第第頁專題14與圓有關的證明和計算（1）切線判定：=1\*GB3①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線=2\*GB3②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）=3\*GB3③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（2）切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑．1．如圖，在中，，以為直徑作圓，分別交于點，交的延長線于點，過點作于點，連接交線段于點．(1)求證：EH=CH；(2)求證：是圓的切線；(3)若，求圓的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）先判斷出是等腰三角形，即可得出結論；（2）連接OD，先判斷出是等腰三角形，進而得出，進而判斷出，即可得出結論（3）設的半徑為r，即，先判斷出，進而得出，得出，，進而得出，再判斷出，得出比例式建立方程求解，即可求出答案．（1）證明：，，在⊙中，，∴，是等腰三角形，∵，∴（2）證明：連接，如圖1，，是等腰三角形，，，，，∴，，，∵是的半徑，是圓的切線；（3）連接，如圖1，，設⊙的半徑為，即，，，∵，，則，，，∵是等腰三角形，∴，，∴是等腰三角形，∵是⊙的直徑，∴，∴，，在⊙中，，，在中，，，，，，，，解得：，舍，綜上所述，⊙的半徑為．【我思故我在】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，用方程的思想解決問題是解（3）的關鍵．2．小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設和結論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點，直線于點，則．請證明此結論；（2）從圓上任意一點出發的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點，直線于點，則．可以通過延長、相交于點，再連接證明結論成立．請寫出證明過程；（3）如圖3，，組成的一條折弦，若是優弧的中點，直線于點，則，與之間存在怎樣的數量關系？請寫出證明過程．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據等腰三角形三線合一這一性質，可以證得．（2）根據圓內接四邊形的性質，先，再證為等腰三角形，進一步證得，從而證得結論．（3）根據，從而證明，得出，然后判斷出，進而求得．【詳解】證明：（1）如圖1，連接，，是劣弧的中點，，，，，，，為等腰三角形，，；（2）如圖2，延長、相交于點，再連接，是圓內接四邊形，，是劣弧的中點，，，為等腰三角形，，，，，（3）．連接，，，、相交于點，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．【我思故我在】本題主要考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質，三角形全等的判定及性質，解題的關鍵是掌握垂徑定理在5個條件中，1．平分弦所對的一條?。?．平分弦所對的另一條?。?．平分弦；4．垂直于弦；5．經過圓心（或者說直徑）．只要具備任意兩個條件，就可以推出其他的三個．3．如圖，AB是的直徑，AC是的切線，連接OC，弦，連接BC，DC．求證：DC是的切線；若，求的值．【分析】連接OD，如圖，利用切線的性質得，再利用平行線的性質證明，則可判定≌，從而得到，然后根據切線的判定方法得到結論；作于E，如圖，在中由于，則可設，，所以，則，再在中利用正弦可表示出，利用勾股定理可得到，于是得到，從而在中根據正切定義得到，然后根據平行線的性質即可得到的值．【詳解】證明：連接OD，如圖，為切線，，，，，，，，，在和中，≌，，，是的切線；解：作于E，如圖，在中，，設，，，，在中，，，，，在中，，，，的值為．【我思故我在】本題考查了切線的性質：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經過切點的半徑判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”也考查了解直角三角形．4．圖，是的直徑，點C在的延長線上，平分交于點D，過點A作，垂足為點E．(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的半徑以及線段的長．【答案】(1)是的切線，理由見解析(2)3；【分析】（1）連接，根據等腰三角形的性質得出，根據角平分線的定義得出，即，根據平行線的判定方法得出，根據，得出，根據即可得出結論；（2）設，在中，由勾股定理列出關于x的方程即可；先求出，然后再根據，得出，代入數據即可得出答案．