一、單項選擇題（每小題只有一個答案符合題意，共8小題，每小題5分，共40分）

1.在等差數列｛〃〃｝中，〃4+。8=20,%=12,則〃4=（）

A.4B.5C.6D.8

2.在等比數列｛4｝中，若。5=2,a3a8=%，則｛q｝的公比q=（）

A.V2B.2C.2^/2D.4

3.已知兩條直線（：3x+y-5=0和（：x-今=0相互垂直，則4=（)

11C

A.-B.—C.-3D.3

33

4.已知橢圓C的一個焦點為（1,0）,且過點（0,6），則橢圓C的標準方程為（)

22222222

土+匕土+匕工+匕xy1

A,=1B.=1C,=1D.-----1-----二I

23433234

)

5.在等比數列｛4｝中，3a2a4=4a3,且。6=2%，則｛〃〃｝的前6項和為（

A.22B.24C.21D.27

6.已知尸是雙曲線C：/=i的一個焦點，點p在c的漸近線上，。是坐標原點，口耳=2|PF|,則

△O尸尸的面積為（）

V3V21

A.1B.C.D.一

222

22

7.已知橢圓C：++今=1（a〉6〉0）的左、右焦點分別為耳（-c,0）、F2（C,0）,若橢圓C上存在一點

P,使得APK工的內切圓的半徑為￡,則橢圓C的離心率的取值范圍是（)

122

8.已知雙曲線C：%=1（。〉0,6〉0）,點3的坐標為（0/），若C上的任意一點尸都滿足歸回》6,

則C的離心率取值范圍是（）

二、多項選擇題（共4小題，每小題均有多個選項符合題意，全對得5分，錯選得0分，漏選得

2分，共20分）

9.已知等差數列｛4｝的前〃項和為S,,%=1,則（）

A.%+%=2B.a3a7=1C.S9=9D.510=10

10,已知圓M：X2+/-4X+3=0,則下列說法正確的是（）

A.點（4,0）在隨M內B.圓M關于x+3y-2=0對稱

C.半徑為GD.直線x—6y=0與圓M相切

22

11.已知雙曲線二—==1（a〉0,b>0）的右焦點為尸，過點b且斜率為左（左W0）的直線/交雙曲線

ab

于兩點，線段AB的中垂線交x軸于點D若|A回三亞口司，則雙曲線的離心率的值可能是（）

A.—B.A/2C.——D.^5

32

12.若數列｛4｝滿足q=%=1，an=an_x+an_2（〃，3）,則稱該數列為斐波那契數列.如圖所示的“黃

金螺旋線”是根據斐波那契數列畫出來的曲線.圖中的長方形由以斐波那契數為邊長的正方形拼接而成，在每

個正方形中作圓心角為90°的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”.記以為為邊長的正方形中的扇形

面積為％,數列｛〃｝的前“項和為S,,.則下列說法正確的是（）：

B.%023是奇數

C.02+44+〃6+???+”2022~02023D?=~

“2023.%0244

三、填空題（共4小題，每空5分，共20分）

13.數列｛4｝的通項公式an=.——I——-j=,若S,=9,則〃=.

14.已知直線/：y=x被圓C（%—3『+（y—1）2=/（〃>。）截得的弦長為2,則廠=.

22

15.已知橢圓C：。+2=1（。〉6〉0）的左、右兩焦點分別是耳、F2,其中閨用=2C.橢圓C上存

cib

在一點A,滿足麗?正=4,2,則橢圓的離心率的取值范圍是.

22

16.已知A,B分別是橢圓E：土+乙=1的左、右頂點，C,O是橢圓上異于A,8的兩點，若直線AC,BD

43

的斜率左,占滿足匕=2左2，則直線CO過定點，定點坐標為.

四、解答題（共6小題，17題10分，18-22題12分）

17.在平面直角坐標系xOy中，圓G：（x+l）2+/=4與圓。2：/+（丁一3）2=10相交于尸，Q兩點.

（1）求線段PQ的長；

（2）記圓G與x軸正半軸交于點M，點N在圓。2上滑動，求AMNG面積最大時的直線的方程.

18.已知等差數列｛4｝的前w項和為S,,4=3,也｝為等比數列,且4=1,bn>0,b2+S2=10,

S5=5b3+3a2，neN\

（1）求數列｛。“｝,也｝的通項公式；

（2）求數列｛4?〃｝的前w項和北.

19.已知半徑為3的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x-3_y+7=0相切.

