離散型隨機變量及其分布列、均值與方差探考情悟真題【考情探究】考點內容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯考點1.離散型隨機變量的分布列(1)理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性.(2)理解超幾何分布及其導出過程,并能進行簡單的應用.(3)理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題2019課標Ⅱ,13,5分離散型隨機變量的均值計算利用頻率估計概率★★★2019課標Ⅰ,21,12分求離散型隨機變量的分布列數列2018課標Ⅰ,20,12分利用期望進行決策二項分布的均值、導數2017課標Ⅲ,18,12分離散型隨機變量的分布列、期望利用頻率估計概率2.離散型隨機變量的均值與方差2016課標Ⅰ,19,12分求離散型隨機變量的分布列,利用期望進行決策利用相互獨立事件的概率公式求概率分析解讀本節內容常以實際問題為背景,考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差,解題時要熟悉相關公式的應用.考查學生的數據分析能力和數學運算能力.多以解答題的形式呈現,分值約為12分.破考點練考向【考點集訓】考點一離散型隨機變量的分布列(2019廣東汕頭一模,5)已知離散型隨機變量X的分布列為X0123P84m1則X的數學期望E(X)=()A.23 B.1 C.3答案B考點二離散型隨機變量的均值與方差1.(2018浙江重點中學模擬,8)已知隨機變量ξ滿足P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,若0<x<A.E(ξ)隨著x的增大而增大,D(ξ)隨著x的增大而增大B.E(ξ)隨著x的增大而減小,D(ξ)隨著x的增大而增大C.E(ξ)隨著x的增大而減小,D(ξ)隨著x的增大而減小D.E(ξ)隨著x的增大而增大,D(ξ)隨著x的增大而減小答案C2.(2018河南南陽一中第七次考試,14)已知5件產品中有2件次品,現逐一檢測,直至能確定所有次品為止,記檢測的次數為ξ,則E(ξ)=.

答案7煉技法提能力【方法集訓】方法1離散型隨機變量的分布列、期望與方差的求法(2018天津,16,13分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調查.(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數,求隨機變量X的分布列與數學期望;(ii)設A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發生的概率.解析本題主要考查隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列與數學期望、互斥事件的概率加法公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)(i)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4所以,隨機變量X的分布列為X0123P112184隨機變量X的數學期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×4(ii)設事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67所以,事件A發生的概率為67導師點睛超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到某類個體的個數.超幾何分布的特點:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數;(3)從中抽取若干個個體,考察某類個體個數X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質是古典概型.方法2利用期望與方差進行決策的方法(2020屆四川成都雙流中學10月月考,19)甲、乙兩品牌計劃入駐某商場,該商場批準兩個品牌先進場試銷5天.兩品牌提供的返利方案如下:甲品牌無固定返利,賣出10件以內(含10件)的產品,每件產品返利5元,超出10件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利20元,且每賣出一件產品再返利3元.經統計,兩家品牌在試銷期間的銷售件數的莖葉圖如下:甲乙667069201322(1)現從乙品牌試銷的5天中隨機抽取3天,求這3天的銷售量中至少有一天低于10的概率;(2)若將頻率視作概率,回答以下問題:①記甲品牌的日返利額為X(單位:元),求X的分布列和數學期望;②商場擬在甲、乙兩品牌中選擇一個長期銷售,如果僅從日返利額的角度考慮,請利用所學的統計學知識為商場做出選擇,并說明理由.解析本題考查古典概型概率的計算,隨機變量的分布列和數學期望的計算,考查學生的運算求解能力,屬于中檔題.(1)解法一:設事件A為“從乙品牌試銷的5天中隨機抽取3天,這3天的銷售量中至少有一天低于10”,則P(A)=C21C解法二:設事件A為“從乙品牌試銷的5天中隨機抽取3天,這3天的銷售量中至少有一天低于10”,則事件A為“從乙品牌試銷的5天中隨機抽取3天,這3天的銷售量都不低于10”,則P(A)=1-P(A)=1-C33C53(2)①設甲品牌的日銷售量為隨機變量ξ,則甲品牌的日返利額X(單位:元)與ξ的關系為X=5ξ故X的分布列為X30355064P2111所以E(X)=30×25+35×15+50×15②解法一:設乙品牌的日銷售量為隨機變量η,乙品牌的日返利額Y(單位:元)與η的關系為Y=20+3η,且η的分布列為η691213P1121所以E(η)=6×15+9×15+12×25則E(Y)=E(3η+20)=3E(η)+20=3×10.4+20=51.2.因為乙品牌的日平均返利額大于甲品牌的日平均返利額,所以如果僅從日返利額的角度考慮,商場應選擇乙品牌長期銷售.解法二:乙品牌的日返利額Y(單位:元)的取值集合為{38,47,56,59},分布列為Y38475659P1121則E(Y)=38×15+47×15+56×25因為乙品牌的日平均返利額大于甲品牌的日平均返利額,所以如果僅從日返利額的角度考慮,商場應選擇乙品牌長期銷售.