2023-2024學年河南省輝縣高三第三次測評數學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數滿足，則()A． B． C． D．2．已知函數，若有2個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．3．若滿足，且目標函數的最大值為2，則的最小值為()A．8 B．4 C． D．64．已知等比數列的各項均為正數，設其前n項和，若（），則（）A．30 B． C． D．625．已知函數（其中，，）的圖象關于點成中心對稱，且與點相鄰的一個最低點為，則對于下列判斷：①直線是函數圖象的一條對稱軸；②點是函數的一個對稱中心；③函數與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③6．若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為()A．2 B． C． D．7．已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．28．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區的叫法）、撞球（中國地區的叫法）控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，一次臺球技術表演節目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm9．已知函數，若函數的圖象恒在軸的上方，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知的垂心為，且是的中點，則（）A．14 B．12 C．10 D．811．若,,,則下列結論正確的是()A． B． C． D．12．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現了增長C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D．去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，那么______.14．平面直角坐標系中,O為坐標原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為15．已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為，此時橢圓的方程是____.16．某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，再次燒制過程相互獨立.根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75；則第一次燒制后恰有一件產品合格的概率為________；經過前后兩次燒制后，合格工藝品的件數為，則隨機變量的期望為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等比數列中，已知，.設數列的前n項和為，且，（，）.（1）求數列的通項公式；（2）證明：數列是等差數列；（3）是否存在等差數列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數列；若不存在，請說明理由.18．（12分）隨著時代的發展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創新引領型城市有望踏上向“全球城市”發起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數懷揣夢想的年輕人前來發展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日，某報社記者作了有關“你來A城市發展的理由”的調查問卷，參與調查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關數據如下：來A城市發展的理由人數合計自然環境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環境3.城市服務到位1507004.創業氛圍好3005.開放且包容250合計10001000（1）根據以上數據，預測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創業氛圍好”來A城市發展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環境”作為來A城市發展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環境”作為來A城市發展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環境”作為來A城市發展的理由的700人中有400名男性；請填寫下面列聯表，并判斷是否有的把握認為性別與“自然環境”或“人文環境”的選擇有關？自然環境人文環境合計男女合計附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）已知中，，，是上一點．（1）若，求的長；（2）若，，求的值．20．（12分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，，，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.21．（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.22．（10分）已知函數，.（1）若時，解不等式；（2）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

化簡得到，，再計算復數模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點睛】本題考查了復數的化簡，共軛復數，復數模，意在考查學生的計算能力.2、C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，結合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，，令，可得，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減.當時，，若直線和有兩個交點，則.實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據零點求參數范圍，解題關鍵是掌握根據零點個數求參數的解法和根據導數求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.3、A【解析】

作出可行域，由，可得.當直線過可行域內的點時，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域，如圖所示由，可得.平移直線，當直線過可行域內的點時，最大，即最大，最大值為2.解方程組，得..，當且僅當，即時，等號成立.的最小值為8.故選：.【點睛】本題考查簡單的線性規劃，考查基本不等式，屬于中檔題.4、B【解析】

根據，分別令，結合等比數列的通項公式，得到關于首項和公比的方程組，解方程組求出首項和公式，最后利用等比數列前n項和公式進行求解即可.【詳解】設等比數列的公比為，由題意可知中：.由，分別令，可得、，由等比數列的通項公式可得：，因此.故選：B【點睛】本題考查了等比數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查了數學運算能力.5、C【解析】分析：根據最低點，判斷A=3，根據對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T，再代入最低點可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否．詳解：因為為對稱中心，且最低點為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯誤，②正確，③當時，，所以與有6個交點，設各個交點坐標依次為，則，所以③正確所以選C點睛：本題考查了根據條件求三角函數的解析式，通過求得的解析式進一步研究函數的性質，屬于中檔題．6、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關系.【詳解】由已知，雙曲線的漸近線方程為，故圓心到漸近線的距離等于1，即，所以，.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關鍵是建立三者間的方程或不等關系，本題是一道基礎題.7、D【解析】

設，，，根據可得①，再根據又②，由①②可得，化簡可得，即可求出離心率．【詳解】解：設，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題．8、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關系，將用表示出來，根據，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構造直角三角形，是中檔題.9、B【解析】

函數的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數的圖象在直線上方，先求出兩者相切時的值，然后根據變化時，函數的變化趨勢，從而得的范圍．【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠在的上方，設與的切點，則，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B．【點睛】本題考查函數圖象與不等式恒成立的關系，考查轉化與化歸思想，首先函數圖象轉化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉化為函數圖象，最后由極限位置直線與函數圖象相切得出參數的值，然后得出參數范圍．10、A【解析】

