高中數學北師大版必修第一冊第1課時指數函數的概念、圖象與性質第三章指數運算與指數函數3指數函數課標闡釋思維脈絡1.通過具體實例,了解指數函數的實際意義,理解指數函數的概念.(數學抽象)2.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象,探索并理解指數函數的單調性與特殊點.(直觀想象)3.能夠應用指數函數的圖象及性質解決問題.(數學運算)激趣誘思當有機體生存時,會因呼吸、進食等不斷地從外界攝入碳14,最終體內碳14與碳12的比值會達到與環境一致(該比值基本不變),當有機體死亡后,碳14的攝入停止,之后體中碳14因衰變會逐漸減少,通過測定碳14與碳12的比值就可以測定該生物的死亡年代.已知碳14的半衰期(消耗一半所花費的時間)為5730年,你能用函數表示有機體內的碳14與其死亡時間之間的關系嗎?知識點撥一、指數函數的概念當給定正數a,且a≠1時,對于任意的實數x,都有唯一確定的正數y=ax與之對應,稱y=ax為指數函數.(1)定義域為R,函數值大于0;(2)圖象過定點(0,1).名師點析1.當x=0時,y=a0=1,即指數函數的圖象過定點(0,1);若a=1,指數函數y=ax即為y=1,圖象為經過點(0,1)與x軸平行的直線.所以圖象過定點(0,1).2.根據指數函數的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數才叫指數函數,微思考指數函數中,為什么要規定a>0,且a≠1?提示如果a<0,那么ax對某些x值沒有意義,如(-4無意義;如果a=0,那么當x>0時,ax=0,當x≤0時,ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個常數函數,沒有研究的必要.所以規定a>0,且a≠1,此時x可以是任意實數.二、指數函數的圖象和性質1.指數函數的圖象和性質

a>10<a<1圖象性質(1)定義域:R(2)值域:(0,+∞)(3)過定點(0,1),即x=0時,y=1(4)當x<0時,0<y<1;當x>0時,y>1(4)當x<0時,y>1;當x>0時,0<y<1.(5)在R上是增函數當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于正無窮大;當x值趨近于負無窮大時,函數值趨近于0(5)在R上是減函數當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于0;當x值趨近于負無窮大時,函數值趨近于正無窮大2.函數y=ax和y=bx函數值的大小關系

x<0x=0x>00<a<b<1ax>bx>1ax=bx=10<ax<bx<1a>b>10<ax<bx<1ax=bx=1ax>bx>1底數a對函數圖象的影響當a>1時,a的值越大,圖象越靠近y軸,增加的速度越快;當0<a<1時,a的值越小,圖象越靠近y軸,減少的速度越快3.一般地,指數函數y=ax和y=()x(a>0,且a≠1)的圖象關于y軸對稱,且它們在R上的單調性相反.名師點析1.指數函數的圖象,既不關于原點對稱,也不關于y軸對稱,所以指數函數既不是奇函數,也不是偶函數.2.指數函數的圖象永遠在x軸的上方.底數越大,圖象越高,簡稱“底大圖高”.微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)指數函數y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數.(

)(2)指數函數y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數,也不是偶函數.(

)(3)所有的指數函數圖象過定點(0,1).(

)(4)函數y=a|x|與函數y=|ax|的圖象是相同的.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×微練習(1)若指數函數y=(a-2)x是R上的增函數,則實數a的取值范圍是

.

(2)函數y=2-x的圖象是(

)解析(1)由函數y=(a-2)x是R上的增函數,得a-2>1,即a>3.答案(1)(3,+∞)

(2)B探究一指數函數的概念例1(1)若指數函數f(x),滿足f(2)-f(1)=6,則f(3)=

.

(2)已知函數y=(a2-3a+3)ax是指數函數,求a的值.(1)解析設指數函數f(x)=ax(a>0,且a≠1),則a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.答案27反思感悟1.判斷一個函數是不是指數函數的方法(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)這一結構形式.(2)明特征:指數函數的解析式具備的三個特征,只要有一個特征不具備,則不是指數函數.2.已知某個函數是指數函數,求參數值的步驟(1)列:依據指數函數解析式所具備的三個特征,列出方程(組)或不等式(組).(2)解:解所列的方程(組)或不等式(組),求出參數的值或范圍.變式訓練1下列函數一定是指數函數的是

.(填序號)

解析①y=5x符合指數函數的定義,是指數函數;②y=4x-1中,指數是x-1而非x,不是指數函數;③y=-3x中,系數是-1而非1,不是指數函數;⑦y=(a+3)x中,底數a+3不一定滿足“大于0,且不等于1”的條件,不一定是指數函數.答案①⑥

探究二指數函數的圖象及應用1.指數型函數圖象過定點問題例2已知函數f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點P,則點P的坐標是

.

