九年級上學期期末【易錯60題考點專練】

一.選擇題（共15小題）

1.（2021秋?樂清市期末）下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.”是實數，則IaBO

B.一匹馬奔跑的速度是每秒100米

C.任意一個三角形都有外接圓

D.拋擲一枚骰子，朝上面的點數是6

【分析】根據絕對值的非負性，三角形的外接圓與外心，隨機事件，必然事件，不可能事

件的特點逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、”是實數，則同）0,是必然事件，故A不符合題意；

B、一匹馬奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件，故B符合題意；

C、任意一個三角形都有外接圓，是必然事件，故C不符合題意：

。、拋擲一枚骰子，朝上面的點數是6,是隨機事件，故。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了絕對值的非負性，三角形的外接圓與外心，隨機事件，熟練掌握隨機

事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵.

2.（2021秋?瀘西縣期末）下列成語描述的事件為隨機事件的是（）

A.心想事成B.旭日東升C.水滴石穿D.水中撈月

【分析】根據事件發生的可能性分別對每一項進行判斷，即可得出答案.

【解答】解：A、心想事成是隨機事件，故本選項符合題意；

B、旭日東升是必然事件，故本選項不符合題意；

C、水滴石穿是必然事件，故本選項不符合題意；

。、水中撈月是不可能事件，故本選項不符合題意;

故選：A.

【點評】本題考查事件的分類，理解事件性質，判斷其發生的可能性是求解本題的關鍵.

3.(2020秋?昆都侖區期末)關于X的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為XI=

2

-b+Jb2+4,λ2=-b-7b+4；下列判斷一定正確的是()

22

A.a=-1B.c=1C.ac=lD.—=-1

a

【分析】根據一元二次方程的求根公式與根與系數的關系可得答案.

【解答】解：根據一元二次方程的求根公式可得:xι=[b+Yb2-4ac,χ2=-bHb2-4ac

2a2a

???關于X的一元二次方程"2+法+c=0的兩根分別為Xi=-廿心+4,短=[b-』b2+4

22

.'.X?+X2=-b=-—,X1?X2=-=-1,

aa

；?當b=≠0時,a=l,c=-l,則αc=-l,

故選：D.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，屬于基礎題目.

4.(2022春?東陽市期末)若關于X的一元二次方程(A-1)/-2履+4-3=0有實數根，則

k的取值范圍為()

A.B.k20且ZWlC.%》旦D.上23且kWl

44

【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式得到％-l≠0且A=(-2?)2-4Ck-

1)X(?-3)20,然后求出兩不等式的解集的公共部分即可.

【解答】解：根據題意得出-l≠0且△=(-2?)2-4(?-1)X(A-3)》0,

解得左力旦且?≠1.

4

故選：D.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程a^+bx+c=O（Λ≠0）的根與?=b2-4ac

有如下關系：當A>0時，方程有兩個不相等的實數根；當A=O時，方程有兩個相等的

實數根；當A<0時，方程無實數根.

5.（2021秋?黎江區期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCo的兩邊OA,OC落在坐

標軸上，反比例函數y=K的圖象分別交BC,OB于點。，點E,且毀;4,若SMOE=

XCD5

3,則女的值為（）

A.-4B.-?C.-8D.-2√5

3

【分析】設點8的坐標為（a,b）,則點。的坐標為（K,〃），點A的坐標為（4,0）,

b

分別求出BZXCD、AB,找到α,b,k之間的關系，設點E坐標為（〃?，"），利用三角形

的面積表示出點E的坐標，再利用割補法求出“以=36,進而可得&值.

【解答】解：設點B的坐標為（a,b）,則點。的坐標為（區，b）,點A的坐標為（”,

b

0）,

.".BD=--a,BC--a,CD--?,AB—b,

bb

..BD4

?二—

CD5

Λ5×(--a)=4×(-K),

bb

'.ab--k,

5

設點E坐標為（如〃）,

VSM0E=3f即-→∕π==3,

2

???〃=-§

a

丁點E在反比例函數y=—±,

X

：.E（-?-A）,

6a

TSaAOE=S矩形OABC-SdoBC-SMBE=-ab-—（-ab}-—?（-?≡K-。）=3,

226

/.abk=36,

把〃原=36,代入H=9左得，旦?2=36,即F=20,

55

解得％=±2√E,

由圖象可知，k<0,

：.k=-2√5.

