關于行列式的性質與計算一、行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等.行列式稱為行列式的轉置行列式.記說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天性質2行列式可以按行（列）提取公因子.推論如果行列式某一行（列）元素全為0，則行列式為0.

行列式的某行（列）中所有的元素都乘以同一數k，記ri×k(ci

×

k)，等于數k乘此行列式.第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有性質3

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天推論

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天性質4

按行(按列)展開則D

等于兩個行列式之和.例如若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和,第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天性質4

按行(按列)展開（2）該性質可以理解為兩個行列式的加法，它與矩陣的加法有著本質的區別.注（1）該性質可以推廣到行列式的某一行（列）為多組元素的和的情形.第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天性質5

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數然后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式不變．例如第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天性質6

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于零.證第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天同理相同第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天定理2代數余子式的重要性質第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

解例已知4階行列式求第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

解例已知4階行列式求第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角行列式，從而算得行列式的值．第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例

計算階行列式解將第都加到第一列得第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

解例求行列式的值第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例

證明第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天證明第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

解例求行列式的值第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

證用數學歸納法例證明范德蒙德(Vandermonde)行列式第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天n-1階范德蒙德行列式第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

解D5

是5

階范德蒙行列式例求五階行列式的值第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立).

計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結行列式的6個性質第31頁,共34頁，2024年2月25日，星期天思考題第32頁,