（1）求圓的方程;

（2）設直線。％-丁+4-2。=0與圓相交于48兩點，求實數a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，是否存在實數a,使得弦AB的垂直平分線/過點P（3,-1）?若存在，求出實數。的

值；若不存在，請說明理由.

20.在平面直角坐標系xOy中，圓0］：（x+2）2+/=1,圓Q：（x-Z?+尸=1,點,一動圓M

與圓a內切、與圓Q外切.

（1）求動圓圓心M的軌跡方程E;

（2）是否存在一條過定點的動直線/,與（1）中的軌跡E交于A、B兩點，并且滿足“A_LHB?若存在，請

找出定點；若不存在，請說明理由.

21.已知等差數列｛4｝的前n項和為SR,且&=4,數列也｝的前n項之積為7；,4=；，且S”=log仃（7；）.

⑴求小

（2令%=%,求正整數n,使得“*=cn+%+i”與“c“是c”Jcn+1的等差中項”同時成立；

吼.........."',

⑶設d〃=2a,,+7,e〃=（T）（°"+2）,求數列｛e,J的前2〃項和心.

dndll+l-

22

22.已知橢圓C：3+卓=1（^〉〃〉。）的左、右焦點為耳、笈，|耳耳|=2百，尸為橢圓C上異于長軸

端點的一個動點，。為坐標原點，直線尸耳，PO,P8分別與橢圓C交于另外三點M,Q,N,當P為橢圓上

頂點時，有兩=2刖.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求"+'些的最大值。

S\PQMS\PQN

1.C

【分析】由等差數列的性質得到。5=8,從而求出公差，得到答案.

【詳解】由等差數列的性質可知/+/=%+%=20,

又%=12,故〃§=8,

設等差數列的公差為d,則1=生*=經避=2,

7-52

所以%=a「d=8—2=6.

故選：C

2.B

【分析】根據等比數列的性質求得正確答案.

【詳解】｛4｝是等比數列，

依題意，%=2,a3a8==2。6=。7，所以q=S=2.

4

故選：B

3.D

【分析】根據兩直線垂直需滿足的條件建立關于a的方程求解即可.

【詳解】直線心3x+y-5=0和小x-今=0相互垂直，

貝U3xl+lx（—。）=0,解得a=3.

故選：D.

4.B

【分析】設出橢圓方程，結合已知條件，即可容易求得結果.

22

【詳解】根據題意，橢圓的焦點在x軸上，故設其方程為：5+==1（。〉6〉0）,顯然c=l,b=也,

ab

22

則。2=/+°2=4,故橢圓方程為工+21=1.

43

故選：B.

5.C

【分析】利用等比中項的性質求出生的值，求出等比數列｛。“｝的公比4,進而求出％的值，再利用等比數列

求和公式可求得結果.

【詳解】設等比數列｛4｝的公比為q,則qwO,且對任意的〃wN*,

94

由302a4=4%可得3%=4/，解得=—,

因為。6=2%，則q="=2,所以，ax=^-=—x—=—f

a5q343

g。-2，）

因此，｛4｝的前6項和為；；）=3、2=21.

故選：C.

6.B

【分析】根據給定條件求出NPOF,再利用余弦定理求出|。尸|即可計算作答.

【詳解】雙曲線C：y-y2=l^,|OF|=2,其漸近線y=土與，它與x軸的夾角為30°,即ZPOF=30°,

在AOPE中，|O可=2|尸目=2,由余弦定理得：|「產『=|。呼+|。尸「―2|04|0刊cos/POP,

即F=|op「+22—2|O斗2cos30。，整理得：|。砰—26|。尸|+3=0,解得10Pl=百,

所以AOPF的面積為S^OPF=1|OP|-|OF|sinZPOF=：xgx2xsin30。=日.

故選：B

7.A

【分析】利用面積相等，得到=由此得到卜“|<6,消去乩整理化簡求出離心率的取值

范圍.

【詳解】可明月的面積為5閨6卜|加|，因為AM4耳的內切圓半徑為耳，所以8面積可表示為

解得|%|=三，因為|為|W6,所以專

兩邊平方得：［看］Wb?,又因為o2,

整理得：5c2+2。。一3。2W0,

因為e=￡,不等式兩邊同時除以得：5e2+2e-3<0：

a

3

解得：0<eW—,

5

故選：A

8.A

【分析】根據兩點間距離公式，結合一元二次不等式的性質、雙曲線離心率公式進行求解即可.

