【正確答案】A

【分析】根據具體函數的定義域建立不等式組，解之可得選項.

fx-l>0

【詳解】解：由題意得cC，解得1<X<2,所以所求函數的定義域為(1,2).

[2-x>0

故選：A.

3.已知。=log23,b=2-0A,C=0.52J,貝Umb,c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【正確答案】C

【分析】利用對數函數、指數函數單調性并結合“媒介”數即可比較判斷作答.

【詳解】函數y=log2%在(。，+8)上單調遞增，而3>2,則。=log23>log22=l,

力=244=0.5。4,函數y=0.5、在R上單調遞減,Ov0.4<2.1,則OS」<OS。"<0.5°=1,即

c<h<\,

所以a,Zbc的大小關系為cvbva.

故選：c.

3

4.已知a,夕都是銳角，sina=1,cos(a+〃)=-----,則sin/?=()

16

A.1B,D.

465

【正確答案】C

【分析】先利用平方關系求得cos。,sin(a+〃)，再由sin〃=sin[(a+6)-a]求解.

【詳解】因為。“《，。”苦,

所以Ova十月〈冗，

所以cosa=>/l-sin2a-：,sin(a+戶)=Jl-cos?(a+m=,

所以sin/7=sin[(a+")_a],

=sin(a+^)cosa-cos(a+/7)sina,

5412356

=——x——|-----x-=——

13513565

故選：C

5.己知是奇函數，且當xvO時，/(%)=-ef若/(In2)=8,則”()

A.3B.—3C.—D.—

33

【正確答案】B

【分析】根據函數奇偶性的性質，進行轉化，建立方程進行求解即可.

【詳解】解：/㈤是奇函數,且當xv()時，/(幻=一*.若f(ln2)=8,

.?./(-ln2)=-/0n2)=-8,

則一產2=一8,

得尸=8,

得In8=-aln2,

即31rl2=—aln2,

得—a=3,得a=—3,

故選：B.

21

6.己知心＞0,)＞0,且一+—=1,若x+2y＞蘇恒成立，則實數機的取值范圍是()

A.m<—2y[2^tn>272B.，彷一4或論2

C.-2</n<4D.-2/<m<2y/2

【正確答案】D

【分析】由基本不等式得出x+2y的最小值，進而得出實數〃，的取值范圍.

21.

【詳解】；x>0,y>0且一+—=1,

xy

c(21]4+也+*4+2但三=

.,.x+2y=(x+2y)—+—

Jy)yNXy

當且僅當匕=4,即x=4,y=2時取等號,

(x+2y)疝〃=8,要使x+2y>〃，恒成立,

只需(%+2y)"”心加2恒成立，即8>加2,解得一2行<m<2V2.

故選：D

7.若不等式(〃-2)V+4(a—2)x+3>0的解集為R,則實數。的取值范圍是()

B.吟

D.(-8,2]噌,+8

【分析】由不等式解集為R，則分二次項系數為0及不為0兩種情況討論，結合二次函數圖

像得出結論.

【詳解】???不等式(a-2)d+4(a_2)x+3>0的解集為R,

當a-2=0,即〃=2時,不等式為3>0恒成立,

故。=2符合題意；

當〃-2W0,即aW2時，不等式(〃一2)f+4(〃_2)x+3>0的解集為R,

tz—2>011

則「“八千”小c八，解得2<a<下，

A=[4(tz-2)J-4(a-2)x3<04

綜合①②可得，實數”的取值范圍是2,2).

故選：B.

8.十七世紀德國著名的天文學家開普勒曾經這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定

理，另一個是黃金分割.”黃金三角形有兩種，中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被

認為是最美的三角形，它是一個頂角為36。的等腰三角形(另一種是頂角為108。的等腰三角

形).例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金；

中，生=近二1根據這些信息，可得COS144。：()

AC2

4884

【正確答案】A

【分析】在ABC中，先求出sinl8。，然后由二倍角公式求出cos36。，由誘導公式得出答案.

【詳解】由圖在等腰ABC中，厶=36。，過點A作4/丄BC,交BC于H點、.

則NC4H=：ZA=18。，所以0馬所2BC1^5-1舊-1,

2sm1o=-=—x---------=--------

AC224

cos144°=cos（180。-36。）=-cos36。=-.

故選：A.

