第02講勾股定理逆定理課程標準學習目標①勾股定理逆定理②勾股數(shù)③勾股定理的應用掌握勾股定理的逆定理內容，并能夠熟練的運用它來判斷直角三角形。掌握勾股數(shù)并能夠判斷勾股數(shù)。能夠在各類實際問題中熟練應用勾股定理。知識點01勾股定理逆定理勾股定理逆定理內容：在△ABC中，如果三角形的三邊分別是且滿足，則該三角形一定是有一個直角三角形且∠C是直角。勾股定理的逆定理用于判斷一個三角形是不是直角三角形。直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一個角是90°。③三角形中有兩個角之和為90°。【即學即練1】1．以下列數(shù)據(jù)為長度的線段中，可以構成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5【即學即練2】2．如圖，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．（1）試說明△ABC為直角三角形．（2）求CE的長．知識點02勾股數(shù)勾股數(shù)的定義：滿足勾股定理：即的三個稱為勾股數(shù)。注意：①一定要滿足勾股定理；②一定要是正整數(shù)。常見的勾股數(shù)類型：基本勾股數(shù)：（3，4，5）（6，8，10）①倍數(shù)型勾股數(shù)：②奇數(shù)規(guī)律：滿足的三個正整數(shù)。（為奇數(shù)）③偶數(shù)規(guī)律：滿足的三個正整數(shù)。（為偶數(shù)）【即學即練1】3．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15知識點03勾股定理的應用勾股定理的實際應用：在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用。【即學即練1】4．2023年7月五號臺風“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴重影響．據(jù)報道，這是今年以來對我國影響最大的臺風，風力影響半徑250km（即以臺風中心為圓心，250km為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風影響）．如圖，線段BC是臺風中心從C市移動到B市的大致路線，A是某個大型農場，且AB⊥AC．若A，C之間相距300km，A，B之間相距400km．（1）判斷農場A是否會受到臺風的影響，請說明理由；（2）若臺風中心的移動速度為20km/h，則臺風影響該農場持續(xù)時間有多長？題型01判定直角三角形【典例1】已知a，b，c是△ABC的三邊，下列條件中，能夠判斷△ABC為直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠B＝2∠C C．a(chǎn)：b：c＝2：2：3 D．【變式1】下列四條線段不能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝8，b＝15，c＝17 B．a(chǎn)＝9，b＝12，c＝15 C．a(chǎn)＝，b＝，c＝ D．a(chǎn)：b：c＝2：3：4【變式2】△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C【變式3】若△ABC的三邊分別是a，b，c，則下列條件能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6 D．a(chǎn)＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0）題型02勾股定理逆定理的應用【典例1】若一個三角形的三邊分別是7，24，25，則它的面積是（）A．84 B．87.5 C．168 D．300【變式1】如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，點O是三條角平分線的交點，則△BOC的BC邊上的高是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，動點P從點B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動，試問：動點P的運動時間為多少時，△ABP為直角三角形．【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．（1）求證：△ACD是直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．題型03勾股數(shù)及其求值【典例1】下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．2，4，6 B．1，，2 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5【變式1】勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù)，則下列各組數(shù)構成勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41【變式2】給出下列四個說法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，所以以0.3，0.4，0.5為邊長的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3為邊長的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股數(shù)；③若a，b，c是勾股數(shù)，且c最大，則一定有a2+b2＝c2；④若三個整數(shù)a，b，c是直角三角形的三邊長，則2a，2b，2c一定是勾股數(shù)，其中正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【典例2】若3，a，5是一組勾股數(shù)，則a的值為（）A． B．4 C．或4 D．2【變式1】若6，8，a是一組勾股數(shù)，則a的值為（）A． B．10 C．或10 D．7【變式2】已知一組勾股數(shù)中的兩個數(shù)分別是3和4，那么第三個數(shù)是（）A．5 B．5或 C． D．7題型04勾股數(shù)的證明【典例1】（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（2）如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由．【變式1】當直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時，我們稱這三個數(shù)為勾股數(shù)．如：3，4，5都是正整數(shù)，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股數(shù)．（1）當n是大于1的整數(shù)時，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股數(shù)，說明理由；（2）當n是大于1的奇數(shù)時，若，x是勾股數(shù)，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示）題型05勾股定理的實際應用【典例1】如圖，從電線桿離地面6米處向地面拉一條10米長的鋼纜，地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離AB是（）米．A．6 B．7 C．8 D．9【變式1】如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【變式2】勾股定理是人類數(shù)學文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結合的紐帶之一．如圖，當秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推4m至C處時（即水平距離CD＝4m），踏板離地的垂直高度CF＝3m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）A．4m B．5m C．6m D．8m【變式3】圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結構示意圖．根據(jù)安全標準需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°），通過計算說明該車是否符合安全標準．【變式4】如圖，一架25m長的梯子AB，斜靠在豎直的墻AC上，這時梯子的底部B到墻底端C的距離為7m．（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的底部B在水平方向滑動了8m至D，那么梯子的頂端A沿墻垂直也下滑了8m嗎？【變式5】某實踐探究小組在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度，通過勘測，得到如下記錄表：測量示意圖測量數(shù)據(jù)邊的長度①測得水平距離BC的長為15米．②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線AB的長為17米．③小明牽線放風箏的手到地面的距離為1.7米．數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認真分析，他們發(fā)現(xiàn)根據(jù)勘測組的全部數(shù)據(jù)就可以計算出風箏離地面的垂直高度AD．請完成以下任務．（1）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求線段AD的長．（2）如果小明想要風箏沿DA方向再上升12米，BC長度不變，則他應該再放出多少米線？1．下列線段能組成直角三角形的一組是（）A．1，2，2 B．3，4，5 C．，2， D．5，6，72．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4 C．6，8，10 D．32，42，523．下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C C．AB：BC：AC＝1：2： D．AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.54．若3、4、a為勾股數(shù)，則a的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或 D．5或5．如圖1，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，圖2是這棵大樹折斷的示意圖，則這棵大樹在折斷之前的高是（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米6．如圖，在四邊形ABCD中，，BC＝2，CD＝1，，且∠BCD＝90°，則四邊形ABCD的面積為（）A． B． C． D．7．如圖，將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度是為hcm，則h的取值范圍是（）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤138．如圖，為了測量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A，B，C三點，且A，D，E，C四點在同一條直線上，∠C＝90°，已測得AB＝100m，B