故選：D.

【點評】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，矩形的性質等，解題的關鍵是利用割

補法表示出AAOE的面積.

6.（2021秋?西青區期末）已知拋物線y="x2+fer+c（a,b,C為常數，?<0）經過點（-1,

0）,其對稱軸為直線x=2,有下列結論：①c<0；②4α+b=0;③4α+c>2R④若y>0,

則-l<χV5;⑤關于X的方程"/+公+C+]=0有兩個不等的實數根；⑥若?/（3,yι）與

N（4,”）是此拋物線上兩點，則yι>"?其中，正確結論的個數是（）

A.6B.5C.4D.3

【分析】根據對稱軸為直線x=2可判斷②正確；將（-1,0）代入y=0r2+bx+c中可判

斷①；根據“<0,拋物線圖象經過點（-1,0）,可知X=-2,y<0可判斷③；根據圖

象可直接判斷④和⑤；根據增減性可判斷⑥.

【解答】解：根據題意對稱軸為直線x=2,

:?b=-4α,

即44+6=0,

故②正確；

:拋物線丁=。/+〃/+。（a,b,C為常數，a<0）經過點（-1,0）,

：.Cl-?÷c=0,

：.c=b-a=-4Q-a=-5a,

TqVO,

Λc>O,

故①錯誤；

當X=-2時，y<0,

.?.4a-2h+c<0,

：?4。+CV2b,

故③錯誤；

由對稱得：拋物線與X軸交點為（-1,0）,（5,0）,

.?.y>0,則-ICX<5,

故④正確;

當y=-1時?，關于X的方程ax2+bx+c=-1有兩個不等的實數根，

???關于X的方程ax2+hx+c+l=O有兩個不等的實數根；

故⑤正確；

?.,6∕<0.4-2>3-2,

?".yι>y2.

故⑥正確.

綜上，正確的結論是②④⑤⑥.

故選：C.

【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，增減性，對稱軸，拋物線與X軸的交點，

應數形結合、充分掌握二次函數各系數〃、h,c的意義以及對圖象的影響和對一元二次

方程根個數的關系.

7.(2021秋?河東區期末)己知拋物線y=∕+bx+c的圖象與X軸的兩交點的橫坐標分別α,

β(a<β),而/+?x+c-2=0的兩根為M、N(MVN),則a、仇M、N的大小順序為

()

A.a<β<M<NB.M<a<β<Λ^C.a<M<β<ND.M<a<N<β

【分析】依題意畫出函數y=(χ-a)(χ-β)和y=2的圖象草圖，根據二次函數的圖象

可直接求解.

【解答】解：依題意，畫出函y=(χ-a)(x-β)的圖象，如圖所示.

函數圖象為拋物線，開口向上，與X軸兩個交點的橫坐標分別為a,β(a<β),

方程/+?r+c-2=0的兩根是拋物線），=Cx-a）（x-β）與直線y=2的兩個交點.

由M<N,可知對稱軸左側交點橫坐標為右側為M

由圖象可知，M<a<β<N,

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，考查了數形結合的數學思想.解

題時，畫出函數草圖，由函數圖象直觀形象地得出結論，避免了繁瑣復雜的計算.

8.（2021秋?上思縣期末）下列說法正確的是（）

A.三點確定一個圓

B.三角形的外心到三角形各頂點的距離相等

C.相等的圓心角所對的弧相等

D.圓內接四邊形的對角互余

【分析】根據確定圓的條件、三角形的內心的性質、圓心角與弧的關系定理、圓內接四邊

形的性質判斷即可.

【解答】解：不在同一直線上的三點確定一個圓，A錯誤；

三角形的外心到三角形各頂點的距離相等，B正確；

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，C錯誤；

圓內接四邊形的對角互補，。錯誤；

故選：B.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，掌握確定圓的條件、三角形的內心的性質、圓心

角與弧的關系定理、圓內接四邊形的性質是解題的關鍵.

9.（2021秋?宜春期末）下列說法正確的是（）

A.三點確定一個圓

B.任何三角形有且只有一個內切圓

C.相等的圓心角所對的弧相等

D.正多邊形一定是中心對稱圖形

【分析】根據確定圓的條件，中心對稱圖形，圓心角、弧、弦的關系，三角形的內切圓與

內心逐一判斷即可.

