合肥六校聯盟20232024學年第一學期期末聯考高一年級數學試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集運算即可得解.【詳解】因為，，所以故選：A.2.下列各組函數表示相同函數的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】根據函數的定義域及對應法則判斷是否為同一函數即可.【詳解】對于A，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數，故A錯誤；對于B，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數，故B錯誤；對于C，函數與的定義域和對應法則都相同，所以表示相同的函數,故C正確；對于D，函數定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數，故D錯誤.故選：C.3.函數的零點所在的區間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數單調遞增，計算，，得到答案.【詳解】函數在上單調遞增，，，故函數零點所在的區間為.故選：B4.函數的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數的奇偶性及誘導公式，結合特殊值即可求解.【詳解】由，解得,所以函數的定義域為,所以,所以為偶函數，函數的圖象關于軸對稱，排除選項B，而，排除選項C，，排除選項A，故選：D.5.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函數、指數函數、對數函數的性質判定即可.【詳解】易知.故選：B6.已知函數（，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圖象得出，，進而求得，再代入點坐標，可得，進而求出.【詳解】由函數的圖像可知，，則，．由，解得，則，故，.故選：B7.已知，且，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，結合特殊角的三角函數值求出即可得解.【詳解】由，得，即，由，得，則，即，所以.故選：B8.已知函數是定義在上的函數,.若對任意的,且有,則不等式的解集為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因為等式可化為,即,令函數,根據函數是上的增函數,即可求得答案.【詳解】不等式可化為即令函數,由可得,結合函數是上的增函數又不等式,即不等式的解集為:.故選:C【點睛】利用函數性質解抽象函數不等式,解題關鍵是根據已知構造函數,利用對應函數單調性進行求解函數不等式,考查了轉化能力和分析能力,屬于中檔題.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多項符合題目要求，全部答對得5分，部分答對得2分，有選錯得0分.9.下列說法正確的是（）A.是第二象限角B.點是函數的一個對稱中心C.若角終邊上一點的坐標為（其中），則D.函數的圖象可由函數圖象向左平移個單位得到【答案】AC【解析】【分析】利用弧度制與角度制的轉化及象限角的定義可判斷A；直接代入檢驗即可判斷B；利用三角函數的定義可判斷C；利用三角函數的圖象的平移變換可判斷D.【詳解】對于A，的終邊與的終邊相同，所以為第二象限角，故A正確；對于B，由，故B錯誤；對于C，利用三角函數的定義知，故C正確；對于D，由，可由函數的圖象向左平移個單位得到，故D錯誤；故選：AC．10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個元素，則C.關于的不等式的解集，則不等式的解集為D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】【分析】因為命題否定一定要否定結論，故A錯誤；B中方程應該對是否為0進行討論，有兩個結果，故B錯誤；根據一元二次不等式的解法確定C的真假；根據充要條件的判定對D進行判斷.【詳解】對A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯誤；對B：當時，集合中也只有一個元素，故B錯誤；對C：因為關于的不等式的解集為，故，不妨設，則由韋達定理可得，，所以不等式，故C正確；對D：由“，”可得“”，但“”，比如時，“，”就不成立，故D成立.故選：CD11.若實數m，，滿足，以下選項中正確的有（）A.mn的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式解決條件的最值問題求解和為定值或乘積為定值.【詳解】解：對于A，由m，，得，又，所以，解得，當且僅當，即，時等號成立，所以mn最大值為，選項A正確；對于B，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，選項B錯誤；對于C，由，得，所以，當且僅當，即時等號成立，又m，，所以，選項C錯誤；對于D，由m，，，得，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，選項D正確．故選：AD．12.