【詳解】設P（羽y）,|尸苗21nJ%。+（,-FJ力匕=%2+J_2勿三o（*）,

22(#

占％y122

由一z-----w—1n%=〃1+=，代入不等式*中,

ab

「2

化簡，得正丁―2勿+/巳0恒成立,

4〃「2

則有A=4b2---------W0=>/wa2c2=>b2W。。=>H/Wac=>/-e—1W0,

b

々4i—Vs,々i+y/5二匚i、i1-1+Vs

解得------WeW------，而e>l,所以l<eW----------

222

故選：A

【點睛】方法點睛：一般求雙曲線的離心率的方法是：根據已知的等式或不等式，構造關于〃，4c中任意兩

個量的雙齊次方程或不等式，再結合雙曲線的離心率大于1進行求解即可.

9.AC

【分析】根據等差中項的性質可判斷AB選項；利用等差數列的求和公式可判斷CD選項.

【詳解】對于A選項，a2+a^=2a5=2,A對；

對于B選項，設等差數列｛g｝的公差為d,

則a3a7=（%—2d）（%+2d）=a；-4屋二1—4dNW1,B錯；

對于C選項,S9=9（工為）=9%=9,C對；

對于D選項，$0=S9+〃1（）=9+40,Si。的值無法確定，D錯.

故選：AC.

10.BD

【分析】A選項，代入點坐標，大于0,表示點在圓外；B選項，圓心在直線上，故關于直線對稱；C選項,

配方后得到圓的半徑；D選項，利用點到直線距離進行求解.

【詳解】尤2+/—4x+3=0整理得：（x—2『+/=1,

,/x=4,y=0時％2+/一4》+3=3〉0,...點（4,0）在圓M外，A錯;

;圓心M（2,0）在直線x+3y—2=0上，...圓M關于x+3y—2=0對稱，B對;

?.,圓M半徑為1,故C錯;

?.?圓心”（2,0）到直線x-V3y=0的距離為d==1,與半徑相等,

直線龍—Gy=0與圓M相切，D對.

故選：BD.

11.BC

【分析】根據題意利用韋達定理求|A用以及線段AB的中垂線的方程，進而可求點D和0司，結合

\AB\^4I\DF\運算求解即可.

【詳解】設雙曲線的右焦點為E（GO），A（XQJ,3（%,%），則直線/：y=k（x-c）,

22

%y—i

聯立方程4,消去y得：2左2)%2+2〃2左20%—〃2(攵2C2+52)=0,

y-k(x-c

,oo201k2ca2(k2c2+b2)

則可得。2一/k2wo,A〉0,+x"KcX——L_

12b2-a-k-Jb--a2k2

■(201k2cTa2(k2c2+b2)2加0+42)

則|A3|=J1+/

b2-a2k2Jb2-a2k2|/?2-下對

設線段AB的中點”（不,為），

22222

則七二&±也akc/x(akc)bkc

右聲％=小。-。)=(右密-cj=一丁前,

a2k2cb2kc'

即M—

b2-a2k-b~―/吃

且左WO,線段AB的中垂線的斜率為-工,

k

a2k2c'

則線段AB的中垂線所在直線方程為y+x+

.：.112

b-ak

ni|Nkc_1(a2k2c'k2c2

令y=0,解得x=—

b2-a2k2b2-a2k\b1—a2k°

(左23\k2c3b-cii+k1}

即。--~^,0,則=_kC=IJ,,，

I-a2k2)11b2-a2k2\b2-ak2\

,「,2ab-(l+k2)回c(l+左2)

由題意可得：|4回巳行|。用，即2對上「_云2「

o_

整理得2。2也c,則e=￡W—=后，

a<2

注意到雙曲線的離心率e〉l,

故選：BC.

【點睛】方法定睛：雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a,b,c的等量關系或不等關系，然后把b用°,

c代換，求e的值（或范圍）.

12.ABD

【分析】根據遞推公式求出。8即可判斷A;觀察數列的奇偶特點即可判斷B；根據遞推公式，結合累加法即可

判斷C；根據遞推公式可得a;=anan=anan+i-anan_1,結合累加法計算即可判斷D.

【詳解】對于A,由q=l,a2=1,且a“一2（"23,〃eN*）,可得斐波那契數列：1,1,2,3,

5,8,13,21,34,……故網=21,故A正確；

對于B：由斐波那契數列：：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.......,

可得每三個數中前兩個為奇數，后一個偶數,且2023=3x674+1,所以出023是奇數，故B正確；

又寸于C?因Cl?=。3"1；口4=05；***〃2022="〃202342021'

相加可得：%+。4+“6+…+。2022=〃2023—1，故C錯誤；

對于D：因為斐波那契數列總滿足g=4_I+%_2（〃23,〃￡N*）,且q=%=l,

所以〃；=a2al，

。2~。2。2~~〃2(。31])=02a302al，

(X3=a3a3~~O3(〃4〃2)=^3^4a3a2，

類似的有,a：=anan=an(tz?+1-a”-)=anan+l-anan_x,

其中〃N2.