【解答】解：A,不在同一條直線上的三個點確定一個圓，故A不符合題意；

8.任何三角形有且只有一個內切圓，故B符合題意；

C.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故C不符合題意；

D.正多邊形一定是軸對稱圖形，不一定是中心對稱圖形，故。不符合題意；

故選:B.

【點評】本題考查了確定圓的條件，中心對稱圖形，圓心角、弧、弦的關系，三角形的內

切圓與內心，熟練掌握圓的有關概念和性質是解題的關鍵.

10.（2021秋?東陽市期末）如圖，在AABC中，CHJCW=5,AB=IO,若內接矩形

OEFG鄰邊。G：GF=L2,則AGFC與四邊形ABFG的面積比為（）

A.?B.?C.?D.亞

3422

【分析】利用A字模型相似三角形，證明ACGFSAC43,利用相似三角形的性質求出

FG的長，再求出ACG尸與ACAB面積比即可解答.

【解答】解：VDG：GF=L2,

.?.設QG=X,FG=Ix,

?；四邊形OEFG是矩形，

：.FG//DE,

.".ZCGF=ZA.NCFG=NB,

：ACGFS/\CAB,

VCH±AB,FG//DE9

：.CHLFG9

?CI=FG

*eCHAB,

?

??5---χ-_2x,

510

?'?x=2.5,

經檢驗，x=2.5是原方程的根，

.".FG=5,

.sACGF_(FG、2_1

S??CAB杷4

.?.ZSGFC與四邊形ABFG的面積比為=1：3,

故選：A.

【點評】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握A字模型相似三

角形，是解題的關鍵.

11.（2021秋?濂溪區校級期末）如圖所示的幾何體是由6個形狀，大小完全相同的小正方

體組成，若移動正方體①，使得左視圖不改變，則有（）種移動的方法.

C.3D.2

【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：若移動正方體①，使得左視圖不改變，則有6種移動的方法（如圖所示）,

【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是理解三視圖的定義，屬于中考常

考題型.

12.(2021秋?江津區期末)如圖，二次函數yι=αr2+次+c(αW0)圖象的對稱軸是直線X=

-1,直線yz=?r經過二次函數yι=0χ2+?r+c(q≠o)圖象的頂點，下列結論：φahc<

0；@4a-2?+c<0;③若點A(-3,m),B(2,〃)在二次函數yι=α∕+?r+c(a≠0)

的圖象上，則，④X=I是方程a，+。=。的一個根，正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①根據函數圖象開口向下判斷出“>0,再根據對稱軸判斷出b>0,根據函數圖

象與y軸的交點判斷出c<0,然后相乘即可得解；

②利用X=-2時函數值小于0可進行判斷；

③由函數的對稱性可知，x=l時，函數值=〃?，且-1<1<2,由函數的增減性可直接判

斷；

④若x-?是方程cυτ+c-0的一個根，則α+c=0,又直線yz—bx經過二次函數y\—

ax1+bx+c(a≠0)圖象的頂點，所以(-1,-b)在拋物線上，結合6=2“可進行判斷.

【解答】解：①根據函數圖象開口向下判斷出“>0,再根據對稱軸判斷出〃>0,根據函

數圖象與y軸的交點判斷出c<0,

'.abc<O,故①正確;

②由x=-2時，y=4a-2h+c<0,故②正確；

③由函數的對稱性可知，X=I時，函數值為，"，

V-1<1<2,且對稱軸右側y隨X的增大二減小，

'.m<n,故③錯誤；

④：直線”二或經過二次函數2=/+。*+，。/。）圖象的頂點，

Λ（-1,-b）在拋物線上，

：.a-b+C=-b,

?'?Q+C=。，

.?.x=l是方程Or2+c=0的一個根，故④正確.

故正確的有①②④，

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，注意利用頂點坐標，對稱軸解析式，以

及特殊點的函數值是解題的關鍵.

13.（2021秋?九龍坡區期末）如圖，已知N84C=60°,AB=4,AC=6,點。為aABC內

一動點，連接AD.BD,CD,將AAOC繞著點A逆時針方向旋轉60°得到AAEF,則

4E+D8+EF的最小值為（）

A.4√5B.2√21c.2√19D.2√17

【分析】連接。E,BF,過點尸作F/7LBA,交BA的延長線于點”，由旋轉的性質可得

△4。E是等邊三角形，得AE=DE,則AE+O8+EF的最小值為B尸的長，在Rt尸中

求出BF即可解答.