已知函數函數，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則有3個零點 D.若，則有5個零點【答案】ACD【解析】【分析】對A：直接計算即可；對B：先求得或，再求值；對CD：先由求得，，再依次求的解.【詳解】對A：，，故A正確；圖1對B：若，則或，當時，或，當時，由圖1可知或，故B錯誤；對C：若，由圖1可知則或，當時，由知只有一解，當時，由圖可知有兩解，故有3個零點，故C正確；對D：若，，由圖2知或或，當時，只有一根，當時，只有兩根，當時，只有兩根，所以共有5根，故D正確.圖2故選：ACD【點睛】方法點睛：求解個數方法：先得，再進一步由分別求出的個數，所有x的個數總和為方程解個數.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數，則___________.【答案】##【解析】【分析】由內向外先求，再計算即可【詳解】由題意得，，所以.故答案為：.14.已知，則________．【答案】##0.5【解析】【分析】由誘導公式可得答案.【詳解】由誘導公式，.故答案為：.15.若函數值域為，則的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】先設函數值域為，再根據對數函數定義域和值域的關系，可得，再分和兩種情況討論求解．【詳解】設函數值域為，由函數值域為，則，當時，的值域為，符合題意；當時，由，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．16.已知函數，若，且在區間上有最小值無最大值，則__________.【答案】或【解析】【分析】根據三角函數的對稱性、最值求得正確答案.【詳解】因為，且在區間上有最小值無最大值，則，則，可得，解得，且，解得，可知：或1，或故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據指數冪的運算法則和運算性質，準確化簡、運算，即可求解；（2）根據對數的運算法則和對數的換底公式，準確化簡、運算，即可求解.【小問1詳解】根據指數冪的運算法則和運算性質，可得：原式.【小問2詳解】由對數的運算法則和對數的運算性質，可得：.18.設全集,集合，集合．（1）若時，求;（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先計算出的結果，然后根據的結果即可求解出；(2)根據得到與的關系，從而可求解出的取值范圍.【詳解】(1)因為或，當時，，所以；(2)因為，所以，當時，，所以，此時滿足條件，當時，因為，所以或，解得或綜上或，即.【點睛】本題考查集合間的基本運算以及根據集合間的運算結果求解參數范圍，難度較易.(1)已知集合，若則，若則；(2)利用集合間的運算結果求解參數時，注意集合為空集的特殊情況.19.已知冪函數的圖象過點.（1）求函數的解析式;（2）設函數在上是單調函數，求實數的取值組成的集合.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）將點坐標代入函數解得答案.（2）確定，函數圖象的對稱軸為，根據單調性得到或，解得答案.【小問1詳解】的圖象過點，所以，則，函數的解析式為.【小問2詳解】，所以函數圖象的對稱軸為，若函數在上是單調函數，則或，即或，所以實數的取值組成的集合為或.20.已知函數．（1）求的最小正周期和單調增區間；（2）若，求的值．【答案】（1），增區間為（2）【解析】【分析】（1）由誘導公式，二倍角的正弦和余弦公式和輔助角公式化簡，由最小正周期公式求出的最小正周期；令，即可求出單調增區間；（2）由題意可得，由，求出的范圍，再由三角函數的平方關系求出，則，由兩角和的正弦公式化簡即可得出答案.【小問1詳解】故周期為，令，，所以的增區間為.【小問2詳解】，故.21.已知函數的最大值為，與直線的相鄰兩個交點的距離為.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數.（1）求的解析式.（2）若，且方程在上有實數解，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數的相關知識與圖象的變換求解即可；（2）方程有解求參數的取值范圍問題，轉化為求函數的最值問題求解即可.【小問1詳解】因為函數的最大值為，所以，又與直線的相鄰兩個交點的距離為，所以，所以，則.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，得到，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數.【小問2詳解】，在上有實數解，即在上有實數解，即在上有實數解，令，所以，由，所以，所以，則，同時，所以，所以在上有實數解，等價于在上有解，即在上有解，①時，無解；②時，有解，即在有解，即在有解，令，，則，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的值域為，所以在有解等價于.綜上：.22.已知函數對任意的實數都有，且當時，有恒成立.（1）求證：函數在上為增函數.（2）若，對任意的，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用賦值法，結合函數的單