【五年高考】A組統一命題·課標卷題組考點一離散型隨機變量的分布列1.(2019課標Ⅰ,21,12分)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈,則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈,則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈,則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設α=0.5,β=0.8.(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列;(ii)求p4,并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.解析本題主要考查概率與數列的綜合,考查離散型隨機變量的分布列,等比數列的判定及累加法的應用,考查學生靈活運用概率與數列知識去分析、解決實際問題的能力,綜合考查學生的邏輯推理能力、數學運算能力以及應用意識、創新意識.(1)X的所有可能取值為-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列為X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i)證明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因為p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比為4,首項為p1的等比數列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=48-1由于p8=1,故p1=34所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13pp4表示最終認為甲藥更有效的概率.由計算結果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認為甲藥更有效的概率為p4=1257試題分析本題以試驗新藥療效為背景,命制了一個概率與數列的綜合性問題,試題很新穎,創新度高,考查學生靈活運用數學知識解決實際問題的能力.本題層次分明,內容豐富,區分度較高,使不同學生的理性思維的廣度和深度得到了充分展示.2.(2017課標Ⅲ,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數學期望達到最大值?解析本題考查隨機變量的分布列,數學期望.(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數據知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=36P(X=500)=25+7+490因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考慮200≤n≤500.當300≤n≤500時,若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區間[20,25),則Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.當200≤n<300時,若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300時,Y的數學期望達到最大值,最大值為520元.名師點撥求離散型隨機變量的分布列、均值與方差需過四關:①“題目的理解關”.要抓住題中關鍵字句,盡可能轉化為自己熟悉的模型.②“隨機變量的取值關”.準確無誤地找出隨機變量的所有可能取值.③“事件的類型關”.概率問題中的事件涉及等可能事件、互斥事件、對立事件、相互獨立事件等,在計算相應的概率前要先確定事件的類型.④“概率的運算關”.運用公式P(A)=mn,P(A+B)=P(A)+P(B),P(A·B)=P(A)·P(B),P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)考點二離散型隨機變量的均值與方差1.(2019課標Ⅱ,13,5分)我國高鐵發展迅速,技術先進.經統計,在經停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.

答案0.982.(2018課標Ⅰ,20,12分)某工廠的某種產品成箱包裝,每箱200件,每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產品中任取20件作檢驗,再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產品是不是不合格品相互獨立.(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0;(2)現對一箱產品檢驗了20件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(i)若不對該箱余下的產品作檢驗,這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據,是否該對這箱余下的所有產品作檢驗?解析(1)20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1-p)因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C20令f'(p)=0,得p=0.1,當p∈(0,0.1)時,f'(p)>0;當p∈(0.1,1)時,f'(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數,依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果對余下的產品作檢驗,則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于EX>400,故應該對余下的產品作檢驗.

