人教版《義務教育教科書數學六年級上冊》介紹人民教育出版社、課程教材研究所小學數學課程教材研究開發中心研制出版的《義務教育教科書數學〔一～六年級〕》是《義務教育課程標準實驗教科書數學〔一～六年級〕》〔以下簡稱實驗教材〕經修訂后形成的一套新教材。實驗教材以《全日制義務教育數學課程標準〔實驗稿〕》〔以下簡稱《標準〔實驗稿〕》〕的根本理念和所規定的教學內容為依據，在總結以往九年義務教育小學數學教材研究和使用經驗的根底上編寫的。實驗教材從2001年秋季開始使用，經過國家級實驗區和省級實驗區實驗使用證明，這是一套我國城鄉廣闊地區普遍適用的小學數學教材。從2011年7月開始，實驗教材的編寫者根據新公布的《義務教育數學課程標準〔2011版〕》〔以下簡稱《標準〔2011〕》〕對實驗教材進行了全面而系統的修訂，形成了《義務教育教科書數學〔一～六年級〕》，于2013年3月全部通過國家根底教育課程教材專家工作委員會的審查，并已于2012年秋季開始陸續替換實驗教材。《義務教育教科書數學

六年級上冊》的修訂,仍然堅持在表達新理念的同時注意具體措施的可行性和處理好繼續與開展的關系兩大根本原那么,力求使修訂后的教材具有創新、實用、開放的特點。教材所選擇的學習素材盡量與學生的生活現實、數學現實、其他學科現實相聯系；教材內容的呈現努力表達數學知識的整體性，表達重要的數學知識和方法的產生、開展和應用過程；注重引導學生進行自主探索與合作交流，并關注對學生人文精神的培養；注重調動教師的主動性和積極性，便于教師進行創造性教學。本冊教材包括下面一些內容：分數乘法，分數除法，比，百分數，圓，位置與方向，扇形統計圖，數學廣角，綜合與實踐等。在數與代數方面，這一冊教材安排了分數乘法、分數除法、比、百分數4個單元。分數乘法和除法是在前面學習整數、小數有關計算的根底上進行教學的，重在培養學生分數四那么運算能力以及解決有關分數的實際問題的能力。分數四那么運算能力是學生進一步學習數學的重要根本技能，應該讓學生切實掌握。比的初步知識是在學習了除法、分數等知識的根底上教學的，比在生活中有廣泛應用，同時是后面學習圓周率、百分數、比例等知識的根底。百分數在實際生活中有著廣泛的應用，理解百分數的意義、掌握百分數的計算方法，會解決簡單的有關百分數的實際問題，也是小學生應具備的根本數學能力。在圖形與幾何方面，這一冊教材安排了位置與方向、圓兩個單元。位置的教學在己有知識和經驗的根底上，通過豐富的現實的數學活動，讓學生經歷知識的形成過程，理解并學會用距離和方向表示位置；通過對曲線圖形——圓的特征和有關知識的探索與學習，初步認識研究曲線圖形的根本方法，促進學生空間觀念的進一步開展。在統計方面，本冊教材安排的是扇形統計圖。在前面學習條形統計圖和折線統計圖的根底上，學會看懂扇形統計圖，認識扇形統計圖的特點，進一步體會統計在生活和解決問題中的作用，開展數據分析觀念。在用數學解決問題方面，教材結合分數的乘法和除法、比、百分數、圓、統計等知識，教學用所學的知識解決生活中的簡單問題，培養學生的發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。在數學思想方法方面，教材除了結合分數的乘法和除法、比、百分數、圓、統計等知識，讓學生體會、理解和掌握歸納法、類比法、演繹推理思想、轉化思想、數形結合思想、統計思想等思想方法外，還安排了“數學廣角”的教學內容，引導學生通過觀察、猜測、推理等活動，理解和掌握數形結合思想、歸納法、演繹推理思想、極限思想，體會運用數學思想方法解決問題的有效性、優越性，開展學生的四能。