第第頁專題6.1等差數列及其前n項和【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差數列的基本量計算】 2【題型2等差中項及其應用】 3【題型3等差數列的性質的應用】 4【題型4等差數列的判定與證明】 6【題型5等差數列通項公式的求解】 8【題型6等差數列前n項和的性質】 11【題型7求等差數列的前n項和】 13【題型8求等差數列的前n項和的最值】 15【題型9等差數列的簡單應用】 171、等差數列及其前n項和等差數列是高考的熱點內容，屬于高考的?？純热葜?從近幾年的高考情況來看，等差數列的基本量計算和基本性質、等差數列的中項性質、判定是高考考查的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等差數列的證明、求和及綜合應用是高考考查的重點，一般出現在解答題中，難度中等；高考中數列內容一般設置一道選擇題和一道解答題，需要靈活求解.【知識點1等差數列的基本運算的解題策略】1.等差數列的基本運算的兩大求解思路：(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想來解決問題.(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.【知識點2等差數列的判定的方法與結論】1.證明數列是等差數列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數，驗證an-an-1為同一常數.即作差法，將關于an-1的an代入an-an-1，在化簡得到定值.(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2.判定一個數列是等差數列還常用到的結論：(1)通項公式：an=pn+q（p,q為常數）是等差數列.(2)前n項和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數）是等差數列.問題的最終判定還是利用定義.【知識點3等差數列及其前n項和的性質及應用】1.項的性質：在等差數列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.2.和的性質：在等差數列中，Sn為其前n項和，則(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k項和成等差數列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數列.3.求等差數列前n項和的最值的常用方法：(1)鄰項變號法：利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項，或者利用性質求其正負轉折項，便可求得和的最值；(2)二次函數法：利用公差不為零的等差數列的前n項和Sn=An2+Bn（A,B為常數，A≠0）為二次函數，通過二次函數的性質求最值.(3)不等式組法：借助當Sn最大時，有，解此不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和對應Sn的值(即Sn最大值)，類似可求Sn的最小值.【題型1\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"等差數列通項公式的基本量計算"等差數列的基本量計算】【例1】（2023·廣西·統考模擬預測）設an為等差數列，若a3+2a1=1,a4=5，則公差d=（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【解題思路】由等差數列的基本量法列方程組求解．【解答過程】由題意得3a1+2d=1故選：D.【變式1-1】（2023·浙江臺州·統考模擬預測）已知數列an滿足：?m，n∈N*，am+n=amA．1 B．2 C．3 D．2022【解題思路】令m=1，則an+1=a【解答過程】令m=1，則a故an+1?a故數列an∴∴a故選：A.【變式1-2】（2023·全國·模擬預測）記Sn為等差數列an的前n項和，已知a2=1，S4=8．若A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】設等差數列an的公差為d，由等差數列的通項公式和前n項和公式列方程組，解方程求出a1,d，即可求出a【解答過程】設等差數列an的公差為d．