解析∵當x+1=0,即x=-1時,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(-1,4).答案(-1,4)反思感悟指數型函數圖象過定點問題的解法因為函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),所以對于函數f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(m,k+b).即令指數等于0,解出相應的x,y,則點(x,y)為所求定點.延伸探究本例中函數改為f(x)=5·a3x-2+4呢?2.畫指數型函數的圖象例3畫出下列函數的圖象,并說明它們是由函數f(x)=2x的圖象經過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.分析作出函數y=2x的圖象,利用平移變換與對稱變換求解.解(1)如圖①,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個單位長度得到的.(2)如圖①,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個單位長度得到的.(3)如圖①,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關于x軸對稱.(4)函數y=2|x|為偶函數,圖象關于y軸對稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖②所示.反思感悟變換作圖法及注意點(1)平移變換及對稱變換:(2)翻折變換:①將函數y=f(x)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,替代原x軸下方部分,并保留y=f(x)的圖象在x軸上及其上方部分即可得到函數y=|f(x)|的圖象.②將函數y=f(x)的圖象在y軸右側的部分沿y軸翻折到y軸左側,替代原y軸左側部分,并保留y=f(x)的圖象在y軸上及其右側的部分即可得到函數y=f(|x|)的圖象.(3)利用變換作圖法作圖要注意以下兩點:①選擇哪個指數函數作為起始函數;②要注意平移的方向及單位長度.變式訓練2函數y=的圖象有什么特征?你能根據圖象指出其值域和單調區間嗎?∴原函數的圖象關于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調遞增區間是(-∞,0],單調遞減區間是[0,+∞).3.指數函數圖象的識別例4如圖是指數函數:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關系是(

)A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c解析(方法一)①②中函數的底數大于0且小于1,在y軸右邊,底數越小,圖象向下越靠近x軸,故有b<a,③④中函數的底數大于1,在y軸右邊,底數越大,圖象向上越靠近y軸,故有d<c.故選B.(方法二)作直線x=1,與函數①②③④的圖象分別交于A,B,C,D四點,將x=1代入各個函數可得函數值等于底數值,所以交點的縱坐標越大,則對應函數的底數越大.由圖可知b<a<1<d<c.故選B.答案B反思感悟指數函數圖象的特點指數函數在同一平面直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系:在y軸右側,圖象從上到下相應的底數由大變小;在y軸左側,圖象從上到下相應的底數由小變大.無論指數函數的底數a如何變化,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與直線x=1相交于點(1,a),因此,直線x=1與各圖象交點的縱坐標即底數,由此可得底數的大小.變式訓練3若函數y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的圖象經過第一、三、四象限,則必有(

)A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0解析由指數函數y=ax圖象的性質知函數y=ax的圖象過第一、二象限,且恒過點(0,1),而函數y=ax-(b+1)的圖象是由y=ax的圖象向下平移(b+1)個單位長度得到的,如圖,故若函數y=ax-(b+1)的圖象過第一、三、四象限,則a>1,且b+1>1,從而a>1,且b>0.故選D.答案D探究三利用指數函數單調性比較冪值大小例5比較下列各題中兩個值的大小:解(1)(單調性法)由于2.53與2.55.7的底數都是2.5,故構造函數y=2.5x,而函數y=2.5x在R上是增函數.又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)(中間量法)由指數函數的性質,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.反思感悟比較冪的大小的常用方法

延伸探究比較下面兩個數的大小:(a-1)1.3與(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當a>2時,(a-1)1.3<(a-1)2.4;當1<a<2時,(a-1)1.3>(a-1)2.4.素養形成數形結合思想——指數函數圖象的應用典例若直線y=2a與函數y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點,求實數a的取值范圍.要點筆記在運用指數型函數的圖象求解相關問題時,要注意已知函數與指數函數的聯系,把握圖象的特點,抓住特殊點,巧用函數圖象的平移和對稱變換規律,結合函數的性質進行求解.當堂檢測1.給出下列函數:①y=x3;②y=-2x;③y=2x;④y=2x+1;⑤y=3·2x,其中是指數函數的個數是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析指數函數是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數,故只有y=2x是指數函數,所以正確選項為A.答案A2.若函數f(x)=(m-2)·mx是指數函數,則f(-2)=(

)答案B3.(2021四川高三月考)設a=0.20.2,b=0.20.3,c=0.30.2,d=0.30.3,則a,b,c,d的大小關系是(

)A.c>a>d>b B.c>d>a>bC.c>a>b>d D.d>c>b>a解析由指數函數的單調性知a=0.20.2>b=0.20.3,c=0.30.2>d=0.30.3.由冪函數的單調性知b=0.20.3<d=0.30.3,a=0.20.2<c=0.30.2,a=0.20.2=0.040.1>d=0.30.3=0.0270.1.綜上可得,c>a>d>b.故選A.答案A4.(2020陜西西安高一期中)已知函數f(x)=ax-m+n(a>0,且a≠1,m,n為常數)的圖象恒過點(3,2),則m+n=(

