1.3函數的基本性質1.3.1單調性與最大(小)值第一課時函數的單調性1.3函數的基本性質1課標要求:1.理解函數單調性的概念.2.掌握判斷函數單調性的一般方法.3.體驗數形結合思想在函數性質研究中的價值,掌握其應用.課標要求:1.理解函數單調性的概念.2.掌握判斷函數單調性的2自主學習——新知建構·自我整合【情境導學】導入一函數是描述事物運動變化規律的數學模型.如果了解了函數的變化規律,那么也就把握了相應事物的變化規律.因此研究函數的性質是非常重要的.日常生活中,我們有過這樣的體驗:從階梯教室前向后走,逐步上升,從階梯教室后向前走,逐步下降.很多函數也具有類似性質,這就是我們要研究的函數的基本性質——函數的單調性.自主學習——新知建構·自我整合【情境導學】導入一函數是描3想一想導入二中f(x)隨x增大是如何變化的?導入二畫出函數f(x)=x,f(x)=x2和f(x)=的圖象,如圖所示:從圖象上不難看出函數f(x)=x從左到右是上升的;函數f(x)=x2在y軸左側,從左到右是下降的,而在y軸右側,從左到右是上升的;函數f(x)=在y軸左側,從左到右是下降的,而在y軸右側,從左到右也是下降的.(f(x)=x中f(x)隨x增大而增大,f(x)=x2先隨x增大而減小,再隨x增大而增大.f(x)=中f(x)在x∈(-∞,0)和(0,+∞)上都是隨x增大而減小)想一想導入二中f(x)隨x增大是如何變化的?導入二畫4知識探究1.增函數與減函數的相關概念f(x1)<f(x2)知識探究1.增函數與減函數的相關概念f(x1)<f(x2)52.函數的單調性及單調區間增函數或減函數單調性區間D探究1:函數單調性定義中的x1,x2有何限制條件?答案:(1)任意性,即x1,x2是在某一區間上的任意兩個值,不能以特殊值代換;(2)有大小,即確定的兩個值x1,x2必須區分大小,一般令x1<x2;(3)同屬一個單調區間.2.函數的單調性及單調區間增函數或減函數單調性區間D探究1:6探究2:函數的單調區間與函數定義域有何關系?當一個函數有多個單調區間時,如何寫函數的單調區間.答案:單調區間必須是函數定義域的子集,單調區間之間不能用“∪”,而應用“,”將它們隔開或用“和”字連接.探究2:函數的單調區間與函數定義域有何關系?當一個函數有多個7自我檢測C1.(單調性的定義)已知函數f(x)的定義域為D,在區間M上單調遞增,則(

)(A)M=D (B)MD (C)M?D (D)D?MA2.(單調性的定義)(2018·昆明高一檢測)下列函數中,在區間(0,1)上是增函數的是(

)(A)y=|x|(B)y=3-x(C)y=(D)y=-x2+4自我檢測C1.(單調性的定義)已知函數f(x)的定義域為D,8B3.(單調性的應用)若f(x)=ax+1在R上單調遞減,則a的取值范圍為(

)(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)(C)[1,+∞) (D)(-∞,1]4.(單調性的應用)已知f(x)為R上的減函數,則滿足f(||)<f(1)的實數x的取值范圍是(

)(A)(-1,1)(B)(0,1)(C)(-1,0)∪(0,1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)CB3.(單調性的應用)若f(x)=ax+1在R上單調遞減,9答案:[-1.5,3],[5,6]5.(單調區間)如圖所示為函數y=f(x),x∈[-4,7]的圖象,則函數f(x)的單調遞增區間是

.

答案:[-1.5,3],[5,6]5.(單調區間)如圖所示為10題型一判斷或證明函數的單調性課堂探究——典例剖析·舉一反三題型一判斷或證明函數的單調性課堂探究——典例剖析·舉一反11度高中數學第一章集合與函數的概念112變式探究:函數f(x)=在(-∞,0)上的單調性如何?怎樣證明.變式探究:函數f(x)=在(-∞,0)上的單調性如何?13方法技巧(1)比較f(x1)與f(x2)的大小常用的方法有“作差,作商”兩種,其中差與0比較大小,而商與1比較大小.(2)常用的變形技巧有:①因式分解.當原函數是多項式函數時,作差后常通過因式分解變形.②通分.當原函數含有分式時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.③配方.作差后可以運用配方判斷差的符號.④分子或分母有理化.當函數中含有根式時,作差后主要考慮分子或分母有理化.方法技巧(1)比較f(x1)與f(x2)的大小常用的方14度高中數學第一章集合與函數的概念115【備用例1】證明函數f(x)=x3+x在R上是增函數.【備用例1】證明函數f(x)=x3+x在R上是增函數.16題型二求函數的單調區間【例2】

求下列函數的單調區間.(1)f(x)=3|x|;題型二求函數的單調區間【例2】求下列函數的單調區間.17(2)f(x)=|x2+2x-3|.解:(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.先作出g(x)的圖象,保留其在x軸及x軸上方部分,把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方就得到f(x)=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.由圖象易得,函數的遞增區間是[-3,-1],[1,+∞);函數的遞減區間是(-∞,-3],[-1,1].(2)f(x)=|x2+2x-3|.解:(2)令g(x)=x18方法技巧判斷函數單調區間時,若所給函數是常見的一次函數、二次函數、反比例函數等,可根據其單調性寫出函數的單調區間,若函數不是上述函數且函數圖象容易作出,可作出其圖象,根據圖象寫出函數單調區間.方法技巧判斷函數單調區間時,若所給函數是常見的一次函數19度高中數學第一章集合與函數的概念120題型三函數單調性的應用【例3】

已知函數f(x)=-x2-2(a+1)x+3.(1)函數f(x)在區間(-∞,3]上是增函數,則實數a的取值范圍是

;

(2)函數f(x)的單調遞增區間是(-∞,3],則實數a的值為

.

解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此函數的單調遞增區間為(-∞,-a-1].(1)由f(x)在(-∞,3]上是增函數知3≤-a-1,即a≤-4.(2)由題意得-a-1=3,a=-4.答案:(1)(-∞,-4]

(2)-4題型三函數單調性的應用【例3】已知函數f(x)=-x21變式探究:若本題改為函數f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區間(1,2)上是單調函數,則a的取值范圍是

.

答案:(-∞,-3]∪[-2,+∞)誤區警示

函數的單調區間與函數在某一區間上單調是兩個不同的概念,其中后者的區間是函數單調區間的子集.變式探究:若本題改為函數f(x)=-x2-2(a+1)x+322即時訓練3-1:(2018·衡陽一中高一期中)已知函數f(x)=2x2-mx+5,m∈R,它在(-∞,-2]上單調遞減,則f(1)的取值范圍是(

)(A)f(1)=15 (B)f(1)>15 (C)f(1)≤15 (D)f(