【詳解】（1）：是的切線，理由如下：連接OD，如圖所示：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設，在中，由勾股定理得，，即，解得，即半徑為3；∵，∴，根據解析（1）可知，，∴，即，解得：．【我思故我在】本題主要考查了切線的判定，平行線的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是根據平行線的性質得出．5．如圖，在等腰中，，以為直徑的與交于點D，，垂足為E，的延長線與的延長線交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，求的長．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，

∴．∵，

∴，∴，∴．∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連接，∵是的直徑，

∴．∵，

∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴∴．【我思故我在】本題考查等腰三角形的性質，平行線的判定和性質，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質等知識．連接常用的輔助線是解題關鍵．6．如圖，在中，，以為直徑的與斜邊交于點，點為邊的中點，連接．(1)求證：是的切線；(2)填空①若，，則___________；②當___________時，以，，，為頂點的四邊形是正方形．【答案】(1)見解析(2)①；②【詳解】（1）證明：∵是直徑，∴，∵點為邊的中點，∴DE=CE=BE，∴，，連接，則，∴，∴是的切線．（2）解：①∵在中，，∴，∴，故答案為：；②只要，以，，，為頂點的四邊形就是正方形，則，故答案為：．【我思故我在】本題考查了圓的切線的判定及解直角三角形的知識和正方形的判定，通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形是解答本題的關鍵．7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦，E是CA延長線上的一點，連接DE交⊙O于點F連接AF，CE．(1)若，求的度數．(2)求證：AF平分．(3)若，，且CF經過圓心O，求CE的長．【答案】(1)70°(2)詳見解析(3)【分析】（1）由垂徑定理得到，從而得到與的關系，通過直角三角形的性質可以得到,由圓周角定理的推理即可得出；（2）由垂徑定理和圓周角定理的推理可以得出,再由圓內接四邊形和得出與的關系，從而得到，由圓周角定理的推理得出與的關系，從而得出與的關系，得證；（3）由垂徑定理可以得出CH，由勾股定理得出OH，從而得出AH的長，再由勾股定理得出AC的長，由，根據平行線分線段成比例定理，得出，從而得出CE的長．(1)（1）解：如圖，連接OD，AD，設AB交CD于H．∵，∴，，∴，∴，∴∠AFC＝∠ADH＝70°．(2)（2）證明：∵AB是直徑，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴AF平分．(3)（3）解：如圖，設AB交CD于H．∵AB是直徑，，∴，∵，，∴∴，∴∵CF是直徑，∴，∴，∴∵，∴，∴．【我思故我在】本題考查了垂徑定理、圓周角定理及推理、勾股定理、平行線分線段成比例定理，熟練掌握相關定理是解決本題的關鍵．8．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AC與BD交于點E，P為CB延長線上一點，連接PA，且∠PAB=∠ADB．(1)求證：PA為⊙O的切線；(2)若AB=6，tan∠ADB=，求PB的長；(3)在（2）的條件下，若AD=CD，求△CDE的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)5【分析】（1）連接OA，根據等腰三角形的性質得到∠OAB=∠OBA，根據圓周角定理得到∠CAB=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據三角函數的定義得到AC=8，根據勾股定理得到BC=，求得OB=5，過B作BF⊥AP于F，設AF=4k，BF=3k，求得BF=，根據相似三角形的性質即可得到結論；（3）連接OD交AC于H，根據垂徑定理得到AH=CH=4，得到OH=，根據相似三角形的性質得到DE=，根據三角形的面積公式即可得到結論．