【解答】解：連接DE,BF,過點F作尸交BA的延長線于點H,

由旋轉可得：

AD=AE,AC=AF=6,NoAE=/CAF=60°,

.?.ZVlCE是等邊三角形，

.?AE=DE,

：.AE+DB+AC=DE+DB+EF^BF,

,."ZBAC=60°,

ΛZWAF=180o-/B4C-/CAF=60°,

在Rt產中，AH=AFCOS60°=6X2=3,FH=AFsinGOa=6X近=3我，

22

.?BH=AB+AH=4+3>=1,

在RtABWF中，θ∕7=√BH2+HF2=√72+（3√3）2=2√Iθ，

.?.AE+QB+EF的最小值為：2√19,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉的性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質，勾股定理以及將

AE+DB+EF的最小值轉化為BF的長是解題的關鍵.

14.（2021秋?錦州期末）如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點，尸為Cz）的中點，AE

和B尸相交于點G,延長CG交AB于點”，下列結論:

?AE=BFi

②NCBF=NDGF；

③國=2

CF3

④SAAHG=3

SZiCFG4

其中結論正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【分析】利用正方形中的十字架型可判斷①AE=BRAELB凡然后利用中點+平行線構

造8字型全等，所以延長BF交Az）的延長線于點M,從而可得。是AM的中點，可判

斷②/CBF=/OGF,再利用8字模型相似三角形證明48"GS△尸CG,從而可判斷③

AH

蘭旦=2,最后求出AH與CF的比值，即可判斷④△G萼.

CF3SΛCFG4

【解答】解：四邊形ABC。是正方形,

：.AB=BC^CD=AD,NABC=/BCD=NADC=90°,AB//CD,

為BC的中點，尸為CD的中點，

.,.BE=^BC,CF=-CD,

22

：.BE=CF,

,△ABE之ABCF(SAS),

：.BF=AE,NBAE=NCBF,

故①正確,

"：ZCBF+ZABF=90°，

：.ZABF+ZBAE=90a,

.?.NAGB=180°-CZBAE+ZABF)=90°,

.'.AE±BF,

ΛZAGF=90o,

延長BF交AO的延長線于點M,

"：ZMDF^ZBCF=90°,DF=CF,NDFM=NBFC,

：./\BF8/\MFD(ASA),

.,.DM=BC,NM=NMBC,

：.AD=DM,

：.DG=DM=-AM,

2

.".ZDGM=ZM,

：.ZCBF^ZDGF,

故②正確；

設BE=CF=a,則AB=BC=2m

22

.?AE=yjAB+BE=

：.BF=AE=娓a,

,：Z?A8E的面積=Λ4B?8E=ΛAE?8G,

22

5

：.FG=BF-BG=主區-a,

5

?,AB∕∕CD,

：./ABG=NBFC,NBHG=NHCF,

：.ABHGs∕?FCG,

.BH=BG

,^CFEG'

?.?~BH-?^2-r

CF3

故③正確；

..BH2廠口?

???i=-,CF=3a,

CF3

：.BH=2a,

.?AH=AB-BH=Aa,

?.A?―H^—_4―,

CF3

,.?/XAHG中4H邊上的高與AGC尸中CF邊上的高不相等，

.s?AHG44

??-----~r~--，

SZkCFG3

故④不正確；

綜上所述：正確的結論是：①②③，

故選：A.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性

質，平行線分線段成比例，熟練掌握正方形中的十字架型，中點+平行線構造8字型全等，

8字模型相似三角形這些數學模型是解題的關鍵.

