考向22解三角形

【2022?全國?高考真題(理)】記ASC的內角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A-5)=sinBsin(C-A).

⑴證明：2a2=b2+c2;

25

(2)若a=5,cosA=—,求ABC的周長.

【2022?全國?高考真題】記ABC的內角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知

cosAsin2B

1+sinAl+cos2B

⑴若C=g,求B；

（2）求￡4'的最小值.

c

解答三角高考題的策略：

（1）發現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”.

（2）尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系.

（3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化.

兩定理的形式、內容、證法及變形應用必須引起足夠的重視，通過向量的數量積把三角

形和三角函數聯系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應用的

實例.另外，利用正弦定理解三角形時可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三

角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解.

1.方法技巧：解三角形多解情況

在△ABC中，已知a,b和A時，解的情況如下:

2.在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sin尤的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；

（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用至IJA+B+C=7T.

1勿錯點!

1.基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外

接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

上=上

公式3==2hb2=c2+a2-laccosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-labcosC.

,b2+c2-a2

cosA二---------；

(1)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

「c2+a2-b2

常見變形(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

2R2R2R2ac

「a2+b2-c2

cosC二-----------

lab

（2）面積公式:

S.ABC=—absinC=—besinA=—acsinB

A222

S^ABC=-=-(a+b+c)-r。是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R,r.)

A47?2

2.相關應用

(1)正弦定理的應用

①邊化角，角化邊oa:b:c=sinA:sinB:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a〉b=A>5osinA>sin50cosA<cos5

③合分比

a+b+ca+bb+ca+cabc

====____=_____=_____=2K

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)△鈿(?內角和定理：A+B+C=n

@sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

角形中

「tanA+tanB,「人,「一

-tanC=tan(zA4+B)=--------------------otanA+tan5+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tanA?tanB

@sin(li￡).cos￡;cos(l1￡).sin￡

2222

⑤在AABC中，內角AB,C成等差數列OB=Z,A+C=E.

33

3.實際應用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角

（2）方位角

從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如8點的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.

①北偏東a,即由指北方向順時針旋轉a到達目標方向（如圖③）.

②北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉a到達目標方向.

③南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度

①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角。為坡角）.

②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）.坡度又稱為坡比.

1經施杏式練

1.（2022?青海?模擬預測（理））在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為“也c,若/+〃=女"，

，一2

則△ABC的面積為匕r時，k的最大值是（）

2

A.2B.邪C.4D.275

2.（2022?全國?高三專題練習）在△ABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,且

b1+C1=a2+be,若sinBsinC=sin?A,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

3.（2022.青海?海東市第一中學模擬預測（理））在ABC中，內角A,B,C的對邊分別為

a,b,c.已知a=2,sin2A+3sin2B=2osin2C,貝1JcosC的最小值為.

4.（2022?上海?位育中學模擬預測）如圖所示，在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一

個水聲監測點，B、C兩點到點A的距離分別為20千米和50千米.某時刻，B收到發自

靜止目標尸的一個聲波信號，8秒后A、C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播

速度是1.5千米/秒.

（1）設A到尸的距離為x千米，用x表示8、C到尸的距離，并求x的值;

（2）求靜止目標P到海防警戒線AC的距離.（結果精確到0.01千米）.

cosC-2cosA

5.（2022.全國.模擬預測）在ABC中，角4,3,C的對邊分別為a,b,c,tanB=

sinC

a<b.

（1）求角8;

（2）若a=3,b=7,。為AC邊的中點，求△BCD的面積.

6.（2022?河南省杞縣高中模擬預測（文））在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

2acosA=bcosC+ccosB.

（1）求角A的大小；

⑵若a=24，6+c=6,求ABC的面積.

7.（2022?全國?高三專題練習）在ABC中，內角A,8,C對應的邊分別為a,b,c,ABAC=6,

向量s=（cos4屈114）與向量/=（4,-3）互相垂直.