二、多選題

9.若a>b,則下列不等式一定成立的是(）

A.Iga2>1g/?2B.2~a<2~hc-14D.a3>Z?3

【正確答案】BD

【分析】應用特殊值。=2>6=-3,判斷A、C,根據y=2*,y=x?的單調性判斷B、D.

,11

【詳解】當a=2>b=-3時，則22<(-3)一=9,而Ig4<lg9,又萬",，

...A,C不正確：

Vj=2l,y=Y都是R上單調遞增函數，

...B,D是正確的.

故選：BD.

10.下列說法錯誤的是()

A.命題“\/》€氏尤222”的否定是“外€區/<2”

B.命題“Hre(-3,+oo),x2&9”的否定是“\/了€(-8,-3],*2>9”

C."V>丁”是“x>y”的必要而不充分條件

D."機<0"是“關于x的方程￡-2x+,〃=0有一正一負根”的充要條件

【正確答案】BC

【分析】根據全稱命題的否定判斷A,根據特稱命題的否定判斷B,根據充分性和必要性的概

念判斷C,根據充分性和必要性的概念判斷D.

【詳解】A.命題“VxeR,x222”的否定是“二eR,x2<2",故正確；

B.命題Jxe(-3,+8),》249”的否定是“以€(-3,+8),?>9"，故錯誤；

C.x2>y2oW>N，w>w不能推出x>>,x>y也不能推出國>3,所以3>丁”是

“%>尸’的既不充分也不必要條件，故錯誤；

[4-4m>0

D.關于x的方程/-2犬+m=0有一正一負根=%<0,所以“隕<0”是“關于x

[〃?<0

的方程V-2x+機=0有一正一負根”的充要條件，正確.

故選：BC

11.將函數>=sinx圖象上各點的橫坐標縮小為原來的丄，縱坐標不變，再將所得圖象向左

4

平移三個單位長度得到函數y=/(x)的圖象，則()

B.y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸間距離為:

c.“X）在（霊,小上單調遞減

D.“X）在0,（上的值域為-；/

【正確答案】BD

【分析】直接利用三角函數圖象的變換和正弦型函數的性質的應用判斷A、B、C、D的結

論.

【詳解】函數y=sinx圖象上各點的橫坐標縮小為原來的;，縱坐標不變，得到y=sin4x的

4

圖象，再將所得圖象向左平移4個單位長度得到函數丁=/（x）=$抽（以+看）的圖象；

對于A：,dg]=sin^=:，故A錯誤；

16丿o2

對于B：函數的最小正周期為竺=g,故相鄰兩條對稱軸間距離為;，故B正確；

424

對于C：由于X1工,小，所以+當，等],函數在該區間上單調遞增；

"22丿o\oo）

故C錯誤；

對于D：由于所以4x+Je住,?1,所以函數的值域為[-[1],故D正確.

L4J6（66丿L2J

故選：BD.

12.設函數/（x）=；+"二>1,則（）

2'+?,%<1

A.當”=1時，“X）的值域為（y,4]

B.當〃x）的單調遞增區間為（YO,2]時，a<\

C.當14a43時,函數g（尤）=<（工）-3有2個零點

D.當。=3時，關于x的方程/（尤）=]有3個實數解

【正確答案】ABD

【分析】分析：對A,先求出函數在每一段的范圍，進而求出函數的值域；

對B,先得出函數的單調區間，然后結合條件求出的范圍；

對C,根據函數零點的個數討論出。的范圍，進而判斷答案：

對D,畫出函數的圖象即可得到答案.

【詳解】A.當a=l時，若x>l,/(x)=-x2+4^=-(x-2)'+4e(^?,4],

若E,/(x)=2'+le(l,3],于是/(x)的值域為(p,4],故A正確;

Bj(x)的單調遞增區間是(—』]和(1,2],因為f(x)的單調遞增區間是(-8,2],所以

2+aV—1+4,即a41,故B正確；

C.當x>l時，由/(x)=3,得x=3,

當xWl時，令"x)=2"+a=3,得2*=3-a,此方程有唯一解，得0<3-aV2,即l4a<3,

故C錯誤；

7

D.當a=3時，如圖所示，〃x)的圖象與直線y=5有3個交點，D正確；

故選：ABD.