由條件可知a1所以an=?1+2n?1由Sn?2an=6，得n2?2n?2故選：B．【變式1-3】（2023·浙江杭州·?？寄M預測）已知等差數列an，記Sn為數列an的前n項和，若a1=1，S7=5A．1 B．2 C．?1 D．?2【解題思路】根據等差數列的求和公式以及通項公式可得出關于d的等式，解之即可.【解答過程】在等差數列an中，Sn為數列an的前n由S7=5a5可得7a故選：D.【題型2等差中項及其應用】【例2】（2023·安徽蚌埠·統考模擬預測）已知等差數列{an}滿足a2+A．?12 B．12 C．2【解題思路】利用等差中項求解即可.【解答過程】因為數列{a所以a2+a所以cosa故選：A.【變式2-1】（2023·四川涼山·三模）在等差數列an中，a2+a4=2，A．3 B．5 C．7 D．9【解題思路】由等差中項性質得a3=1，利用等差數列通項公式求基本量公差d，進而寫出通項公式，即可得【解答過程】由題設a2+a4=2若等差數列公差為d，則d=a所以，an通項公式為an=故選：C.【變式2-2】（2023·全國·校聯考模擬預測）已知等差數列an的首項a1=1，公差d>0，數列bn滿足bn=aA．14 B．12 C．1【解題思路】根據等差數列的通項公式及定義可得結果.【解答過程】易知an=dn?d+1，d>0，又因為bn所以b1,b2,化簡得d=14，此時an=14n+故選：A.【變式2-3】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知數列an中，a2=2，當n≥3時，an?1，12an，aA．k B．k?1 C．2k D．k?2【解題思路】依題意可得數列an的遞推關系a【解答過程】當n≥3時，an?1，12an，由于a2=2，則故選：D.【題型3等差數列的性質的應用】【例3】（2023·全國·模擬預測）已知遞增數列an是等差數列，若a4=8，3a2A．2024 B．2023 C．4048 D．4046【解題思路】設數列an的公差為d（d>0），解法一：根據題意結合等差數列的通項公式求a1,d，即可得結果；解法二：根據等差數列的性質并以a【解答過程】解法一：設數列an的公差為d（d>0因為a4=8，則a1+3d=23所以a2024解法二：設數列an的公差為d（d>0由3a2+又因為a4=8，即48=8?2d所以a2024故選：C．【變式3-1】（2023·全國·模擬預測）已知數列an為等差數列，則“m=4”是“a2+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據等差數列的性質，結合已知可得充分性成立；舉例即可說明必要性不成立.【解答過程】當m=4時，根據等差數列的性質可得a2當an為常數列時，有a由a2+am+因此“m=4”是“a2故選：A．【變式3-2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學?？级＃┮阎炔顢盗衋n是遞增數列，且滿足a3+a5=14，A．33 B．16 C．13 D．12【解題思路】由等差數列的性質，a2+a6=a3得解.【解答過程】由等差數列的性質，a2+a6=a3+a5=14，又a∴a故選：C.【變式3-3】（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學校考模擬預測）數列an是等差數列，若a3a9=8，1A．22 B．4 C．43 【解題思路】根據等差數列性質得到1a【解答過程】1a3+故選：C.【題型4等差數列的判定與證明】【例4】（2023·浙江溫州·統考三模）已知數列an各項為正數，bn滿足an2=A．bn是等差數列 B．bC．bn是等差數列 D．b【解題思路】分析可知數列bn的每一項都是正數，由已知條件可得出b【解答過程】因為數列an各項為正數，bn滿足an故對任意的n∈N?，bn+1所以，數列bn所以，bnbn+1由等差中項法可知，數列bn故選：C.【變式4-1】（2023上·高二課時練習）已知數列an是等差數列，下面的數列中必為等差數列的個數是（

①a2n

②an+an+1

