專題05平面向量和復數

一、單選題

1.（2023?山東濰坊?統考一模）單位圓O:x2+y2=1上有兩定點4（1,0）,8（0,1）及兩動點C,D,且覺?時=[.

則不?清+萬2?麗的最大值是（）

A.2+√6B.2+2√3C.√6-2D.2√3-2

【答案】A

【分析】設AB中點為E,CD中點為F,OE=y,OF=9進而可推得石？?3+而?礪=-4裙方+2,

結合圖象，根據數量積的意義，即可求出最值.

【詳解】設力B中點為E,CD中點為F,則％?+福=2麗，OC+OD=2OF.

由已知0?-OD=|,可知I泥I?I而ICoSNCoC=CoSNCoD=

所以“0D=%所以AOCC為等邊三角形，所以。F=當

同理可得，OE=當.

CACB+^DA=（0A-OC"）-（0B-0C）+（0A-0D）-（0B-00）=20A^0B+0C2+OD2-

（0A+OB）-（OC+0D）=-40EOF+2.

如圖，當反、方方向相反時，-4麗?而t+2有最大值為-4|荏I?∣θ7i∣cosπ+2=4×y×y+2=2+√6,

即襦-CB+DA-麗的最大值是2+√6.

故選：A.

【點睛】方法點睛：將而+a?而轉化為以點0為起點的向量表示，然后根據向量的運算，結合數

量積的意義，即可求出最值.

2.（2023?山東威海?統考一模）已知向量d=（7sin8-1,5）,b=（l,-cos2θ）,若五_L京則cos26=（）

77

A.-----B.一C--HD?g

2525

【答案】B

【分析】由,求得sin。,再用倍角公式求CoS2。即可.

【詳解】因為2=(7sin8-1,5),b=(1,-cos2θ),alb,

所以7sin0-1-5cos20=O,即7sinO-1-5(1-sin20)=0,

所以5sin2。+7sin。-6=0,解得Sine=I或SinG=-2(舍)，

所以cos28=l-2sin2j=l-2x(∣)??,

故選：B

3.(2023?湖南邵陽?統考一模)設向量出3滿足口一同=4,a-b=l,則忸+同=()

A.2B.2√3C.3D.2√5

【答案】D

22

【分析】由怔+司=?d-b?+42不求解.

2O

【詳解】因為I五+同=α2+2d-6÷h2,?d-b?=d2—2α?h+h2,

22

以上兩式相減可得,4a?b=?a+b?-?a-b?,

所以怔+同=?d-b?+4α?h=16+4=20,

即Id+b?=2V5,

故選：D.

4.(2023?廣東深圳?統考一模)已知乙B為單位向量，且|32-5同=7,則Z與坂的夾角為()

AEB-C-D-

"3'3'6'6

【答案】C

【分析】設益與G-3夾角為。，利用|3商-5同=7求出Ij,在利用夾角公式計算即可.

【詳解】因為3為單位向量，

由∣3d-5同=7,

所以(3石—5?=49<≠?9α2-30a-b+25b2=49,

即9—30α?b+25=49=>α?e=—?,

設1與N夾角為6,

則CoSe-五3甸-叱存5--(一』-叵

人M一吁曠吩附一KF-2，

又ee[0κ],所以。=3

6

故選：C.

5.(2023?廣東茂名?統考一模)在AABC中，AB=c,AC=b,若點例滿足前=2前，則前=()

?1r,2→2r1→,5→27*n2"l→

A.-b÷-CoB.-b——crC.-C——bD.-D+-C

33333333

【答案】A

【分析】根據題意結合向量的線性運算求解.

【詳解】由題意可得：ΛM=AB÷BM=Aβ+∣FC=^4B÷∣(ΛC-Λβ)=∣^4C÷∣ΛB=∣K÷∣c.

故選：A.

6.(2023?廣東佛山?統考一模)已知單位向量出B滿足鼠3=0,若向量e=2+√≡,則COSS,刀=()

ATB.iCTD.?

2244

【答案】B

【分析】根據向量的數量積運算以及夾角的余弦公式，可得答案.

T22

【詳解】由單位向量五E則Ial=1,?b?=1,BP∣c∣2=(α+V3b)=?d?2+2√3d?b+3∣h∣=4,∣c∣=2,

d?c=α?(5+√3h)=∣α∣2+y[3a-K=I

c°s(α,c>=麗=3

故選：B.