三、填空題

13.若角a的終邊經過點打4,一3),則sin^-aJ-cosS-aX

O

【正確答案】-##1.6

【分析】先由已知求出cosa的值，再利用誘導公式化簡可得答案.

,、x44

【詳解】因為角。的終邊經過點尸(4,-3),所以cos°=;=ja+(_3『=《'

所以sin—a)-cos(4一a)=cosa—(一cosa)=2cosa=2x[=￡,

山8

故W

14.函數y=loga(2x—3)+8的圖象恒過定點A,且點A在幕函數人龍)的圖象上，則/(3)=

【正確答案】27

【分析】由對數函數的圖象所過定點求得A點坐標，設出幕函數解析式，代入點的坐標求得

幕函數解析式，然后可得函數值.

【詳解】由題意2尤-3=1,x=2,則y=8,定點A為(2,8),

設/(x)=xa,貝ij2a=8,a=3,".f(3)=33=27.

故27

Ze*"x<4

5已知函數〃')=[2gl2).4'則?(4))=—"

【正確答案】2

【分析】由已知先求出f(4),然后根據函數解析式進而可求.

2e"*"2x<4

【詳解】因為〃X)=,:,，八,

72

'log2(x-12),x>4

所以〃4)=log24=2,

則f(/(4))=〃2)=2.

故2.

16.若函數/(x)=sin(x+s)+cosx(0<9V不)的最大值為2,則常數夕的值為.

【正確答案】g

2

根據兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得〃x)=Jcos2s+(sin夕+l『sin(x+e),可

得Jcos2>+(sin夕+1『=2,即可解出.

【詳解】因為/(x)=cosssinx+(sin°+l)cosx=Jcos2*+(sin/+l)-sin(x+6),

所以Jcos2>+(sin/+l)2=2,解得sine=l,因為0<9</，所以夕=5.

TT

故答案為

2

四、解答題

17.設全集為R,A={x[x<-1或x>4},B={x|l-a<x<26!+3}.

⑴若a=l,求AcB,(QA)B.

(2)已知Ac3=0,求實數。的取值范圍.

【正確答案】(1)ACB={X|4<X45},(QA)u8={x|—14x45}；

(2)a《.

【分析】(1)當a=l時求出集合B,再進行交集，補集，并集運算即可求解；

(2)討論8=0和8x0兩種情況，列不等式解不等式即可求解.

【詳解】(1)因為〃=1,所以8={x|04x45},0A={x|-14x44},

所以Ac3={#lvx<5},=<x<5).

(2)因為AclJn。，

2

當3=0時，滿足Ac8=0,所以1一。>2〃+3,得。<一§；

2a+321—〃

21

當j?H0時，因為4c8=0,所以〈1一。之一1,解得一式,

32

2。+3?4

綜上實數。的取值范圍為4；

18.二次函數“力滿足〃x+l)-f(x)=2x,且"0)=1.

(1)求/(X)的解析式；

(2)若不等式/(x)>2x+機在區間［-1,1］上恒成立，求實數m的取值范圍.

【正確答案】⑴〃x)=d—x+1

(2)m<-1

【分析】(1)由分0)=1,可設〃%)=/+法+1(e),代入”x+l)—/(x)=2x,根據

系數對應相等可求“，6進而可求f(x)

(2)由題意得，V-x+1>2x+/n,BPx2-3x+l>加對xe［-l/恒成立，令g(x)=f—3x+l,

根據g(x)在上的單調性可求ga號,可求機的范圍.

【詳解】（1）由"0）=1,可設/（司=依2+法+1（。=0）,

V/(X+1)-/(A-)=2X,

/.6z(x+l)~4-/?(x+l)+l-(a￥12*4+bx+l^=2ax+a+h,

2a=2a=1

由題意得,，解得

a+b=Qb=-\

故/(x)=%2-x+l.

(2)由題意得，x2-x+1>2x4-zn,

GPX2-3x+l>相對Ll］恒成立,

令g(x)=x2-3x+l=(x-|)又g(x)在［一1,1］上遞減，故后(項血=g6=-l,

故相<一1.

sin2(^r-a)?cos(2^-a)?tan(一乃+a)

19.已知/(a)=

sin(一4+a)?tan(-a+34)

（1）化簡加）;

ITTTT

（2）若7（a）=d，且7<a<;,求cosa—s加a的值；

842

3\JT

（3）若&=一手，求式a）的值.