由垂心的性質，得到，可轉化，又即得解.【詳解】因為為的垂心，所以，所以，而，所以，因為是的中點，所以．故選：A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數量積的運算率，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.11、D【解析】

根據指數函數的性質，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數函數的性質，可得，即，又由，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數冪的比較大小，其中解答中熟記指數函數的性質，求得的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.12、D【解析】

根據折線圖、柱形圖的性質，對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學生的閱讀能力、數據處理能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知利用誘導公式可求，進而根據同角三角函數基本關系即可求解.【詳解】∵，∴，，∴.故答案為：.【點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數的基本關系式，屬于基礎題.14、【解析】

根據向量共線定理得A,B,C三點共線，再根據點斜式得結果【詳解】因為,且α+β=1，所以A,B,C三點共線，因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.15、【解析】

根據題意設為橢圓上任意一點,表達出,再根據二次函數的對稱軸與求解的關系分析最值求解即可.【詳解】因為橢圓的離心率是,,所以,故橢圓方程為.因為以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為,所以橢圓上的點到點的距離的最大值為.設為橢圓上任意一點,則.所以因為的對稱軸為.(i)當時,在上單調遞增,在上單調遞減.此時,解得.(ii)當時,在上單調遞減.此時,解得舍去.綜上,橢圓方程為.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓上的點到定點的距離最值問題,需要根據題意設橢圓上的點,再求出距離,根據二次函數的對稱軸與區間的關系分析最值的取值點分類討論求解.屬于中檔題.16、0.380.9【解析】

考慮恰有一件的三種情況直接計算得到概率，隨機變量的可能取值為，計算得到概率，再計算數學期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產品合格的概率為：.甲、乙、丙三件產品合格的概率分別為：，，.故隨機變量的可能取值為，故；；；.故.故答案為：0.38；0.9.【點睛】本題考查了概率的計算，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數列，其通項公式為，滿足題設【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數列的遞推公式，即可知結果為常數，即得證；（3）由（2）可得數列的通項公式，，設出等差數列，再根據不等關系來算出的首項和公差即可.【詳解】（1）設等比數列的公比為q，因為，，所以，解得.所以數列的通項公式為：.（2）由（1）得，當，時，可得①，②②①得，，則有，即，，.因為，由①得，，所以，所以，.所以數列是以為首項，1為公差的等差數列.（3）由（2）得，所以，.假設存在等差數列，其通項，使得對任意，都有，即對任意，都有.③首先證明滿足③的.若不然，，則，或.（i）若，則當，時，，這與矛盾.（ii）若，則當，時，.而，，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當時，.因為，所以在上單調遞增，所以，當時，.所以當，時，.再次證明.（iii）若時，則當，，，，這與③矛盾.（iv）若時，同（i）可得矛盾.所以.當時，因為，，所以對任意，都有.所以，.綜上，存在唯一的等差數列，其通項公式為，滿足題設.【點睛】本題考查求等比數列通項公式，證明等差數列，以及數列中的探索性問題，是一道數列綜合題，考查學生的分析，推理能力.18、（1）（萬）（2）（3）填表見解析；有的把握認為性別與“自然環境”或“人文環境”的選擇有關【解析】

(1)在1000個樣本中選擇“創業氛圍好”來A城市發展的有300個,根據頻率公式即可求得結果.(2)由分層抽樣的知識可得，抽取6人中,4人選擇“森林城市，空氣清新”,2人選擇“降水充足，氣候怡人”求出對應的基本事件數,即可求得結果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【詳解】（1）（萬）（2）從所抽取選擇“自然環境”作為來A城市發展理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，其中4人是選擇“森林城市，空氣清新”，2人是選擇“降水充足，氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”，則,.（3）列聯表如下自然環境人文環境合計男100400500女200300500合計3007001000，所以有的把握認為性別與“自然環境”或“人文環境”的選擇有關.【點睛】本題主要考查獨立性檢測的相關知識、分層抽樣與古典概念計算概率、考查學生的綜合分析與計算能力,難度較易.19、（1）（2）【解析】

（1）運用三角形面積公式求出的長度，然后再運用余弦定理求出的長.（2）運用正弦定理分別表示出和，結合已知條件計算出結果.【詳解】（1）由在中，由余弦定理可得（2）由已知得在中，由正弦定理可知在中，由正弦定理可知故【點睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結合三角形熟練