15.(2021秋?榮昌區期末)在平面直角坐標系中，C(0,4),點A在X軸上，以AC為對

角線構造平行四邊形ABCnB點在第三象限，BC與X軸交于點F,延長BC至點E,使

得EF=5BF,BC=EC,連結對角線BD與AC交于點G,連結EG、CD交于點H,若D、

E在反比例函數y=K上，S?DHG-4,則4的值為()

X

C.20D.15

【分析】由C(0,4),點A在X軸上，EF=5BF,BC=EC,可得BE=6BF,CF=IBF,

設點F(-2α,0),貝∣jE(3α,10),B(-3a,-2),因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以8C〃A￡>,BC^AD,易得四邊形ACEz)是平行四邊形，由。、E在反比例函數y晏

X

上，可得O(54,6),又CG是aBDE的中位線，所以4C〃。&則ACHGsW,

??ɑ

可得---=」，所以SZ√JHG=4Z?DCG=6,JW?SΔBCG--(XG-χβ)*CN--?4a

EDED2322

?CN=2a?CN,根據點B和點。的坐標可得BO的解析式：y=L+l,所以N(0,1),

a

所以CN=3,所以24?3=6,解得a=l,可得E(3,10),將點E(3,10)代入y=K即

X

可.

【解答】解：VC(0,4),點A在X軸上，EF=5BF,BC=EC,

：.BE=GBF9CF=IBF,

設點FQ-2a,0),則E(30,10),B(-3m-2),

Y四邊形A3。是平行四邊形，

：.BC//AD,BC=AD9

?：EC=BC,

：.EC//AD,EC=AD,

：.四邊形ACED是平行四邊形,

點。的縱坐標為6,

E在反比例函數上，

X

??30a=6?W,

.?.M=5m

：.D(5m6),

；點G為BO的中點，

：.G(.a,2),

又；點C為BE的中點，

J.AC//DE,

：.ΛCHG^ΛDHE,

I

.GC=2AC=1

^,EDED2^,

YSADHG=4，

.,?5ΔDCG=6,

?"?SADCG=SABCG6，

設直線BG與y軸交于點N,

.?.SΔBCG=^(XG-XB)?CN='?4a?CN=2a?CN,

22

設直線BQ的解析式為：y=mx+n,

(1

?..卜3a∑uF=-2,解得嗔；

I5am+n=67

n-1

??y=-^?x+l,

a

：.N(O,1),

:?CN=3,

.?.2α?3=6,解得a=L

：.E(3,10),

將點E(3,10)代入y—,

X

.?∕=30.

故選：A.

【點評】本題屬于反比例函數中代數與幾何的綜合題，根據EF=5BF,BC=EC得出EF,

BF,BE,BC各個線段之間的關系，表達出關鍵點的坐標是解題關鍵.

二.填空題（共21小題）

16.（2020秋?越秀區期末）若x=3是關于X的一元二次方程7-,巾-3=0的一個解，則

m的值是2.

【分析】根據x=3是已知方程的解，將x=3代入方程即可求出,"的值.

【解答】解：將x=3代入方程得：9-3?/-3=0,

解得：m=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了一元二次方程的解.解題的關鍵是掌握一元二次方程的解的定義:

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解.

17.(2021秋?墾利區期末)如圖，A,8是反比例函數y=2在第一象限內的圖象上的兩點,

X

且A,8兩點的橫坐標分別是2和3,則AOAB的面積是?.

一2一

【分析】先根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出A,B兩點的縱坐標，先求出四邊形

AoCB面積：$+3,再求出AOAB的面積.

2

【解答】解：VA,8是反比例函數y=2在第一象限內的圖象上的兩點，

X

設A(2,a),B(3,b),

??2α=6,3b^6,

??q=3,b=2,

即AO=3,BC=2,

...梯形ADCB面積：y×DC(BC+AD)

=y×l×(2+3)

—,5—,

2

.,.四邊形AOCB面積：梯形ADCB面積+AOAO的面積=§+3,

2

VA,8在反比例函數y=2上，

X

?*?SdAoD~SABOC=3,

二ZXOAB的面積是：S.

2

故答案為：?.

2

【點評】本題考查了反比例函數系數A的幾何意義、圖象上點的坐標特征，熟練掌握這

兩個知識點的綜合應用是解題關鍵.

18.（2021秋?瓦房店市期末）在平面直角坐標系XOy中，矩形四個頂點坐標分別為（1,1）,

（1,2）,（3,1）,（3,2）,若拋物線y=a?的圖象與矩形的邊有公共點，則實數。的取

值范圍是一?∣<a<2.?

【分析】根據。值對拋物線開口的作用進行判斷即可.

【解答】由題意得：拋物線過點（1,2）時開口最小，過點（3,1）時，開口最大.

當拋物線過點（1,2）時，2=qXl.

工。=2.