7.(2023?江蘇南通?統考一模)己知向量N石滿足Ml=I,同=2,優研=g,則視伍+3)=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】平面向量數量積的運算.

【詳解】1(<+/)=-2+：?B=1+1X2X=0,

故選：C.

8.(2023?重慶?統考一模)設復數Z滿足三+Z?i=l,則Z的虛部為()

1

A.一?B.—C.-1D.1

22

【答案】B

【分析】設Z=Q+bi(Q*∈R),則N=。一bi,根據復數的乘除法運算可得b=5結合虛部的定義即可求

解.

【詳解】設z=α+bi(α,bCR),則N=a—bi,

所以干+(a—bi)i=l,

—（ai-b'）+a?+b=1.得2b=l,解得b=}

所以復數Z的虛部為今

故選：B.

9.（2023?重慶?統考一模）已知（l+i）2?z=5-2i,貝IJZ的共粗復數5在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用復數的除法可得Z=-詈，再應用共粗復數定義,即可知其對應點所在的象限.

【詳解】由題設，Z=曷ξ=妥=智=—等=—1一∣i,z=-l+∣i,

.?.2在復平面內對應的點為（-1,|）在第二象限.

故選：B.

10.（2023?江蘇南通?統考一模）在復平面內，復數Zι,Z2對應的點關于直線x-y=0對稱，若Zl=I-i,

則IZI-Z2∣=（）

A.√2B.2C.2√2D.4

【答案】C

【分析】根據對稱性得到Z2=-l+i,從而計算出Zi-Z2=2-2i,求出模長.

【詳解】Zl=1-1對應的點為（1,一1）,其中（1,一1）關于X-y=0的對稱點為（一1,1）,

故Z2=-1+i,

故IZl—z2∣=|1—i+1-i∣=|2-2i∣=√4+4=2√2.

故選：C

11.（2023?廣東梅州?統考一模）已知復數Z滿足（l+i）z=-2i,i是虛數單位，則Z在復平面內的對應點落

在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根據復數的除法運算，求得z,確定其對應的點的坐標，即可求得答案.

【詳解】由（1+。2=—21可得2=言=攵萼0=—1一1

則Z在復平面內的對應點為（-1,-1）,落在第三象限,

故選：C

12.(2023?廣東深圳?統考一模)已知i為虛數單位，(l+i)z=2,貝IJZ=()

A.l+iB.1—iC?—1+iD?—1—i

【答案】B

【分析】利用復數的除法運算求解.

【詳解】解：由(l+i)z=2,

得z=I?2(l-i)

-(l+i)(l-i)1-i,

故選：B

13.(2023?廣東茂名?統考一模)復平面內表示復數z=i(2-3i)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】應用復數乘法運算及復數幾何意義可得結果.

［詳解】Vz=i(2-3i)=2i-3i2=3+2i

.?.z所對應的點的坐標為(3,2).

/.復平面內Z所對應的點位于第一象限.

故選：A.

14.(2023?廣東佛山?統考一模)設復數Z滿足(l+i)2z=5-2i,則Z在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根據復數的運算求z,再根據復數的幾何意義判斷點所在的象限.

【詳解】?.?(l+i)2z=5-2i,則Z=^=譽=一1一會，

.?.z在復平面內對應的點為(-1,-習，位于第三象限.

故選：C.

15.(2023?湖南邵陽?統考一模)已知復數Z滿足(2z+3)i=3z,則2=()

?69.D69.k69.γλ69.

?-^τi^n1b?一五+三Ic?石一五id-π+π,

【答案】A

【分析】利用復數的四則運算，求出復數z=α+歷的形式，再利用共軌復數，=α-bi求解.

【詳解】因為(2z+3)i=3z,2zi+3i=3z,(3-2i)z=3i,

所以Z=且=3i(3+2i)=3=_￡2j

3-2i(3-2i)(3+2i)131313

9.

所以2=^÷-1.

13

故選：A.

16.(2023?湖南長沙?統考一模)已知復數Z滿足z(l-i)=3+i,則IZl=()

A.√TθB.√5

C.2D.√2

【答案】B

【分析】利用復數除法運算求得z,進而求得∣z∣.