累加得a：+a；+a；----Fa；=un-an+i,

Sc“=W〃"(/。]2+%2+…+%2\)=兀

故：S2023=烏,故口正確.

°20234。20244

故答案為：ABD

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是理解斐波那契數列的特點，直接計算可判斷AB,利用累加法即可判斷CD

13.99

【分析】利用裂項相消法進行求解即可.

【詳解】因為4=^^~尸=而斤—血，

Vn+1+

所以S“=（后_1+G-后+…+標^_伺=9,

即Jn+1—l=9=>n+l=100=>??=99,

故答案為：99

14.V3

【分析】由題意，利用點到直線的距離公式求得弦心距，根據弦長公式，可得答案.

【詳解】由圓的方程（x—3）2+（丁一1）2=尸，則其圓心為（3,1）,

圓心到直線的距離d==弦長的一半為1,廠='（可+F=料,

故答案為：G

1CP>/6后

65

【分析】由福?正=4°2易知A點在以（0,0）為圓心，半徑為&c的圓上，即可得圓片+才=5C2與橢圓

0+4=1有交點，需滿足8W6CWa,可得離心率ee

65

【詳解】由A耳,Ag=4，可得（一0一元],一%）.（°一%],一%）=%；一02+/2=4，,

可得%；+弁=5。2,即A點在以（0,0）為圓心，半徑為6c的圓上；

22

又A點在橢圓上，即可得圓X；+才=5c2與橢圓0+白=1有交點，

根據對稱性可知6W6cWa,即5c2W/W6c2,所以可得離心率ee—

65

已知橢圓方程:

已知A（-2,0）,5（2,0）,左]=2左2，則兒：>=匕（》+2）,lBD：y=k2[x-2^.

設C（%,〉c），。區，力）?

聯立橢圓方程與lAC：（3+4左：+16代x+（-12+16左；）=0

因為匕=2左2，

.6—8k；6-32^

??x=-----——--------，

c3+4將3+16代

6-32k；24k.

聯立橢圓方程與（3+4人:》2—16左2?x+(—12+16%2)=0

得XB+X。=----^7

BD3+4V

-16』16」—6+8左2?

7

L春天一“一K3+4修

'-6+8左2?-1242'

，D

、3+442?，3+的2,

2

6-32k；24k2f-6+8fe2-1242、

由得,l：9k、x+(8左2?—3)y+6k2=0

C,D22CD

[3+4)t2^+^,；

即8%y+(9x+6)比2—3y=0過定點f,0j.

17.

6Vio

(1)PQ=

5

(2)x+2y-l=0或2x—y—2=0

【詳解】

（i）已知圓G的圓心為G（—L0），半徑為彳=2

已知圓。2的圓心為。2（°，3），半徑為々=而

所以公共弦對應的直線方程為：x+3y-l=0

圓心G到％+3y—1=0的距離為4=半

所以PQ=2M一/=^2

(2)”(1,0),C2(O,3),當AMNG的面積最大時，NC2±MC,

所以N(—3,2)或N(3,4),所以MV方程：x+2y-l=0或2x-y-2=0

x

18.(1)an=2n+l,bn=T-,“eN*；(2)7；=(2H-1)2"+1

【分析】

（1）設等差數列｛4｝的公差為d,等比數列也,｝的公比為4,根據題設條件列方程組求出d,q的值，從而

求出數列｛4｝,也｝的通項公式;

（2）根據數列數列｛a,?〃｝的通項構成特點，可由錯位相減法求數列｛an-b,,｝的前w項和7；.

【詳解】（1）設等差數列｛4｝的公差為d,等比數列也｝的公比為小

*q+2q+d=10

由題意可得：!

5q+5；乂1=5如2+3(4+d)

17

解得4=2或4=—《（舍去），d=2.

???數列｛%｝的通項公式是=2〃+1,neN*

數列低｝的通項公式是bn=2"T,nsN*.

12-1

(2)Tn=3-2°+5-2+7-2+……+(2//+1)2"

23

2Tn=3-21+5-2+7-2+……+(2H+1)2\

A-7；=3-2°+2-21+2-22+……+2-2"-1-(2n+l)2n=2n+1-l-(2n+l)2"

,,

：.Tn=(2n-l)2+l,n&N*

后、(匕)

2V7

19.(1)(X-2)+/=9；(2)-00,--U—,+oo；(3)。=1

33

77

【詳解】

（1）設圓心為"（天,（））,且％是整數.則點（%,0）到直線4x-3y+7=0的距離為3.