B組自主命題·省(區、市)卷題組考點一離散型隨機變量的分布列(2019北京,17,13分)改革開放以來,人們的支付方式發生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發現樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:支付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數,求X的分布列和數學期望;(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3人,發現他們本月的支付金額都大于2000元.根據抽查結果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化?說明理由.解析本題主要考查用樣本分布估計總體分布,離散型隨機變量的分布列與期望,以實際生活為背景考查學生解決實際問題的能力,滲透了數據分析的核心素養,體現了應用與創新意識.(1)由題意知,樣本中僅使用A的學生有18+9+3=30人,僅使用B的學生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人.所以從全校學生中隨機抽取1人,該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率估計為40100(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000元”.由題設知,事件C,D相互獨立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+1所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數學期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設樣本僅使用A的學生中,本月支付金額大于2000元的人數沒有變化,則由上個月的樣本數據得P(E)=1C303答案示例1:可以認為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發生.一旦發生,就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數發生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發生,但還是有可能發生的,所以無法確定有沒有變化.思路分析(1)由頻率=頻數樣本容量即可求解相應頻率,進而用頻率估計概率.(2)僅使用A,且支付金額大于1000元的概率P=9+330=0.4,僅使用B,且支付金額大于1000元的概率P=14+1(3)開放性題目,從事件發生的概率說明理由即可.本題以移動支付的出現及普及為背景來設計問題,樣本數據來源于學生熟悉的情景,不僅使學生體會到數學應用的廣泛性,同時也體現了人們生活方式的巨大變化.第(3)問結合古典概型考查概率的意義,體會統計中的決策思想.考點二離散型隨機變量的均值與方差(2017北京,17,13分)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標x和y的數據,并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機選出一人,求此人指標y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機選出兩人,記ξ為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數,求ξ的分布列和數學期望E(ξ);(3)試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差與未服藥者指標y數據的方差的大小.(只需寫出結論)解析本題考查古典概型,離散型隨機變量的分布列與數學期望,方差等知識.(1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機選出一人,此人指標y的值小于60的概率為1550(2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值為0,1,2.P(ξ=0)=C22C42=16,P(ξ=1)=C2所以ξ的分布列為ξ012P121故ξ的期望E(ξ)=0×16+1×23+2×(3)在這100名患者中,服藥者指標y數據的方差大于未服藥者指標y數據的方差.方法總結①在求解離散型隨機變量的分布列與數學期望時,先確定隨機變量的取值及各個取值對應的概率,利用期望的公式求其數學期望;②在比較數據的方差時,可以根據兩組數據的集中或分散程度進行比較.C組教師專用題組考點一離散型隨機變量的分布列1.(2019江蘇,23,10分)在平面直角坐標系xOy中,設點集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},Bn={(0,1),(n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.令Mn=An∪Bn∪Cn.從集合Mn中任取兩個不同的點,用隨機變量X表示它們之間的距離.(1)當n=1時,求X的概率分布;(2)對給定的正整數n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).解析本題主要考查計數原理、古典概型、隨機變量及其概率分布等基礎知識,考查邏輯思維能力和推理論證能力.滿分10分.(1)當n=1時,X的所有可能取值是1,2,2,5.X的概率分布為P(X=1)=7C62=715,P(X=2)=P(X=2)=2C62=215,P(X=5)=(2)設A(a,b)和B(c,d)是從Mn中取出的兩個點.因為P(X≤n)=1-P(X>n),所以僅需考慮X>n的情況.①若b=d,則AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,則AB=(a-c)2③若b=0,d=2,則AB=(a-c)2+4≤④若b=1,d=2,則AB=(a-c)2綜上,當X>n時,X的所有可能取值是n2+1和P(X=n2+1)=4C2n因此,P(X≤n)=1-P(X=n2+1)-P(X=n22.(2017山東,18,12分)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用.現有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數,求X的分布列與數學期望EX.解析本題考查離散型隨機變量的分布列,期望.(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65CP(X=1)=C64CP(X=2)=C63CP(X=3)=C62CP(X=4)=C61C因此X的分布列為X01234P151051X的數學期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×521+2×1021+3×521解后反思(1)求離散型隨機變量X的分布列的步驟:①理解X的含義,寫出X所有可能的取值.②求X取每個值時的概率;③寫出X的分布列.(2)求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量取各個值時對應的概率,在求解時,要注意應用計數原理,古典概型概率公式等知識.3.