【詳解】Z=在=泮然=竽=l+2i,

1-1(.l-O(,l+ι)2

所以∣z∣=√F+22=遍.

故選：B

17.(2023?湖南岳陽?統考一模)在復平面內，復數Z對應的點為(1,—1),則W=()

A.iB.—iC.2iD.-2i

【答案】B

【分析】由題可得Z=I-i,再由復數除法法則即可求解.

【詳解】因為復數Z對應點的坐標為(1,一1),所以z=l-i,

所以三=IZi=(1)2=E=T

71ι+i1+i(l-i)(l+i)2

故選：B.

18.(2023?lh東威海?統考一模)若署(α∈R)是純虛數，則α=()

A.-1B.1C.-9D.9

【答案】A

【分析】先將復數化簡，再根據純虛數列出方程組求解即可.

【詳解】α+3i_(ct+3i)(3-i)_3α+3(9-0).

3+i(3+i)(3-i)1010

(30+3C

~??U

因為當是純虛數，故,得a=—1,

3+1`——-≠0

Iio

故選：A.

19?(2023?山東荷澤?統考一模)設i是虛數單位，復數z=i(2-i),貝2=()

A.1+2iB.1—2iC.-1+2iD.-1—2i

【答案】B

【分析】先化簡復數，再根據共舸復數概念得結果.

（詳解】VZ=i（2—i）=1+2i.??z=1—2i

故選：B

【點睛】本題考查共趣復數概念，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

20?（2023?山東濰坊?統考一模）在復平面內，復數笠對應的點位于

2—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先化簡復數，再判斷它對應的點所處的象限得解.

【詳解】由題得Z=言=清弟j=等，

所以復數對應的點為《，9，

故選A

【點睛】本題主要考查復數的運算和幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

21.（2023?福建?統考一模）設Z=α+bi（α,b6R）在復平面內對應的點為M,貝廣點M在第四象限”是“ab<0”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】A

【分析】根據復數的幾何意義解決即可.

【詳解】由題知，2=。+歷（26€/?）在復平面內對應的點為例（￡1涉），

因為點M在第四象限，即α>O,b<O,

…即｛箕;，或｛筮;

所以“點M在第四象限”是“ab<0”的充分不必要條件，

故選：A

二、多選題

22.（2023?福建?統考一模）平面向量或范滿足庫I=I宿=1,對任意的實數|沅-扣|≤|沆+同恒成立,

則（）

A.沆與元的夾角為60。B.（沆+玩）2+（沆-t∏）2為定值

C.恒-t訪I的最小值為：D.而在沅+記上的投影向量為與沅+元）

【答案】AD

【分析】山題意可得：沅與元的夾角。=60。，然后根據向量的運算逐項進行檢驗即可求解.

【詳解】設平面向量而與記的夾角為氏

因為對任意的實數3同-別≤∣fH+用恒成立，

即記2一記.記+1∏2W訪2+2tm?n+￡2元2恒成立，又I詞=同=1,

也即d+2tcosΘ+COSe-?≥0對任意的實數￡恒成立，

4

所以A=4COS20—4cos0+1=(2CoSe-I)2≤0,則cos?=?,所以8=60°,

故選項A正確；

對于B,因為(沆+tn)2÷(m—tn)2=1÷2tcos60o÷t2÷1÷t2—2tcos60o=2÷2產隨亡的變化而變化,

故選項B錯誤；

對于C,因為I元-￡記I=J忻一所=Vl+"-2tcos60。=-t+1,由二次函數的性質可知：當t=[

時?，I記一后i∣取最小值?，故選項C錯誤；

對于D,沅+元向量上的一個單位向量3=需篇=三/，由向量夾角公式可得：cos<m,(m+n)>=

m?(m+n)_1÷∣_√3

∣in∣∣in+n∣√32'

由投影向量的計算公式可得：記在沅+元上的投影向量為I沅I?cos<沅,(沆+元)>3=1X/X=

i(πι+n),故選項D正確，

故選:AD.