（1）求ABC的面積；

（2）若b+c=7,求。的值.

1.（2022?全國?高三專題練習）已知在ABC中，B=30,a=^,b=l,則A等于（

A.45B.135C.45或135D.120

2.（2022.河南.南陽中學模擬預測（文））ABC中，AB=AC=5,BC=6,點E滿足

21

CE=-CA+-CB,直線。石與直線AB相交于點。，則CD的長（）

A亞B疸C迎n而

'5'To"'To''"KF

3.（2022?全國?高三專題練習）在ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

a?一〃=02一/；。且bcosC=asin8,則ABC是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.（2022?四川省宜賓市第四中學校模擬預測（文））如圖所示，為了測量A,8處島嶼的距

離，小明在。處觀測，A,B分別在。處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行

駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60。方向，則A,B兩處島

C.20(1+/)海里D.40海里

5.（多選題）（2022?福建?福州三中高三階段練習）ABC中，角45c的對邊分別為,

且a=2,sin8=2sinC,以下四個命題中正確的是（）

A.滿足條件的A5C不可能是直角三角形

4

B.ABC面積的最大值為]

C.M是BC中點，肱的最大值為3

D.當A=2C時，ABC的面積為出

3

6.（多選題）（2022?廣東?華南師大附中三模）已知圓錐的頂點為P,母線長為2,底面圓直

徑為20，A,B,C為底面圓周上的三個不同的動點，M為母線PC上一點，則下列說法正

確的是（）

A.當A,B為底面圓直徑的兩個端點時，ZAPB=120。

B.ABIB面積的最大值為。

C.當ARIB面積最大值時，三棱錐C-R1B的體積最大值為恒衛

3

D.當為直徑且C為弧的中點時，兒發+朋8的最小值為而

7.（多選題）（2022?河北?滄縣中學模擬預測）在ABC中，三邊長分別為a,b,c,且He=2,

則下列結論正確的是（）

A.a2b<2+ab2B.ab+a-\-b>2>/2

C.a+b2+c2>4-D.a+b+c<2>]2

8.（2022.青海?海東市第一中學模擬預測（文））在ABC中，。為其外心，

&A+2OB+OC=0,若BC=2,則。1=.

。-4—r

9.（2022?河北?高三期中）已知A5C中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,p=--—,

則45c的面積S=e（j_a）（p_b）d，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數學家阿

基米德得出.若ABC的周長為15,（sinA+sin8）:（sin8+sinC）:（sinC+sinA）=4:6:5,則ABC

的面積為.

10.（2022?全國?高三專題練習（理））在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

a2+4/=c2,則tanB的最大值為.

11.（2022?遼寧?沈陽二中模擬預測）沈陽二中北校區坐落于風景優美的輝山景區，景區內

的一泓碧水蜿蜒形成了一個“秀”字，故稱“秀湖”.湖畔有秀湖閣（A）和臨秀亭（8）兩個標志

性景點，如圖.若為測量隔湖相望的A、B兩地之間的距離，某同學任意選定了與A、B不

共線的C處，構成ABC,以下是測量數據的不同方案：

①測量NA、AC.BC；

②測量乙4、B、BC；

③測量NC、AC.BC；

④測量NA、NC、B.

其中一定能唯一確定A、B兩地之間的距離的所有方案的序號是.

12.（2022?青海?海東市第一中學模擬預測（理））如圖，在平面四邊形A8CD中，已知8C

⑴若NCBD=45。，求2。的長；

（2）若cos/ACD=f,且AB=4,求AC的長.

13.（2022?青海玉樹?高三階段練習（文））在ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c,且ABC的面積5=￡（°2+/一片）

⑴求角8的大小；

(2)若a+取=2c，求sinC.

14.(2022?上海浦東新?二模)已知函數/■(x)=rsinx-cosx(teR)

⑴若函數/(x)為偶函數，求實數f的值；

⑵當仁小時，在ABC中(45c所對的邊分別為“、6、。),若“2A)=2,。=3,且ABC

的面積為2辟，求”的值.