A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據等差數列的定義判斷．【解答過程】設{an}對于①，a2a2n對于②，anan對于③，3an+1?(3對于④，若an=n?5，則故選：C．【變式4-2】（2023上·天津薊州·高二?？茧A段練習）設數列an滿足a(1)求an(2)證明：數列2kan（【解題思路】（1）由數列遞推式求出首項，再得出n≥2時，a1+3a（2）由（1）的結果可得2ka【解答過程】（1）由題意知數列an滿足a則n=1時，a1當n≥2時，a1則②-①得：2n?1an=2，故a故an（2）由（1）得2kan=k(2n?1)則bn+1故數列2kan（【變式4-3】（2023上·山東威?！じ叨y考期末）設Sn為數列an的前n項和，Tn為數列Sn的前(1)求S1，S(2)求證：數列1S(3)求數列an【解題思路】（1）直接令1Tn=Sn（2）通過1Tn=Sn（3）當n≥2時，通過an=Sn?【解答過程】（1）由1Tn=Sn當n=1時，1T1=當n=2時，1T2=（2）對于1T當n≥2時，1T①÷②得Tn?1即Sn?1=S又1S∴數列1S（3）由（2）得1S∴S當n≥2時，an又n=1時，a1=S∴a【題型5等差數列通項公式的求解】【例5】（2023·浙江紹興·統考模擬預測）已知等差數列an滿足a6+(1)求an(2)記Tn為數列an前n項的乘積，若a1【解題思路】（1）利用a6+a（2）根據（1）中結果并結合題意進行分情況討論，從而求解.【解答過程】（1）設an的公差為d，由a6+由a1,a4,a5由2a1+11d=4d2所以：an的通項公式為an=2（2）因為a1<0，所以：得：當n≤5時，an<0；當n≥6時，從而T1又因為：T2=a1a故Tn的最大值為945【變式5-1】（2023·江西·校聯考二模）已知數列an是公差為d的等差數列，且a1=1(1)當d取最大值時，求通項an(2)在（1）的條件下，求數列15n+1an的前n【解題思路】（1）由等差數列的性質，可得d=am?a1m?1=an（2）裂項相消即可.【解答過程】（1）由已知得d>0，數列an單調遞增，不防設am=16,∴d=am?a1∵m與n越小，d越大，∴n?1=5m?1=3，∴m=4n=6，∴d=5（2）由（1）知：an=5n?4，∴15n+1∴S=1【變式5-2】（2023·海南?？凇ばＢ摽寄M預測）已知Sn為數列an的前n項和，且an(1)求an(2)若bn=3anan+1，數列b【解題思路】（1）根據給定的遞推公式，結合“an=S（2）由（1）的結論，利用裂項相消法求和推理作答即可.【解答過程】（1）解：當n=1時，a1因為an>0，所以當n≥2時，an即an因為an>0，所以所以an是首項為4，公差為3的等差數列，故a（2）證明：因為bn所以Tn因為n∈N?，所以，Tn【變式5-3】（2023·貴州銅仁·校聯考模擬預測）已知常數λ≠0，數列an的前n項和為Sn，a1(1)求數列an(2)若cn=3n+【解題思路】（1）由a1=1和ann?1=Sn（2）根據數列cn是單調遞增數列，得到3n+(?1)n【解答過程】（1）因為ann?1=因為an+1所以an+1化簡得：an+1?a在an當n=2時，得a2∴數列{an}是以1故an=1+2λ(n?1)，（2）∵cn=3即3n+(?1)①當n是奇數時，?1+(2n?1)λ<3n，令f(n)=?3n+1f(n+2)?f(n)=?3f(1)>f(3)>f(5)>…>f(n)>…，且f(1)=?4，故λ>?4；②當n是偶數時，1+(2n?1)λ<3n，λ<3令g(n)=3n?1因為g(n+2)?g(n)=3所以g(2)<g(4)<g(6)<…<g(n)<…，且g(2)=83，所以綜上可得：實數λ的取值范圍是?4,8【題型6等差數列前n項和的性質】【例6】（2023·福建廈門·統考模擬預測）等差數列an的前n項和為Sn，S9=18,SA．9 B．212 C．12 D．【解題思路】根據等差數列前n項和的性質可得S3，S6?【解答過程】由已知S3，S6?S3，S所以2×S6?3故選：A．【變式6-1】（2023上·四川眉山·高三校考開學考試）在等差數列{an}中，a1=?2024，其前n項和為Sn，若A．2023 B．-2023 C．-2024 D．2024【解題思路】設{an}公差為d【解答過程】由{an}是等差數列，設公差為所以Snn=a1由S1010?所以S所以S20242024故選：C.【變式6-2】（2023上·陜西榆林·高二校聯考階段練習）已知等差數列an與等差數列bn的前n項和分別為Sn與Tn,且SnA．2921 B．2911 C．5821【解題思路】由等差數列性質可得a3b11+a9b11=【解答過程】因為數列an、bn都是等差數列,所以又S11=11故a6=S1111在SnT2n?1=5n+3故a3故選：D.