23.(2023?廣東佛山?統考一模)設單位圓。與X軸的左、右交點分別為A、B,直線/：xcosθ-ysin。+1=0

(其中O<e<τt)分別與直線x+1=0、X-I=O交于C、￡>兩點，貝IJ()

A.0=g時，/的傾斜角為：

B.V0e(0,n),點A、B到/的距離之和為定值

C.30e(0,π),使/與圓。無公共點

D.Vo∈(0,π),恒有OC1OD

【答案】BD

【分析】對于A：首先得到直線的斜率，即可求出直線的傾斜角，從而判斷A,對于B,分別求出點4、B到

直線2的距離,再求和即可,求出坐標原點。到直線I的距離,即可判斷C,求出C,。點坐標，再求出而?OD,

即可判斷D.

【詳解】解:依題意A(-1,0),8(1,0),

對于A：當9=空時直線，：XCoSq-ysin"+1=0,即一二刀―Xy+l=0,

33,322z

所以直線I的斜率k=-",所以直線/的傾斜角為自，故A錯誤；

36

對于B：點4到直線I的距離B=忌靄%=∣-cosθ+1|,

點8到直線,的距離刈=?=h=gs。+II，

所以點4、B到直線，的距離之和為d=∣-cosfl+1∣+IeOSe+1|,

因為6G(0,兀)，所以CoSeE(-1,1)f所以d=—COSe+]+cosθ+1=2,

即對V8∈(0,π),點4、B到直線，的距離之和為定值2,故B正確;

對于C：坐標原點。到直線/的距離do=?/廣3=1,

√cosz0+sm2θ

所以直線I與單位圓相切，即直線I與單位圓必有一個交點，故C錯誤；

對于D：對于直線/:XCoSe-ysin。+I=0,令X=-1,解得y=C

令χ=ι,解得，=留，

即C(T巖)，C(D，

所以沅=(TF?3而=(ι,智)，

?SIneJ?SIne)

所以瓦?南=一1+智f?^=-l+上誓=一1+里=0,所以說J.前，

s?nt/SIneSIneSmNe

BPV0∈(0,π),恒有OCJ_。。，故D正確；

故選：BD

24.(2023?江蘇南通統考一模)已知拋物線M=4y的焦點為F,以該拋物線上三點A,B,C為切點的切線分

別是k，%13，直線，1，%相交于點DG與分別相交于點P,Q?記48,。的橫坐標分別為修,血*3,則()

A.DA?DB=0B.x1+X2=2x3

C.?AF?■?BF?=?DF?2D.?AP?■∣CQ∣=?PC?-?PD?

【答案】BCD

【分析】利用導函數和斜率的關系表示出切線方程可求出D的坐標可判斷A,根據向量數量積的坐標運算

判斷B,并根據兩點間的距離公式運算求解即可判斷C,D.

【詳解】設A(Xl用,8(和用，C(Xo，?)，y'=∣x.feι=??v

所以，1：曠一個=110-X1),即y=%x-[*,

同理，2：丁=l×2X-^×2'

(y=^x-lχ-^×l(x=

[11,X1X2?即X3=f，也即Xl+X2=2%B正確；

?y=-X2X--χl{y=-

(X1+X2好Xι+×2立一

DA?~DB=X2―--彳_4j

Xi-X2?i(?i-×1×2(×2-

244

(Xl-X2產_(%「％2)2

(4+%1%2)不一定為0，A錯誤;

41616

xX

1?l?l,l,2,1

?AF?■?BF?=τ÷1,τ÷ιr+τ+τ+1-

2

(XJ+X)Xi+2XX+媛+?l%2XX

DF2=l2-+12i2

4416---2—?

?r÷τ÷?÷1=IAFlIB尸|,c正確;

Xi+x×1×2'Xι+x?i?o,X+?θ×2×0

D2,P0,Q2

2'42'42'4

2

%。一%2^X1X0-??IXLXlIJ4+*

4P=l

I2尸14

[XX-XQ?1^2-?I√4+XQ

CQ=?204)

修)2+4

"+(xιXo-Xp?i?×ι-?l√4+%o

PC=?4-1

4

,:_%-XolJ4+好

2(x0-x2)x1^

PD=m÷(.~^4J

4

.?.AP-CQ=PCPD,D1E.^,

故選:BCD.