得|4%+7|=3,所以％2.

軌跡方程：（X-2）2+/=9

（2）聯立軌跡方程與直線方程，（x—2『+y2=9與ax—y+4—2。=0

、

因為直線與圓有兩個交點，所以A〉0,得。e_00,------U，+8

3-----33

7

（3）設/的方程為y=—：（》—3）—1

由于直線/垂直平分弦AB,故圓心M（2,0）必在/上，所以a=l.

20.

2

(1)x2=l(x-1)

(2)存在，過定點(-2,0)

【分析】(1)由題意得|MQH〃a|=2,則動圓圓心M的軌跡是以a，Q為焦點，實軸長為2的雙曲線

的左支，可得a=l,c=2,b1=4-1=3,即可得出結果；

2

(2)設直線/為x=+代入V—4=1,并整理得(3療一1)/+6加町；+3〃2—3=0,設4(和％),

3(乙,%),由題知邁?加=0,即王馬―(%+%2)+%%+1=0，結合韋達定理求得“，代入直線方程即

可得出答案.

【詳解】(i)由圓a方程知：圓心a(—2,0),半徑6=i；由圓&方程知：圓心a(2,o)，半徑2=1，

設動圓〃的半徑為「，

-t

?動圓〃與圓a內切，與圓&外切，，阿a|=r—i，阿勾=r+1，

：.\MO,\-\MOl\=2,且2<|。02|=4，

.?.動圓圓心M的軌跡是以。1，Q為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支，

a—1,c—2,b2=4—1=3,

2

.?.動圓圓心M的軌跡方程E為：x2_1_=i(xW—1).

(2)設直線/為1=沖+幾，

2

把％=加y+〃代入--2—=1,并整理得(3加2—I)>？+6mny+3n2-3=0,

A=36m2n2-4（3m2-l）（3n2-3）>0,BP3m2+n2-l>0,

設3（%,%）,則%+%=￡'

XjX2=（沖］+〃）（沖2+〃）=加2%%+加〃（%+%）+〃2

3n2—3-6mn-3m2-n2

=m2x——--Fmnx——---Fn2>0,所以3加2—1<0

3m2-13m2-13m2-1

（%+%）+2，=，""+2〃=—<。，

xx+x2=（加％+〃）+（加％+〃）=加

所以〃<0，

HALHB,：.HAHB=G,-1）（%T）+X%=。，

石元2—（再+%2）+X%+1=0，

.-3m2-n2—2n3n~-3

——+―5—+1=0即/+2=0,解得“=-2或〃=1,

3m2-13m2-13m2-1

當〃=1時，直線/為x=//zy+l,過不合題意，舍去;

當“=-2時，直線/為x=my-2,過定點(一2,0).

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設直線方程，設交點坐標為(％,%),(%,%)；

(2)聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x(或y)的一元二次方程，必要時計算A；

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關系轉化為玉+々、XxX2(或以+為、%>2)的形式；

(5)代入韋達定理求解.

/I—\n-3n

21-⑴方=(碼

(2)存在，〃=4符合題意，理由見解析.

/、一4〃

（3）------

24〃+9

【分析】

(1)根據題意求％,d,進而可求見,Sn,即可得結果;

n2-3n

(2)根據(=求勿，即可得g，根據題意結合等差中項分析運算.

【詳解】(1)由S"=log/7；),

令〃=1,得q=S]=log](()=21og3(4)=21og3工=-2,即％=—2,

323

設等差數列｛為｝的公差為d,

%=%+3d=4,解得d=2,

.c〃(4+4)〃(-2+2〃-4)2&

=幾

??=-2+2(〃-1)=2〃-4，Sn=-----------=------------------一3〃,

即log*)=〃2_3〃,可得看二㈣"2』.

(2)存在，理由如下：

/1-\n2-3n

由⑴可得：TN=3，

2

/I-\(n-l)2-3(n-l)/I-\n-5n+4

當時，貝口i=(6)=(V3),

可得a=干=(百廣4=3「2；

當”=1時，4=g也滿足上式，所以d=3『2(“eN*).

4；2〃-4

故％

么一A?

nn2n-62n-4In-25/日.

要使%T=C,+C,+1成立,

即文〃-3=QM—2QW—1解得〃=4,

242、#

此時％=§，c4=-%=§，滿足：2c4=q+G