當拋物線過點（3,1）時，1=9”，

.?.α=L

9

.?.A≤a≤2.

9

過答案為：-i≤a≤2.

9

【點評】本題考查二次函數的圖象，確定“取最值時的條件是求解本題的關鍵.

19.（2021秋?徐匯區期末）二次函數的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-l,根據圖中信

息可求得該二次函數的解析式為V=-F一2χ二.

【分析】根據題目的已知并結合圖形，設二次函數的解析式為），=OX2+?r+c,然后根據B

點，A點坐標，以及對稱軸列出三元一次方程組即可解答.

【解答】解：設y=αx2+bx+c,

由題意得:

c=3

a+b+c=0

'a=-l

解得：＜b=-2，

c=3

二次函數的解析式為：y=-χ2-2r+3,

故答案為：y=-Λ2-2Λ+3.

【點評】本題考查了二次函數的圖象，二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式，

根據題目的已知并結合圖形列出三元一次方程組是解題的關鍵.

20.（2021秋?通州區期末）如圖，在aABC中，NC=90°,AB=IO,在同一平面內，點。

到點A,B,C的距離均等于αQ為常數）.那么常數”的值等于5.

B

AC

【分析】根據直角三角形外接圓的圓心在斜邊的中點處，進行解答即可.

【解答】解：???在同一平面內，點O到點A,B,C的距離均等于4（α為常數），

：.OA=OB=OC,

「△ABC是直角三角形，ZC=90o,AB=IO,

.,.OA=OB=OC=-AB=S,

2

???常數”的值等于：5,

故答案為：5.

【點評】本題考查了三角形外接圓的圓心，熟練掌握直角三角形外接圓的圓心在斜邊的

中點處，是解題的關鍵.

21.（2021秋?綏棱縣期末）OO為aABC的外接圓，ZBOC=IOOo,則NA=50°或

130°.

【分析】分為兩種情況：當O在aABC內部時，根據圓周角定理求出∕A=50°；當。

在4A'BC外部時，根據圓內接四邊形性質求出NA'=180o-NA即可.

【解答】解：分為兩種情況：當。在aABC內部時，

根據圓周角定理得：/4=工NBOC=工Xl（Xr=50°；

22

當O在AA'BC外部時，如圖在4'時，

：A、B、A1>C四點共圓，

ΛZA+ZA,=180°,

.?.N4'=180°-50°=130°,

故答案為：50°或130°.

A

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，圓周角定理，圓內接四邊形等知識點，注

意：本題分為圓心。在BC內部和外部兩種情況，題目比較好，但是一道比較容易出

錯的題目.

22.（2021秋?鳳山縣期末）如圖，正方形ABCz）的邊長為1,分別以B,C為圓心，以正方

形的邊長為半徑畫弧，兩弧相交于點P,那么圖中陰影部分的面積為退.-E.

一2一6一

【分析】連接P8、PC,作PFLBC于F,根據等邊三角形的性質得到NPBC=60°,解

直角三角形求出BF、PF,根據扇形面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：連接心，PC,作PFLBC于F,

?：PB=PC=BC,

J./XPBC為等邊三角形，

ΛZPBC=60o,NPBA=30°,

.?.BF=ABC=A,PF=La,

222

則圖中陰影部分的面積=［扇形ABP的面積-（扇形BPC的面積-48PC的面積）∣X2

=科冗火2

0Fr60πXI.Iy×A√3)]×2

360360~22

=近工，

26

故答案為：返-E.

26

【點評】本題考查的是扇形面積計算、等邊三角形的判定和性質，掌握扇形面積公式是

解題的關鍵.

23.（2021秋?鼓樓區校級期末）如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90o,BC=3,AC=

4,點Q是線段AC上的動點，設NBOC=α,NBAC=β,有以下說法：

①當0°<β<α<90o時，tana>tanβ.

o

②當0。<β<a<90時，cosa>cosβ.

③。為AC中點時，Sin/OBA=對亙?.

65

④8。平分NCBA時，tanβ=2tana.

其中，正確的是①.（填序號）

【分析】結合圖形可知a>0,利用正切值隨著角度的增大而增大，余弦值隨著角度的增

大而減小，即可判斷①和②，要求sin∕O8A的值，想到構造直角三角形，所以過點。作

DEVAB,垂足為E,利用面積法先求出。E的長，然后在RtABQE中進行計算，即可判

斷③，根據④8。平分NCBA時，想到角平分線的性質定理，所以過點力作DF_L48,垂

足為F,利用面積法求出DF的長，最后求出tana與tanβ即可判斷④.