三、填空題

25.(2023?山東荷澤?統考一模)正三棱錐P-4BC的高為PO,M為P。中點，過4M作與棱BC平行的平面,

將三棱錐分為上下兩部分，設上、下兩部分的體積分別為匕、彩，則自

【答案】？

【分析】根據題意,做出截面,然后利用向量的線性表示及共線定理推論可得而=:而,進而可得P=?,

5SHGBCNl

從而可得我的值.

v2

【詳解】連接4。并延長交Bc于D,連接PO,則。為BC的中點，

延長AM交PD于尸，過戶作GH〃BC分別交PB,PC于G,H,連接4G,4H,

因為GH〃BC,GHu平面AG",BCe平面4GH,

所以BC〃平面AGH,又AMu平面4GH,故平面4GH即為過AM作與棱BC平行的平面，

B

由題可知同=I而，P0-PA=^（fD-PAy）,即可=3兩+|同，

設方=2而，則同=：歹？+三而，又M為Po中點，

所以由=5而=2同+二?兩，

263λ

所以；+5=1,所以4=；,即募=：,

O3Λ5ru5

.S“GH_?S^PGH_?

SAPBC25SHGBC21

所以立=23,=土.

憶vA-HGBC21

故答案為：?.

26.（2023.山東荷澤?統考一模）已知夾角為60。的非零向量日石滿足同=2同，（2日一⑹1孔則

t=__________.

【答案】2

【分析】山（22-而）_!.?得（22一房）7=0,化簡代入結合數量積的定義即可得出答案.

【詳解】因為￡冽勺夾角為60。，且μ|=2同，

而（2d—th）1b,則（22—te）-6=0,

所以（2d—th）-b=2ab-tb2=2∣α∣?∣h∣cos60o—t?b^=0,

則2X2.忸廣.?t同*=0,解得：t=2.

故答案為：2.

2

27.(2023?湖南岳陽?統考一模)已知橢圓E：9+7=1的左、右焦點分別為&、F2,圓P：(x-I)+

(y-∣)=沙別交線段PF1、PF2于M、N兩點，則麗?麗=______.

【答案】|##1.2

【分析】根據橢圓的定義及圓的半徑確定Λ?=(P%,Λ?=∣P72,再由數量積坐標運算求解.

【詳解】由(x-l)2+(y-∣)=(知圓心P(l,∣),半徑y,

又橢圓方程為[+[=1,

43

所以P(l,∣)在橢圓上，目橢圓的焦點&(-1,0),F2(1,0),

所以IPFll=J(I+1)2+G—θ)2=M∣PF2∣=2α-∣=4-∣=∣,

因為IPM=T,I贏I

所以Λ?=1PF1,MF2=IPF2,

又PFI=(-2,-∣),PF2=(0,->

所以麗?=?PF2=?×2=

故答案為：I

28.(2023?湖南長沙?統考一模)已知五=(1,2),3=(2,-2),乙=(1,4),若,J.伍+2》,則/1=______.

【答案】I

【分析】根據向量垂直數量積為零，列出方程即可求解.

【詳解】因為己知五=(1,2),b=(2,-2),c=(1,Λ),

所以五+23=(5,-2),

又因為m1(α+26),

所以5-24=0,解得;I=|.

故答案為：I

29.(2023?重慶?統考—-模)在APZB中，48=4,乙4「8=半點。滿足評=2(而+而)，則訓?證的最

大值為___________.

【答案】-?-3-

2525

【分析】設AB中點為M,則m=4MQ,根據平面向量的線性運算可得）?QB=?QM?2-?MA?2,得當PM1

4B時，IQMl最大，此時APZB是等邊三角形，

求出IQMl即可求解.

【詳解】設AB中點為M,

則麗=2（AQ+BQ）^>QP=4MQ,

QAQB=（QM+MA）-（QM+^MB）=（QM+MA）-（QM-硒=?QM?2-?MA?2,

由NAPB=全知P點軌跡是以48為弦，圓周角為E的優弧，

.?.當PMIAB時，IQMl最大,此時△PAB是等邊三角形,

?PM?=2√3,51∣J∣（2M∣=誓,I而|2-?MA?2=≡-4=-g.

故答案為：-1∣.

30.（2023?重慶?統考一模）在矩形ABCD中4B=4,BC=2√5,點E為邊AB的中點，點F為線段BC

上的動點，則屁?而的取值范圍是_________.

【答案】[8,20]

（分析】以。為坐標原點建立直角坐標系，設F（4,α）,則屁-DF=8+2√3α,根據α的范圍即可求出而?DF

的范圍.

【詳解】以。為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系，

y

由題意得4(0,28)，B(4,2√3),因為E為AB中點，