)A.5 B.4 C.3 D.2答案B5.函數f(x)=2|x|的圖象是(

)解析f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),f(x)是偶函數,可排除C,D,又當x>0時,f(x)=2x是增函數,排除B.答案A高中數學北師大版必修第一冊第2課時習題課指數函數及其性質的應用第三章指數運算與指數函數3指數函數探究一解指數方程或不等式分析(1)根據指數函數的單調性列出關于指數的不等式求解.(2)首先要根據被開方數非負,列出指數不等式,然后分a>1與0<a<1兩種情況進行討論.當a>1時,由ax-2≥a0知x-2≥0,得x≥2;當0<a<1時,由ax-2≥a0知x-2≤0,得x≤2.綜上可知,當a>1時,函數f(x)的定義域為[2,+∞);當0<a<1時,函數f(x)的定義域為(-∞,2].反思感悟1.指數方程的求解方法(1)同底法:形如af(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)的方程,化為f(x)=g(x)求解.(2)換元法:形如a2x+b·ax+c=0(a>0,且a≠1)的方程,用換元法求解,求解時應特別注意ax>0.2.指數不等式的求解方法(1)形如ax>ab的不等式,借助于函數y=ax的單調性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論.(2)形如ax>b的不等式,注意將b轉化為以a為底數的指數冪的形式,再借助于函數y=ax的單調性求解.(3)形如ax>bx的不等式,利用函數圖象求解.(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式,可利用換元法轉化為一元二次不等式求解.A.{-1,0} B.{1}C.{0} D.{0,1}∵y=3x在R上為增函數,∴-1<x+1<2,解得-2<x<1,又x∈N,則P={0}.又M={0,1},∴M∩P={0}.答案C(2)解原方程可化為

=2-2x,所以x2+1=-2x,即x2+2x+1=0,解得x=-1.探究二與指數函數有關的定義域、值域問題例2求下列函數的定義域和值域:解(1)由題意知x-4≠0,∴x≠4,∴函數的定義域為(-∞,4)∪(4,+∞).∴函數的值域為(0,1)∪(1,+∞).反思感悟求與指數函數有關的函數的定義域和值域的一般方法(1)求與指數函數有關的函數的定義域時,首先觀察函數是y=ax型還是y=af(x)型,前者的定義域是R,后者的定義域與y=f(x)的定義域一致.y=f(ax)的定義域由t=ax的值域在y=f(t)的定義域內決定,因此求y=型函數的定義域時,往往轉化為解指數不等式(組).(2)求與指數函數有關的函數的值域時,一方面要考慮函數的定義域和單調性,另一方面要注意指數函數的值域是(0,+∞).一般地,對于y=af(x)型函數,要先換元,令t=f(x),求出t=f(x)的定義域D,再求出t=f(x)的值域A,然后畫出y=at(t∈A)的草圖或利用函數的單調性,求出原函數的值域.(3)利用均值不等式求與指數函數有關的值域問題.變式訓練2求下列函數的定義域和值域:解(1)由題意知,定義域為R.∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,探究三指數型復合函數的單調性(2)設g(x)=x2+2(a-1)x+2,指數函數h(x)=在R上為減函數,根據復合函數單調性同增異減的原則可知函數g(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-∞,4]上單調遞減.由于函數g(x)=x2+2(a-1)x+2的圖象開口向上,且對稱軸為直線x=1-a,要使函數g(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-∞,4]上單調遞減,則4≤1-a,即a≤-3.故a的取值范圍為(-∞,-3].反思感悟指數型復合函數單調性的判斷方法令u=f(x),x∈[m,n],如果復合的兩個函數y=au與u=f(x)的單調性相同,那么復合后的函數y=af(x)在[m,n]上是增函數;如果兩者的單調性不同(即一增一減),那么復合后的函數y=af(x)在區間[m,n]上是減函數.延伸探究本例(1)中函數改為“y=”呢?解類似于例(1)的解法,得u(x)在區間(-∞,1]上單調遞減,在區間[1,+∞)上單調遞增.又y=3u在R上是增函數,∴函數y=的單調遞增區間為[1,+∞),單調遞減區間為(-∞,1].探究四指數型復合函數的奇偶性反思感悟指數型復合函數奇偶性的判斷方法及常用結論指數函數本身不具有奇偶性,但是與指數函數有關的復合函數可以具有奇偶性,其判斷方法一般是利用函數奇偶性的定義和性質.答案1素養形成換元法在求函數最值(值域)中的應用

(1)當a=-2,x∈[1,2]時,求函數f(x)的最大值與最小值;(2)若函數f(x)在區間[1,+∞)上恒