(1)證明：連接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵BC為⊙O的直徑，∴∠CAB=90°，∴∠ACB＋∠ABC=90°，∵∠ADB=∠ACB=∠PAB，∴∠PAB＋∠OAB=90°，∴∠OAP=90°，∴PA為⊙O的切線；(2)解：∵∠ADB=∠ACB，∴tan∠ADB=tan∠ACB=，∵AB=6，∴AC=8，∴BC=，∴OB=5，過B作BF⊥AP于F，∵∠ADB=∠BAF，∴tan∠ADB=tan∠BAF=，∴設AF=4k，BF=3k，∴AB=5k=6，∴k=，∴BF=，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BFOA，∴△PBF∽△POA，∴，即，∴PB=；(3)解：連接OD交AC于H，∵AD=CD，∴，∴OD⊥AC，∴AH=CH=4，∴OH=，∴DH=2，∴CD=，∴BD=，∵∠ADE=∠BDA，∠DAE=∠ABD，∴△ADE∽△BDA，∴，即，∴DE=，∴△CDE的面積為．9．問題提出(1)如圖1，AB為圓O的弦，在圓O上找一點P，使點P到AB的距離最大．(2)問題探究如圖2，在扇形AMB中，點M為扇形所在圓的圓心，點P為上任意一點，連接PM，與AB交于點Q，若AB＝10，AM＝7，求出PQ的最大值．(3)問題解決如圖3，小華家有一塊扇形AOB的田地，線段OA、線段OB以及分別為扇形AOB的邊沿部分．經過市場調查發現，小華爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作種植當季蔬菜，具體操作方式如下：在上選取點C，過點C作CMOB，CNOA，則四邊形MONC為小華爸爸所圈空地．已知：扇形AOB的圓心角∠AOB＝60°，OA＝OB＝90m，且用于修建圍擋的線段MC部分與線段CN部分的成本均為30元/米．請你根據以上數據計算：小華爸爸最終所花費的修建費預算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（結果保留整數，取1.73）【答案】(1)見解析(2)(3)210元解：如圖1，過點O作OP⊥AB，此時點P處于中心位置，∵在圓內，弦所對弧的中點到弦的垂線段距離最大，∴此時P點到AB的距離最大；(2)解：如下圖，Q點在AB的中點時，QM最小，則PQ最大，∵MA＝MB，AQ＝BQ，∴QM⊥AM，∵AB＝10，AM＝7，∴AQ＝BQ＝5，∴，∴；(3)解：由題意可知，當點C處于中點時，對角線最長，此時，OC＝OA＝90，AB⊥OC與點Q，∵CMOB，∴∠AMC＝60°，∵CNOA，∴∠CNB＝60°，∴∠CMQ＝∠CNQ＝60°，∴△CMN為等邊三角形，同理證明△OMN也為等邊三角形，在Rt△OMQ中，OQOC＝45，OM＝2MQ，OM2＝MQ2+OQ2，∴OM＝1526.01，∴?OMCN的周長C＝OM+ON+NC+MC＝4OM＝8MQ＝208.08≈209（不足1米按照1米計算），∵成本均為30元/米，∴，則預算最多為：7×30＝210（元）．【我思故我在】本題考查了弦所對弧的中點到弦的垂線段距離最大，點到弦之間的距離垂線段最短，平行四邊形周長的最大值，解題關鍵是把求平行四邊形四條邊的平方的和，換成求平行四邊形對角線的最大值，問題就得以解決．10．如圖，在中，，，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，點E是上不與點B，D重合的任意一點，連接AE交BD于點F，連接BE并延長交AC于點G．（1）求證：；（2）填空：①若，且點E是的中點，則DF的長為；②取的中點H，當的度數為時，四邊形OBEH為菱形．【答案】（1）見解析（2）①②30°【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得，再應用同角的余角相等可得，易得，得證；（2）作，應用等弧所對的圓周角相等得，再應用角平分線性質可得結論；由菱形的性質可得，結合三角函數特殊值可得．【詳解】解：（1）證明：如圖1，，，AB是的直徑，，；（2）①如圖2，過F作于H，點E是的中點，，，，即，，即，故答案為．②連接OE，EH，點H是的中點，，四邊形OBEH為菱形，．故答案為11．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上一動點，AG，DC的延長線交于點F，連接AC，AD，GC，GD．（1）求證：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝6．①當AC⊥DG，CG＝2時，求sin∠ADG；②當四邊形ADCG面積最大時，求CF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）①sin∠ADG＝；②CF＝6．【分析】（1）由垂徑定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質可得∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；（2）①如圖，設AC與GD交于點M，證△GMC∽△AMD，設CM＝x，則DM＝3x，在Rt△AMD中，通過勾股定理求出x的值，即可求出AM的長，可求出sin∠ADG