【變式6-3】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學?？家荒＃┰O等差數列an的公差為d，共前n項和為Sn，已知S16>0，A．a1>0，d<0 B．S8與SC．a8+a【解題思路】由等差中項性質與等差數列前n項和公式即可求解.【解答過程】依題意，因為S16S17所以a8由a8+a所以d=a9由a8=a所以a1對于B：因為S9=S因此，S8與S9不可能同為故選：B.【題型7\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"求等差數列中的最大（小）項"求等差數列的前n項和】【例7】（2023·四川內江·統考一模）已知等差數列an的前n項和為Sn，a2(1)求an及S(2)若bn=an+1Sn?【解題思路】（1）根據等差數列基本量的計算可得公差和首項，即可求解，（2）根據裂項求和即可求解.【解答過程】（1）設公差為d，則由a2=3，a1+d=35所以an=1+2（2）bn故Tn【變式7-1】（2023·湖北武漢·統考三模）已知各項均不為零的數列an的前n項和為Sn，a1(1)求an(2)若Sk≤2023恒成立，求正整數【解題思路】（1）根據題意，當n=1時，求得a2=2，當n≥2時，得到2Sn?1=（2）由（1）求得Sn=nn+12，結合當k≤63時，S【解答過程】（1）解：由題意，各項均不為零的數列an的前n項和為Sn，滿足a1當n=1時，2a1=當n≥2時，2Sn?1=因為數列an中各項均不為零，即a所以數列an中奇數項是以a偶數項是以a2當n=2k時，a2k=a當n=2k?1時，a2k?1=a綜上，數列an的通項公式為a（2）解：由（1）知數列an是以1為首項，1為公差的等差數列，可得S因為Sk≤2023，所以當k≤63時，Sk當k=64時，Sk故正整數k的最大值為63.【變式7-2】（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預測）已知等差數列an的前n項和為Sn，其中a2(1)求數列an(2)求數列an的前n項和為T【解題思路】（1）利用等差數列的通項公式以及等比數列的性質列方程求出an（2）由等差數列的求和公式求出Sn，討論當n≤7時，an=?an，Tn=?【解答過程】（1）設{an}則a2=a所以an（2）因為an=2n?14，所以當n≤7時，an=2n?14≤0，此時Tn當n>7時，an=2n?14>0，此時T=?S綜上所述：Tn【變式7-3】（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）設等差數列an前n項和Sn，a1=1，滿足(1)求數列an(2)記bn=n+1SnSn+2，設數列b【解題思路】（1）根據等差數列的通項公式進行求解即可；（2）利用等差數列前n項和公式，結合裂項相消法進行求解即可.【解答過程】（1）依題意有2a∵a1=1又an為等差數列，設公差為d∴d=a2?（2）由（1）可得Sn∴b1=1411?13∴T【題型8\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"求等差數列中的最大（?。╉?求等差數列的前n項和的最值】【例8】（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）設Sn為等差數列an的前n項和，且?n∈N?，都有SnA．Sn的最小值是S9 B．SC．Sn的最大值是S9 D．S【解題思路】由Snn<Sn+1n+1結合等差數列的前n項和公式可知數列an為遞增的等差數列，由S5=【解答過程】由Snn<Sn+1所以數列an因為S5=S13，所以則a9<0，a10>0，所以當n≤9且當n≥10且n∈N?時，an>0.因此，故選：A.【變式8-1】（2023·河南·開封高中校考模擬預測）已知Sn為等差數列an的前n項和．若S12<0，a5+aA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】由已知結合等差數列的性質和前n項和公式，可推得a6>0，【解答過程】因為等差數列an中，S12=所以a1因為a5+a所以a7由an為等差數列，得n≤6時，an>0；n>6所以當n=6時，Sn故選：D.【變式8-2】（2023·四川自貢·統考三模）等差數列an的前n項和為Sn，公差為d，若S10<0，S11>0，則下列四個命題正確個數為（

）①S5為Sn的最小值

②a6>0