本冊教材根據學生所學習的數學知識和生活經驗，安排了兩個數學綜合與實踐主題活動，讓學生通過小組合作的探究活動或有現實背景的活動，運用所學知識解決問題，體會探索的樂趣和數學的實際應用，感受用數學的愉悅，培養學生的數學應用意識和實踐能力。如前所述，這套教材的實驗教材是以《標準〔實驗稿〕》的根本理念和所規定的教學內容為依據，在總結以往九年義務教育小學數學教材研究和使用經驗的根底上進行設計的。在使用十年后，2012年在總結10年實驗與使用經驗的根底上，根據《標準〔2011〕》提出的新要求，廣泛聽取并吸收小學數學教師和教研人員的意見和建議，對實驗教材進行了系統、細致的修訂。通過教材的修訂，我們期望使本套小學數學教材的內容質量得到全面提升，表達數學的價值，表達時代精神與科技進步，滲透社會主義核心價值體系；使教材結構更為科學合理，符合學生學習數學的認知規律，減輕學生課業負擔，增強學生學好數學和會用數學的信心，獲得適應未來社會生活和進一步開展所必需的數學的根底知識、根本技能、根本思想和根本活動經驗，初步形成發現、提出、分析和解決數學問題的能力；使教材的風格和特色更加鮮明，將數學學科體系嚴謹性與學生自主學習的開放性有機結合，更好地促進教育教學活動，初步培養學生嚴謹求實又勇于探索創新的科學精神，更加符合實施素質教育的要求；使教材的版面設計清爽美觀，圖文并茂配合切當，裝幀精美，文字準確并適合于小學生閱讀。修訂后的教材，既具有原實驗教材的主要特點，同時又呈現出一些新的特色。1．改良分數乘、除法的編排，加強學生對數學本質的理解，培養學生的應用意識、分析問題和解決問題的能力。分數四那么運算的知識和技能是小學生應該掌握的根底知識和根本技能。分數四那么運算在計算方法上與整數、小數計算有一定的區別，在算理上比整數、小數計算稍顯復雜，所以學生理解和掌握起來更困難一些。分數的加法和減法，在計算方法上與整數、小數的加法和減法雖有區別，但是在算理上與整數、小數的加、減法又有聯系，都是相同單位的數才能直接相加、減。為了突出這一共同的規律，加之學生已學習過簡單的同分母分數加、減法，所以，在五年級下冊，教材將分數的加法和減法安排在同一單元里穿插教學。分數的乘法和除法有密切的聯系，教學分數除法需要有分數乘法作根底；而且分數乘、除法的內容比擬多，學生理解它們的算理也更為困難些；因此，在原實驗教材把分數乘法和分數除法分2個單元的方式進行編排的根底上，本套教材拆分為3個單元進行編排，即分數乘法、分數除法、比。在具體編排上，前兩個單元都先結合實際問題教學每種計算的算理和算法，比這一單元先結合情境教學比的意義和性質；然后解決一些含有特殊數量關系和聯系實際的問題。通過解決實際問題，理解這類問題的數量關系，在掌握解題思路和方法的同時，進一步加深學生對分數乘、除法的理解。這樣編排，重點突出，比擬有利于學生理解和掌握分數乘、除法的算理、算法和實際應用。由于倒數是學習分數除法的根底，因此本套教材把倒數的認識移至分數除法單元，加強了知識之間的聯系。考慮到分數除法單元的容量及比的內容的重要性、獨立性，本套教材把比的內容獨立設置為一個單元，安排在分數除法單元之后，教學比的意義、性質和應用。這樣編排有兩點好處：第一，比和分數、除法有密切的聯系，兩個整數相除〔除數不等于0〕可以用分數表示它們的商，也可以說成兩個數的比，兩個數的比也可以用分數形式來表示。加強比和分數的聯系，可以加深學生對分數的意義的理解和比照的認識，還可以提高學生靈活運用知識解決簡單實際問題的能力。第二，比的概念的教學，可以為后面教學圓周率、百分數、統計等打好根底。例如，學生有了比的概念，就容易理解百分數為什么還可以叫做百分比。