【解答】解：C是ABAQ的外角,

JNBDC=ZA+ZA8D,

：.ZBDOZA,

即α>β,

當0°<β<α<90°時，tana>tanβ,

故①正確；

當0°<β<α<90°時，cosa<cosβ,

故②錯誤；

VZC=90o,BC=3,AC=4,

ΛAB≈^AC2+BC2=yJ42+32=5,

過點。作QELA8,垂足為E,

為AC中點時，

.?.8=AO=LC=2,

2

?^?S￡>==VBC2K：D2=V32+22='/i3,

「△ABC的面積=Z?BCD的面積+Z?BD4的面積,

.?.JLAUBC=」CZ)?BC+ΛΛB?OE,

222

.?.3×4=2×3+5DE,

：.DE=旦,

5

6

在Rt?ABZ)E中，sinZDgA≈-^-=?≈θ????-,

BD√1365

故③錯誤；

過點。作。尸，A8,垂足為F,

平分∕CBA,DFA,AB,DCl.BC,

：.DC=DF,

；ZXABC的面積=ABCD的面積+Z?8DA的面積,

.?^AC?BC=^CD?BC+-AB?DF,

222

.?3×4=3DC+5DF,

Λ8DC=12,

.?.oc=2，

2

在RtZ?BCf)中，tan/BQC=tana=里=W=2,

CD3

2

在Rt??8CA中，tanNBAC=tan0=區=3,

AC4

Λtanβ≠2tanα,

故④錯誤；

所以，正確的是：①，

故答案為：①.

【點評】本題考查了角平分線的性質，解宜角三角形，銳角三角函數的增減性，根據題目

的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

24.（2021秋?蘇州期末）我們給出定義：如果兩個銳角的和為45°,那么稱這兩個角互為

半余角.如圖，在aABC中，ZA,NB互為半余角，且BC=2√^,則tanA=2.

AC3一5一

【分析】要求tanΛ的值，想到構造直角三角形，根據已知可得NAC8的補角為45°,所

以過點B作BD"LAC,交AC的延長線于點￡>,分別在RtZsCOB和RtZSABO中利用銳角

三角函數的定義進行計算即可解答.

【解答】解：過點8作BOJ_AC,交AC的延長線于點，

.?BCM

'?e?3

：.設BC=2近a,AC=3a,

VZA,NB互為半余角,

NA+/8=45°,

ΛZDCB=ZΛ+ZB=45o,

在RtZ?COB中，BD=BCSin45°=2近a*^&=2a,

2

CZ)=SCCoS45°=2&〃.亞=2。,

2

'：AC=3a,

.?AD=AC+CD=3a+2a=5a,

在RtZXHBO中，tanA=迎=區=2,

AD5a5

故答案為：—■

5

【點評】本題考查了余角和補角，解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加

適當的輔助線是解題的關鍵.

25.（2021秋?延平區校級期末）如圖，已知AOAB的一邊AB平行于X軸，且反比例函數y

=K經過aOAB頂點B和。A上的一點C,若0C=2AC且AOBC的面積為也，則上的

X3

值為8.

【分析】作LX軸，CELV軸，AFLX軸，得A尸〃CE,推比例線段，設點B（Kn),

推出C(?)—11),再根據S&OBC=S&OBD+S悌%BCED-SACOE=S?)gBCED,求出k的值.

2n3

【解答】解：作BCX軸，CE,X軸，AFLX軸,

J.AF//CE,

.CE=OC

,,AF0A,

?,0C=2AC,

?.?CE_?2^-f

AF3

設點B(―,〃),

n

：A8〃X軸,

.?.A點的縱坐標為”,

.?CE=^n,

3

；點C反比例函數y=K,

X

：.C

"：SAoBC=SAoBD+S梯形BCEo~S八CoE=S梯形BCED，

吟嗚噂T刊

解得％=8,

故答案為：8.

【點評】本題考查了反比例函數系數k的兒何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征，

掌握這兩個知識點的應用，由圖行推比例線段及C點的表示方法是解題關鍵.