15.(2022?全國?高三專題練習)記ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

cosA_sin2B

1+sinAl+cos2B

兀

(1)若c號2，求3

⑵求《4三的最小值.

C

16.(2022.青海?海東市第一中學模擬預測(文))在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,

b,c,a1-b1+^-bc=accosB.

2

⑴求角4

(2)若加皿24=/51115,求ABC面積的最大值.

17.(2022?上海金山?二模)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c.已知

2bsinA-島=0,且B為銳角.

(1)求角8的大小；

(2)若3c=3a+J第，證明：ABC是直角三角形.

18.(2022?湖南?湘潭一中高三階段練習)ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已

知(2〃-c)sinA+(2c-a)sinC=2bsinB.

(D求A

(2)若A5c為銳角三角形，且c=2,求A5C周長的取值范圍.

19.(2022?上海黃浦?二模)某公園要建造如圖所示的綠地Q4BC,OA,0c為互相垂直的

墻體，已有材料可建成的圍欄A8與BC的總長度為12米，S.ZBAO=ZBCO.設/R4O=a

(0<a<—).

2

jr

(1)當45=4,a=y時，求AC的長；(結果精確到0.1米)

(2)當AB=6時，求Q4BC面積S的最大值及此時a的值.

20.(2022?上海虹口?二模)如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形43CD的區域進行綠化,

在此綠化區域中，分別以/DCB和ND鉆為圓心角的兩個扇形區域種植花卉，且這兩個扇

形的圓弧均與8。相切.

⑴若AZ）=4廊，AB=3后,BD=37（長度單位：米），求種植花卉區域的面積；

（2）若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則/應M多大時，平行四邊形綠地A3C。占地面

積最小？

1.（2021.全國.高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作,

其中第一■題是測海島的IWJ.如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于

水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和都稱為“表目距”,

GC與EH的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）

表IWIx表距表圖x表距

A.+表高B.-表高

表目距的差表目距的差

表IWJx表距表高x表距一

C.+表距表目距的差表距

表目距的差

2.（2021?全國?高考真題（文））在A5C中，已知8=120。，AC=J19,AB=2,則8C=

)

A.1B.&c.75D.3

3.（2021?浙江?高考真題）在ABC中，ZB=60°MB=2,M是2C的中點，AM=24,

則AC=,cosZMAC=.

4.（2022?浙江?高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式,

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白.如果把這個方法寫成公

式，就是S=tc2a2一J、；-1］；,其中a,：。是三角形的三邊，§是三角形的面積.設

某三角形的三邊a=&,b=0=2,則該三角形的面積S=.

5.（2022?全國?高考真題（理））已知A5C中，點。在邊上，

AT

ZADB=120°,AD=29CD=2BD.當，取得最小值時，BD=________.

AB

JT

6.（2022?上海?高考真題）在中，ZA=-,AB=2,AC=3,則△ABC的外接圓半

徑為________

7.（2021.全國.高考真題（理））記ABC的內角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,面積為褥，

B=60°,a1+C1=3ac,則b=.

8.（2022.全國.高考真題（理））記ABC的內角4伉。的對邊分別為。也c,已知

sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）,

⑴證明：2a2=b2+c2;

25

（2）若Q=5,cosA=——,求ABC的周長.

9.（2022.全國.高考真題）記ABC的內角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知

cosAsin2B

1+sinAl+cos2B

兀

⑴若c號2，求8；

（2）求心反■的最小值.

C

10.（2022?浙江?高考真題）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

3

4a=>/5c,cosC=5.

(1)求sinA的值；

(2)若6=11,求ABC的面積.

11.(2022?北京?高考真題)在ABC中,sin2C=N/3sinC.

⑴求NC；

(2)若6=6,且ABC的面積為6不，求ABC的周長.

12.(2022?全國?高考真題)記ASC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,