A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據等差數列的前n項和公式以及等差數列的性質，即可得a6>0，a5【解答過程】等差數列an中，S11=又S10=a1+a10于是可得等差數列an滿足an+1?an=d>0，其為遞增數列，則a1則四個命題正確個數為3.故選：C.【變式8-3】（2023·全國·模擬預測）已知等差數列an的前n項和為Sn，S15=30，A．當n=15時，Sn最大 B．當n=16時，SC．數列Sn中存在最大項，且最大項為S8 D．數列【解題思路】根據題意分析可得a1=2?7d，d<?4.對A：根據等差數列的前n項和的性質結合二次函數分析判斷；對B：分類討論判斷S15與S【解答過程】設等差數列an的公差為d∵S15=15a8=30又∵S16=S對A：∵an為等差數列，則可設S由二次函數可知Sn對B：因為S16當d<?314時，S16當d=?314時，S16當?314<d<?4時，?30<對C、D：∵d<?4<0，則數列an且a8所以對?n≤8,n∈N*，均有an>0；對所以Sn中，S8最大，故選：C.【題型9等差數列的簡單應用】【例9】（2023·四川綿陽·綿陽中學校考模擬預測）《張丘建算經》是我國南北朝時期的一部重要數學著作，書中系統地介紹了等差數列，同類結果在三百年后在印度才首次出現，卷中記載“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈”，其意思為：“現有一善于織布的女子，從第二天開始，每天比前一天多織相同量的布，第一天織了5尺布，現在一個月（30天）共織390尺布”，假如該女子1號開始織布，則這個月中旬（第11天到第20天）的織布量為（

）A．26 B．130 C．4213 【解題思路】根據題意得：該女子每天的織布量構成等差數列an,該等差數列的前30項和為390，首項a1=5，設公差為d，代入等差數列的前n項和公式，求出d【解答過程】設第n天的織布量為an,根據題意得：該女子每天的織布量構成等差數列a該等差數列的前30項和為390，首項a1=5，設公差為所以S30=30×5+30×29所以a11所以這個月中旬（第11天到第20天）的織布量為130.故選:B.【變式9-1】（2023·四川雅安·統考模擬預測）中國古代數學名著《九章算術》中“均輸”一章有如下問題：“今有竹九節，下三節容量四升，上四節容量三升．問中間二節欲均容各多少．”意思是“今有竹9節，下部分3節總容量4升，上部分4節總容量3升，且自下而上每節容積成等差數列，問中間二節容積各是多少？”按此規律，中間二節（自下而上第四節和第五節）容積之和為（

）A．4722 B．13166 C．12766【解題思路】根據給定條件，利用等差數列的第5項a5及公差d【解答過程】依題意，令九節竹子從下到上的容積構成的等差數列為{an},n∈于是得：a1+a2+所以中間二節容積之和為a4故選：A.【變式9-2】（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數，則最后一排的座位數為（

）A．12 B．26 C．42 D．50【解題思路】根據題意，把各排座位數看作等差數列，設等差數列通項為an，首項為a1，公差為d=2，前n項和為Sn，由已知S16=432【解答過程】根據題意，把各排座位數看作等差數列，設等差數列通項為an，首項為a1，公差為d=2，前n項和為Sn所以S16=16×(所以a16故選：C．【變式9-3】（2023·四川達州·統考一模）《孫子算經》是我國南北朝時著名的數學著作，其中有物不知數問題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二.問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個，這些物品的數量是多少個？若一個正整數除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數由小到大排列，則前10個數的和為（