(2015四川,17,12分)某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽,A中學推薦了3名男生、2名女生,B中學推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當,從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率;(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數,求X的分布列和數學期望.解析(1)由題意,參加集訓的男、女生各有6名.參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為C33C43C6(2)根據題意,X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C31C33C6P(X=3)=C33C所以X的分布列為X123P131因此,X的數學期望為E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×4.(2015重慶,17,13分)端午節吃粽子是我國的傳統習俗.設一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率;(2)設X表示取到的豆沙粽個數,求X的分布列與數學期望.解析(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”,則由古典概型的概率計算公式有P(A)=C21C(2)X的所有可能值為0,1,2,且P(X=0)=C83C103=7P(X=2)=C22C綜上知,X的分布列為X012P771故E(X)=0×715+1×715+2×1155.(2013課標Ⅱ,19,12分)經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出1t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如下圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品,以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.(1)將T表示為X的函數;(2)根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區間中點值代表該組的各個值,并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率),求T的數學期望.解析(1)當X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39000,當X∈[130,150]時,T=500×130=65000.所以T=800(2)由(1)知利潤T不少于57000元當且僅當120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.思路分析(1)經分段討論(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函數解析式.(2)先求出利潤T不少于57000元時X的范圍,然后根據直方圖得到概率的估計值.(3)T可能的取值是45000,53000,61000,65000,由此結合題意列出分布列,進而得期望.考點二離散型隨機變量的均值與方差1.(2018浙江,7,4分)設0<p<1,隨機變量ξ的分布列是ξ012P11p則當p在(0,1)內增大時,()A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小答案D2.(2017浙江,8,5分)已知隨機變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案A3.(2017江蘇,23,10分)已知一個口袋中有m個白球,n個黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除顏色外完全相同.現將口袋中的球隨機地逐個取出,并放入如圖所示的編號為1,2,3,…,m+n的抽屜內,其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率P;(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數,E(X)是X的數學期望,證明:E(X)<n(解析(1)編號為2的抽屜內放的是黑球的概率P=Cm+n(2)隨機變量X的概率分布為:X111…1…1PCCC…C…C隨機變量X的期望為:E(X)=∑k=nm+n1所以E(X)<1=1=1(n-1)Cm=1(n-1)Cm+n=1(n-1)Cm=…=1(n-1)=Cm+n即E(X)<n(4.(2015天津,16,13分)為推動乒乓球運動的發展,某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協會”,求事件A發生的概率;(2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列和數學期望.解析(1)由已知,有P(A)=C22C所以事件A發生的概率為635(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5所以隨機變量X的分布列為X1234P1331隨機變量X的數學期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1本題主要考查古典概型及其概率計算公式,互斥事件,離散型隨機變量的分布列與數學期望等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.屬中等難度題.5.(2015福建,16,13分)某銀行規定,一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時,發現自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確,則結束嘗試;否則繼續嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數為X,求X的分布列和數學期望.解析(1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)=56×45×34(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3.P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56所以X的分布列為X123P112所以E(X)=1×16+2×16+3×236.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,現需要通過檢測將其區分,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產品需要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列和均值(數學期望).