26.(2021秋?崇川區期末)如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=K(χ>0)的圖象

X

交矩形04BC的邊AB于點M(1,2),交邊8C于點M若點B關于直線MN的對稱點

8'恰好在X軸上，則OC的長為_遙+1_.

【分析】過點“作MQLOC,垂足為。，連接MB',NB',由于四邊形OABC是矩形,

且點B和點B'關于直線MN對稱.且點B'正好落在邊OC上，可得AMB'Q^∕?B'

NC,然后M、N兩點的坐標用含。的代數式表示出來，再由相似三角形對應邊成比例求

出B'C和QB'的長，然后利用勾股定理求出"夕的長，進而求出。C的長.

【解答】解：過點M作MQJ.0C,垂足為。，連接MB',NB',如圖所示：

；反比例函數y=K(x>0)的圖象過點M(1,2),

X

??k,-?X2=2,

；.y=2,

X

設N(4,2),則B(a,2),

a

又；點B和點B'關于直線MN對稱，

：.MB=MB',NB=∕MB'N=90°,

VZMQB'=ZB'CN=90°,NMB'Q+ZNB1C=90o

又YNNB'C+ZB'NC=90°,

ΛZMB'Q=NB'NC,

:小MB'WNC,

.MB'MQQB、∏∏a-l_2_QBZ

"NByC=NC>`B7T2，

aa

解得：B'C=?A,QB'=1,

a

：.MB'2^MQ1+QB'2=22+l2=5,

BP?-l=Vδ>

?*?OC-ci—+?.

故答案為：√5+1?

N

【點評】本題屬于反比例函數與幾何綜合題，涉及待定系數法求函數表達式，勾股定理，

相似三角形的性質與判定等知識，作出輔助線構造相似是解題關鍵.

27.(2021秋?河東區期末)將二次函數2%-3的圖象在X軸下方的部分沿X軸翻折

到X軸上方，所得新函數的圖象與直線y=x+。的圖象恰有2個公共點時，則6的取值范

圍為-3<bVl或6>型.

【分析】分三段：如圖，當直線y=x+b過點B時，直線y=x+6與該新圖象恰好有一個

公共點；當直線y=x+6過點A時，直線y=x+6與該新圖象恰好有三個公共點；當直線

y=x+6與拋物線y=-(X-I)2+4(-l≤x≤3)相切時，直線y=x+b與該新圖象恰好

有三個公共點，分別求解即可.

【解答】解：二次函數解析式為y=-X2+2X+3=-(χ-l)2+4,

，拋物線y=-7+2x+3的頂點坐標為(1,4),

當y=0時，X2-Zr-3=0,解得XI=-1,x2-3,

則拋物線y=-X2+2Λ+3與X軸的交點為A(-1,0),B(3,0),

把拋物線)，=-Λ2+2Λ+3的圖象在X軸下方的部分沿X軸翻折到X軸上方，

則翻折部分的拋物線解析式為y=-(X-I)2+4(-l≤x≤3),頂點坐標M(1,4),

如圖，當直線y=x+。過點B時，直線y=x+。與該新圖象恰好有一個公共點，

Λ3+6=0,解得b=-3；

當直線y=x+b過點A時，直線y=x+6與該新圖象恰好有三個公共點，

：?-l+?=0,解得b=i；

???當-3<〃<1時，拋所得新函數的圖象與直線y=x^b的圖象恰有2個公共點時，

當直線y=x+b與物線y=-(χ-1)2+4(-1≤Λ≤3)相切時，直線y=x+h與該新圖象

恰好有三個公共點，

即-(X-I)2+4=x+b有兩個相等的實數解，整理得/-χ+6-3=0,

ΛΔ=l2-4(?-3)=0,解得b=W,

當匕〉」與時，拋所得新函數的圖象與直線y=x+b的圖象恰有2個公共點時,

故答案為：-3<b<l或b>區.

4

【點評】此題主要考查了翻折的性質，一元二次方程根的判別式，拋物線的性質，確定翻

折后拋物線的關系式；利用數形結合的方法是解本題的關鍵，畫出函數圖象是解本題的

難點.

28.(2021秋?洛陽期末)如圖，在AABC中，ZBAC-30o,ZACB=60o,BC=I,點、P

從點A出發沿AB方向運動，到達點B時停止運動，連結CP,點A關于直線Cp的對稱