）A．754 B．755 C．756 D．757【解題思路】由題意可得除以三余二且除以五余三的正整數是以8為首項，15為公差的等差數列，再根據等差數列的前n項和公式即可得解.【解答過程】設除以三余二的正整數為數列an，則a除以五余三的正整數為數列bn，則b除以三余二且除以五余三的正整數為數列cn而3和5的最小公倍數為15，則數列cn是由數列an和數列cn是以8為首項，15則cn所以前10個數的和為10×8+143故選：B.1．（2023·全國·統考高考真題）記Sn為等差數列an的前n項和．若a2+aA．25 B．22 C．20 D．15【解題思路】方法一：根據題意直接求出等差數列an的公差和首項，再根據前n方法二：根據等差數列的性質求出等差數列an的公差，再根據前n【解答過程】方法一：設等差數列an的公差為d，首項為aa2+a又a4a8所以S5故選：C.方法二：a2+a6=2a4從而d=a8?所以S5故選：C.2．（2023·全國·統考高考真題）已知等差數列an的公差為2π3，集合S=cosann∈NA．－1 B．?12 C．0 【解題思路】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【解答過程】依題意，等差數列{an}顯然函數y=cos[2π3n+(a則在cosa1,cosa于是有cosθ=cos(θ+2π所以k∈Z，ab=故選：B.3．（2023·全國·統考高考真題）記Sn為數列an的前n項和，設甲：an為等差數列；乙：{A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解題思路】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【解答過程】方法1，甲：an為等差數列，設其首項為a1，公差為則Sn因此{S反之，乙：{Snn}為等差數列，即即nan+1?Sn兩式相減得：an=nan+1?(n?1)因此an所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：an為等差數列，設數列an的首項a1，公差為d則Snn=反之，乙：{Snn即Sn=nS當n≥2時，上兩式相減得：Sn?S于是an=a因此an所以甲是乙的充要條件.故選：C.4．（2022·北京·統考高考真題）設an是公差不為0的無窮等差數列，則“an為遞增數列”是“存在正整數N0，當n>N0A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】設等差數列an的公差為d，則d≠0【解答過程】設等差數列an的公差為d，則d≠0，記x為不超過x若an為單調遞增數列，則d>0若a1≥0，則當n≥2時，an>a由an=a1+n?1d>0可得n>1?所以，“an是遞增數列”?“存在正整數N0，當n>N若存在正整數N0，當n>N0時，an>0，取k∈假設d<0，令an=ak+當n>k?akd+1時，a所以，“an是遞增數列”?“存在正整數N0，當n>N所以，“an是遞增數列”是“存在正整數N0，當n>N故選：C.5．（2022·全國·統考高考真題）記Sn為等差數列an的前n項和．若2S3=3S【解題思路】轉化條件為2a【解答過程】由2S3=3S2即2a1+2故答案為：2.6．（2023·全國·統考高考真題）已知an為等差數列，bn=an?6,n為奇數2an,n為偶數，記Sn(1)求an(2)證明：當n>5時，Tn【解題思路】（1）設等差數列an的公差為d，用a1,d表示S（2）方法1，利用（1）的結論求出Sn，bn，再分奇偶結合分組求和法求出Tn，并與Sn作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出Sn，bn，再分奇偶借助等差數列前【解答過程】（1）設等差數列an的公差為d，而b則b1于是S4=4a1+6d=32所以數列an的通項公式是a（2）方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當n為偶數時，bn?1Tn當n>5時，Tn?S當n為奇數時，Tn當n>5時，Tn?S所以當n>5時，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當n為偶數時，Tn當n>5時，Tn?S當n為奇數時，若n≥3，則T=32n2+52當n>5時，Tn?S所以當n>5時，Tn7．（2023·全國·統考高考真題）設等差數列an的公差為d，且d>1．令bn=n2+na(1)若3a2=3(2)若bn為等差數列，且S99?【解題思路】（1）根據等差數列的通項公式建立方程求解即可；（2）由{bn}為等差數列得出a1=d【解答過程】（1）∵3a2=3a1∴S又T3∴S即2d2?7d+3=0，解得d=3∴a（2）∵{b∴2b2=∴6(1a2?1a3∵d>1，∴a又S99?T99=99∴a50?2550a50=1當a1=2d時，a50=a當a