解析(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,則P(A)=A21A(2)X的可能取值為200,300,400.P(X=200)=A22AP(X=300)=A33+P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=故X的分布列為X200300400P136EX=200×110+300×310+400×【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2020屆寧夏六盤山期中,3)下列表格可以作為ξ的分布列的是()A.ξ013Pa1-a1B.ξ123P1-11C.ξ45P01D.ξ-112P12aa2+2答案C2.(2019遼寧葫蘆島期末,6)已知X是離散型隨機變量P(X=1)=14,P(X=a)=34,E(X)=A.14 B.34 C.1答案B3.(2020屆山西大學附屬中學10月月考,9)已知排球發球考試規則:每位考生最多可發球三次,若發球成功,則停止發球,否則一直發到3次結束為止.某考生一次發球成功的概率為p(0<p<1),發球次數為X,若X的數學期望E(X)>1.75,則p的取值范圍為()A.0,12 B.0,712答案A4.(2018安徽合肥第一中學沖刺高考最后1卷,8)某班級有男生32人,女生20人,現選舉4名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育委員.男生當選的人數記為ξ,則ξ的數學期望為()A.1613 B.2013 C.32答案C5.(2020屆全國高三月考,8)已知甲盒中有2個紅球,1個藍球,乙盒中有1個紅球,2個藍球,從甲、乙兩個盒中各取1球放入原來為空的丙盒中,現從甲盒中取1個球,記紅球的個數為ξ1,從乙盒中取1個球,記紅球的個數為ξ2,從丙盒中取1個球,記紅球的個數為ξ3,則下列說法正確的是()A.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)B.E(ξ1)<E(ξ3)<E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)C.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3)D.E(ξ1)<E(ξ3)<E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3)答案C二、解答題(共35分)6.(2020屆云南昆明民族中學高三10月適應性月考,18)昆明市某中學的環保社團參照國家環境標準制定了該校所在區域空氣質量指數與空氣質量等級對應關系如下表(假設該區域空氣質量指數不會超過300),該社團將該校區在2018年100天的空氣質量指數監測數據作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如圖,把該直方圖所得頻率估計為概率.空氣質量指數(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空氣質量等級1級優2級良3級輕度污染4級中度污染5級重度污染6級嚴重污染(1)請估算2019年(以365天計算)全年空氣質量優良的天數(未滿一天按一天計算);(2)用分層抽樣的方法共抽取10天,則空氣質量指數在(0,50],(50,100],(100,150]的天數中各應抽取幾天?(3)已知空氣質量等級為1級時不需要凈化空氣,空氣質量等級為2級時每天需凈化空氣的費用為2000元,空氣質量等級為3級時每天需凈化空氣的費用為4000元.若在(2)的條件下,從空氣質量指數在(0,150]的天數中任意抽取兩天,求這兩天的凈化空氣總費用X的分布列.解析(1)由題意,根據直方圖可估算2019年(以365天計算)全年空氣質量優良的天數為(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110(天).(2)由頻率分布直方圖,可得空氣質量指數在(0,50]的概率為50×0.002=0.1,所以10天中應抽取的天數為10×0.1=1天,空氣質量指數在(50,100]的概率為50×0.004=0.2,所以10天中應抽取的天數為10×0.2=2天,空氣質量指數在(100,150]的概率為50×0.006=0.3,所以10天中應抽取的天數為10×0.3=3天,所以空氣質量指數在(0,50],(50,100],(100,150]的天數中各應抽取1,2,3天.(3)由題意知X的取值為2000,4000,6000,8000.P(X=2000)=C21C62=2P(X=6000)=C21C31C6所以X的分布列為X2000400060008000P24217.(2020屆河南百校聯盟9月聯合檢測,22)隨著甜品的不斷創新,現在的甜品無論是造型還是口感都十分誘人,有顏值、有口味、有趣味的產品更容易得到甜品愛好者的喜歡,創新已經成為烘焙作品的衡量標準.某網紅甜品店生產幾種甜品,由于口味獨特,受到越來越多人的喜愛,好多外地的游客專門到該甜品店來品嘗“打卡”,已知該甜品店同一種甜品售價相同,該店為了了解每個種類的甜品銷售情況,專門收集了該店這個月里五種網紅甜品的銷售情況,統計后得如下表格:甜品種類A甜品B甜品C甜品D甜品E甜品銷售總額(萬元)105202012銷售量(千份)521058利潤率0.40.20.150.250.2(利潤率是指:一份甜品的銷售價格減去成本得到的利潤與該甜品的銷售價格的比值.)(1)從該甜品店本月賣出的甜品中隨機選一份,求這份甜品的利潤率高于0.2的概率;(2)從該甜品店的五種網紅甜品中隨機選取2種不同的甜品,求這兩種甜品的單價相同的概率;(3)假設每類甜品利潤率不變,銷售一份A甜品獲利x1元,銷售一份B甜品獲利x2元,……,銷售一份E甜品獲利x5元,依據上表統計數據,隨機銷售一份甜品獲利的期望為E(x),設x=x1+x解析(1)由題意知,本月共賣出3萬份甜品,利潤率高于0.2的是A甜品和D甜品,共有1萬份.設“這份甜品的利潤率高于0.2”為事件A,則P(A)=13(2)由“銷售總額除以銷售量得到甜品的銷售單價”可知A甜品與C甜品的銷售單價均為20元,從五種網紅甜品中隨機選取2種不同的甜品共有C5設“兩種甜品的單價相同”為事件B,設P(B)=C22C(3)由題意可得,x可能取的值為8,5,3,10.(7分)P(x=8)=530=16,P(x=5)=230P(x=3)=10+830=35,P(x=10)=530因此E(x)=16×8+115×5+35×3+1又x=8+5+3+10+35=29所以E(x)<x.(12分)8.(2019山西朔州二模,19)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統,該系統為三級過濾,使用壽命為十年.如圖所示,兩個一級過濾器采用并聯安裝,二級過濾器與三級過濾器為串聯安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現.在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立),三級濾芯無需更換,若客戶在安裝凈水系統的同時購買濾芯,則一級濾芯每個80元,二級濾芯每個160元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯,則一級濾芯每個200元,二級濾芯每個400元.現需決策安裝凈水系統的同時購濾芯的數量,為此參考了根據100套該款凈水系統在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表,其中圖是