一輪復(fù)習(xí)夯實(shí)練55空間向量及其運(yùn)算基礎(chǔ)練1.設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(1,-1,1),且a⊥c,b∥c,則|a+b|=()A.5 B.3 C.22 D.42.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則向量AB與AC的夾角為(A.-π3 B.π6 C.π43.已知向量a=(-3,2,1),b=(2,2,-1),c=(m,10,1),若a,b,c共面,則m=()A.2 B.3 C.-1 D.-54.(2024·江西南昌模擬)把正四面體的每條棱三等分,截去頂角所在的小正四面體,得到一個(gè)有八個(gè)面的多面體,如圖,點(diǎn)P,A,B,C,D為該多面體的頂點(diǎn),若PA=a,PB=b,PC=c,則PD=()A.-12a+b+12c B.12a-bC.a-12b+12c D.12a+b5.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為1,∠A1AB=∠A1AD=45°,∠DAB=90°,則|AC1|=(A.3 B.2+2 C.2 D.2+16.(多選題)關(guān)于空間向量,以下說(shuō)法正確的是()A.空間中的三個(gè)向量,若有兩個(gè)向量共線,則這三個(gè)向量一定共面B.若a·b<0,則<a,b>是鈍角C.設(shè){a,b,c}是空間中的一個(gè)基底,則{a+b,b+c,c+a}也是空間的一個(gè)基底D.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O,有OP=16OA+13OB+17.已知空間向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),則向量b在向量a上的投影向量是.

8.設(shè)正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AE·AF的值為提升練9.(2024·陜西西安模擬)已知點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上運(yùn)動(dòng),則PA·PB的最大值為(A.6 B.7 C.8 D.910.(多選題)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且兩兩夾角都是60°,下列說(shuō)法中不正確的是()A.AC1=66B.AC1⊥BDC.向量B1CD.向量BD111.(2024·陜西西安模擬)在空間四邊形ABCD中,AC與BD是四邊形的兩條對(duì)角線,M,N分別為線段AB,CD上的點(diǎn),且滿足AM=23AB,DN=34DC,點(diǎn)G在線段MN上,且滿足MG=3GN,若向量AG滿足AG=xAB創(chuàng)新練12.(2024·安徽蚌埠高二期末)正多面體是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明只存在五種正多面體,即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2(如圖),M,N分別為棱AD,AC的中點(diǎn),則FM·BN=

參考答案1.A解析因?yàn)閍⊥c,所以x-1+1=0,即x=0.因?yàn)閎∥c,所以11=y-1=11,即y=-1,所以a=(0,1,1),b=(1,-1,1),則a+b=2.D解析由已知得AB=(2,-2,4)-(2,-5,1)=(0,3,3),AC=(1,-4,1)-(2,-5,1)=(-1,1,0),所以cos<AB,AC>=AB·AC|AB||AC|=333.D解析因?yàn)閍,b,c共面,所以c=xa+yb,即(m,10,1)=x(-3,2,1)+y(2,2,-1)=(-3x+2y,2x+2y,x-y),所以-3x+2y=m,24.A解析如圖所示,PC=PA+AC=PA+2BD=PA+2PD-2PB.所以PD=-15.D解析由已知可得AB·AA1=AD·AA1=1×1×cos45°=22,AB·AD=0,又AC1=AB+AD+AA1,6.ACD解析對(duì)于A,因?yàn)橛袃蓚€(gè)向量共線,所以這三個(gè)向量一定共面,A正確;對(duì)于B,若a·b<0,則<a,b>是鈍角或是180°,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)閧a,b,c}是空間中的一個(gè)基底,所以a,b,c不共面,假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即μ=1,λ=1,λ+μ=0,矛盾,所以a+b,b+c,c+a不共面,所以{a+b,b+c,c+a}也是空間的一個(gè)基底,C正確;對(duì)于D,因?yàn)镺P=16OA+13OB+17.(2,0,2)解析向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),則|a|=2,|b|=3,a·b=4,所以向量b在向量a上的投影向量為|b|cos<a,b>a|a|=|b|·a·b|8.1解析依題意,由|AB|=|AC|=|AD|=2,<AB,AD>=<AC,AD>=60°,故AB·AD=AC·AD=|AB||AD|cos<AB,AD>=2×2×12=9.C解析取AB的中點(diǎn)O,連接PO,如圖,則PA·PB=(PO+OA)·(PO+OB)=PO2-OA2=PO2-1.當(dāng)點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D1或點(diǎn)C1處時(shí),PO最大,所以POmax210.CD解析∵在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且兩兩夾角都是60°,∴AA1·AB=AA1·AD=AD·AB=6×6×cos60°=18.對(duì)于選項(xiàng)A,∵(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AB·AD+2AA1·AD=36+36+36+3×2×18=216,∴|AC1|=|AA1+AB+AD|=216=66,A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,∵AC1·DB=(AA1+AB+AD)·(AB-AD)=AA1·AB-AA1·AD+AB2-AB·AD+AB·AD-AD2=0,∴AC11.1112解析因?yàn)锳G=AM+MG=23AB+34MN=23AB+12.52解析連接BD,如圖.由題意,可得BN=AN-A