第二章平面解析幾何幾何2.4曲線與方程知識梳理一曲線方程的定義在直角坐標系中，如果曲線上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程上的解為坐標的點都在曲線上；那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。二求軌跡方程的基本流程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量之間的方程．1．五種軌跡方程求法：（1）直接法：當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；（2）定義法：當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；（3）代入法（相關點法）：當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法；（4）消參法：求動點軌跡方程時借助中間參量得到橫縱坐標關系，進一步得到方程；（5）交軌法：求兩條動曲線交點軌跡方程時可由方程直接消去參數，得到軌跡方程。2．求軌跡方程時，一要區分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當的直角坐標系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．常見考點考點一曲線與方程的概念、點與曲線的位置關系典例1．已知命題“方程的解為坐標的點都是曲線C上的點”是真命題，則下列命題正確的是（

）.A．曲線C上的點的坐標都是方程的解；B．坐標不滿足方程的點不在曲線上；C．曲線C是方程的曲線；D．不是曲線C上的點的坐標，一定不滿方程.變式1-1．已知坐標滿足方程的點都在曲線上，那么（）A．曲線上的點的坐標都適合方程B．不在上的點的坐標必不適合C．凡坐標不適合的點都不在上D．不在上的點的坐標有些適合，有些不適合變式1-2．設曲線和的交點為P，那么曲線必定（

）A．經過P點 B．經過原點C．不一定經過P點 D．經過P點和原點變式1-3．若點在曲線上，則實數a的值等于（

）A． B．1 C．3 D．考點二由方程求曲線的圖形典例2．方程所表示的曲線為（

）A．射線 B．直線C．射線或直線 D．無法確定變式2-1．方程表示的曲線是（

）A．圓 B．半圓與一條直線 C．一條直線 D．兩條直線變式2-2．方程y＝表示的曲線是（

）A．一個圓 B．兩條射線C．半個圓 D．一條射線變式2-3．方程表示的曲線是（

）A． B．C． D．考點三由方程研究曲線的性質典例3．方程所表示的曲線（

）．A．關于y軸對稱 B．關于直線對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱變式3-1．方程表示的曲線關于（

）A．直線對稱 B．坐標原點對稱 C．軸對稱 D．軸對稱變式3-2．已知曲線C方程為x2+y2+|x|y＝2020，則曲線C關于（）對稱A．x軸 B．y軸 C．原點 D．y＝x變式3-3．方程所表示的曲線（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱考點四求軌跡方程-直接法典例4．已知點，，動點滿足，則動點軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式4-1．在平面直角坐標系中，若定點與動點滿足，則點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．變式4-2．在平面內，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式4-3．已知動圓過定點，且被軸截得的弦長為2，則圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．考點五求軌跡方程-代入法（相關點法）典例5．已知是橢圓上任一點.是坐標原點，則中點的軌跡方程為A． B． C． D．變式5-1．點在圓上移動時，它與定點連線的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．變式5-2．已知點，直線，點是直線上的一個動點，若是RA的中點，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式5-3．已知點A(1，0)，直線l：y＝2x－4，點R是直線l上的一點，若，則點P的軌跡方程為(

)A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4鞏固練習練習一曲線與方程的概念、點與曲線的位置關系1．已知曲線C的方程是，則下列命題中錯誤的是（

）A．不在曲線C上的點的坐標可以滿足方程B．曲線C上的點的坐標都滿足方程C．坐標不滿足方程的點都不在曲線C上D．不在曲線C上的點的坐標都不滿足方程2．若命題“曲線C上的點的坐標都是方程的解”是真命題，則下列命題中是真命題的為A．方程表示的曲線是C B．方程是曲線C的方程C．方程的曲線不一定是C D．以方程的解為坐標的點都在曲線C上3．下列各點中，在曲線上的是（

）A． B． C． D．4．已知曲線的方程為，則下列各點中在曲線上的點是（）A． B． C． D．練習二由方程求曲線的圖形5．如圖，方程表示的曲線是（

）．A．B．C．D．6．方程表示的圖形是（

）A．直線 B．直線C．點 D．直線和直線7．方程表示的圖形是A．圓 B．兩條直線C．一個點 D．兩個點8．方程表示的曲線為（

）A．兩條線段 B．一條線段和一個圓C．一條線段和半個圓 D．一條射線和半個圓練習三由方程研究曲線的性質9．方程表示的曲線滿足（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱 C．關于原點對稱 D．以上說法都不對10．方程所表示的曲線的對稱性是（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于直線對稱 D．關于原點對稱11．方程所表示的曲線（

）A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線對稱12．關于曲線有如下四個結論：①圖像關于軸對稱；

②圖像關于軸對稱；③圖像上任意一點到原點的距離不超過4；

④當時，是的函數.其中正確的序號是（

）A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④練習四求軌跡方程-直接法13．點，，動點滿足，則滿足的方程是（

）A． B．C． D．14．在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，點是動點，且直線與的斜率之積為，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．15．在平面直角坐標系中，動點關于軸對稱的點為，且，則點軌跡方程為（

）A． B． C． D．16．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為（

）A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0練習五求軌跡方程-代入法（相關點法）17．當點P在圓上變動時，它與定點Q(3，0)相連，線段PQ的中點M的軌跡方程是（

）A． B．C．