【正確答案】⑴〃a）=sinacosa；（2）-烏（3）-巨

【分析】（1）利用誘導公式化簡即可.

（2）由（1）可得sina-cosa=J,再利用同角三角函數的基本關系：將式子平方即可求解.

O

（3）由（1）利用誘導公式化筒即可求解.

sin2(;r-a)-cos(2"-a)tan(-/r+a)

【詳解】（1）由三角函數的誘導公式,

sin(一萬+a)?tan(-a+3乃)

siracosatana

----------------------=sma-cosa.

-sina(-tana)

1

(2)由)(a)=-,即sina?cosa=一,

88

又由(cosa-sina)?=cos2cr-2cosasincr+sin2a=1-^-=^

兀冗/Q

因為-ca<工，可得cosavsina,所以cosa-sina=-----

4722

20.在城市舊城改造中，某小區為了升級居住環境，擬在小區的閑置地中規劃一個面積為

200m2的矩形區域作為市民休閑鍛煉的場地(如圖所示)，按規劃要求：在矩形內的四周安排

2m寬的綠化，綠化造價為200元/n?,中間區域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，

硬化造價為100元n?.設矩形的長為x(m)

(1)將總造價八元)表示為長度x(m)的函數：

(2)如果當地政府財政撥款3萬元，不考慮其他因素，僅根據總造價情況，判斷能否修建起該

市民休閑鍛煉的場地?(夜=1.414)

【正確答案】⑴3=18400+400,xe（4,50）

(2)僅限最低造價情況，能夠修建起該市民休閑鍛煉的場地

【分析】(1)由題干直接列式；

(2)根據不等式可得%in，進而可判斷是否能夠修建起該市民休閑鍛煉的場地.

【詳解】(1)解：由矩形的長為x(m),則矩形的寬為W(m),

則中間區域的長為(x-4)m,寬為則定義域為xe(4,50),

貝iJy=100x出一4)+200200-(x-4)|^—-4^)1,

整理得>=18400+400(x+力，xe(4,50).

（2）解：x+—>2L—=20x/2,當且僅當》=剪時取等號，

X\XX

BPX=10N/2S（4,50）.

所以當x=100時，總造價最低為18400+8000夜~2.9712萬元<3萬元.

故僅限最低造價情況，能夠修建起該市民休閑鍛煉的場地.

71+"*_延

21.設函數/(k)=cosx.cosX--

4

（1）求/（X）的最小正周期和單調遞增區間；

（2）當xe時，求函數“X）的最大值和最小值.

【正確答案】⑴T=*單調遞增區間為*+5浮反伏eZ）；（2）最大值為9

最小值為

（1）本題首先可通過三角恒等變換將函數解析式轉化為“x）=；sin（2x-q）,然后通過周

期計算公式即可求出最小正周期，通過正弦函數的單調性即可求出單調遞增區間；

TTTT7TTT2乃

（2）本題可根據尤w得出2x-we,然后根據正弦函數的性質即可求出最

122J3|_63_

值.

【詳解】（1）/（JT）=cosx-cosfx-^4->/3sin2

3G

cosx+—sinx+V3sin2x-------

24

73

=一c°s%+料xcosx+Ain』一

2

G

=T

6

-

一

一4cos2x+—sin2x------cos2x=—sin2x------cos2x

4244

即〃x）=；sin12x-S，則最小正周期7=夸=",

、t,7T_,71/71_.

當---+2k7T<2x-------<—+2k7l,

即一^■+送+攵乃(ZEZ),函數/(x)單調遞增，

函數/(X)的單調遞增區間為-『k兀噂+kTT(ZeZ).

⑵/(x)=^sin^2x-yj,

?,.7C7C___7V7C27r

因為X￡-，—，所以2九一三￡--,

122J3[_63_

由正弦函數的性質易知，

當即x=A時，函數“X)取最小值，最小值為-；；

當2*W，即產凈卜函數“X)取最大值，最大值為1

關鍵點點睛：本題考查結合三角恒等變換判斷三角函數性質，能否根據三角恒等變換將函數

轉化為/(x)=gsin(2x-?)是解決本題的關犍，考查三角函數周期性、單調性以及最值的

求法，是中檔題.

22.已知函數/0)=1-