與整數、小數的計算教學相同，分數的乘法和除法的教學，同樣要表達計算教學改革的新理念，即重視理解算理和算法、讓學生自主探索、加強運算能力、培養四能等。因此，本套教材的編排與實驗教材相比有以下幾方面的改良。〔1〕加強分數乘法、分數除法意義的教學，讓學生通過解決實際問題，結合具體情境和計算過程去理解運算的意義。〔2〕通過實際問題引出需要用分數乘、除法計算的問題，讓學生在現實情境中探索、理解分數乘、除法的算理和算法。〔3〕加強幾何直觀，借助操作與圖示，引導學生探索并理解分數乘、除法的算理和算法。對分數乘、除法計算方法的探索與理解，歷來是教學的難點。教材根據學生的思維特點，設計了涂色、折紙、畫線段圖等活動，采用手腦并用、數形結合的策略加以突破，為學生探索與交流提供更多的空間。最后出現文字表達式的計算法那么，使學生在理解的根底上掌握。〔4〕加強分數四那么運算的編排，增加小數、分數的混合運算，培養運算能力。〔5〕加強了分數乘、除法應用問題的編排，增加問題解決的例題和形式，注重培養學生用數學解決實際問題的能力。用分數乘、除法解決問題以往也是小學數學教學的難點教學內容，本套教材的編排，根據《標準〔2011〕》的要求，一方面加強聯系實際，選取了在日常生活中經常遇到的實際問題進行分析，培養學生的應用意識；另一方面增加問題解決的例題數量，進而到達培養學生的四能的目的。2．改良百分數的編排，加強知識的整合、遷移和聯系實際，培養學生的應用意識。百分數是用來表示一個數是另一個數的百分之幾的數，通常也叫做百分率和百分比。由于百分數的分母化一，便于比擬，因此，在工農業生產、科學研究以及日常工作中有著廣泛的應用。有關百分數的教學內容較多，如它的意義與寫法、它與小數、分數的互化、它在實際中的應用，等等，所以本套教材把百分數拆分成兩個單元進行教學，分別編排在六年級上、下冊，本冊百分數的內容包括百分數的意義，百分數與分數、小數的互化，解決與應用分數問題類似的百分數問題。折扣、成數稅率和利率等百分數的應用那么安排在六年級下冊。由于解決含有百分數的實際問題在解題思路和解答方法上與解決分數問題根本相同。因此，教材在這些方面沒有用較多的例題來教學，只對求百分率的問題，求增加百分之幾、減少百分之幾的問題適當舉例加以教學，并加強百分數實際應用方面的教學。例如，結合求百分率，出現求達標率、發芽率等的計算〔還提示了出勤率、合格率、出粉率〕。同樣，百分數這局部教材的編排注意表達當前數學教學改革的新理念。首先，加強數學知識與生活實際的聯系。隨著我國經濟生活的不斷繁榮，數學知識的廣泛應用，百分數的實際應用也日益廣泛。所以，這一單元的編排，教材選取了較為豐富的、貼近學生生活又富有時代氣息的素材。例如，百分數意義的教學，教材用主體圖的形式列舉了大量當前實際生活中百分數應用的實例；“百分數與分數的互化”的編排，教材采用解決實際問題方式引入互化的教學，使學生體會互化知識的實際應用。這樣的編排，使學生在聯系生活實際中認識百分數，理解百分數的意義，感受百分數在生活實際中的應用，有利于形成學生對數學價值的正確認識，提高學生用數學解決問題的能力。其次，加強了教學的探索性和開放性。教材注意利用適宜時機設置有效的數學活動，讓學生通過自主探索，體會、理解百分數的知識。例如，百分數意義的教學，在列舉了生活中百分數應用實例的根底上，教材通過小精靈提出要求，讓學生自己試著說一說這些百分數的應用和具體含義，使學生在自主探索、討論交流中體會和理解百分數的含義。又如，教學求百分率的實際問題時，在探索了命中率的含義和求法的根底上，教材還放手讓學生自己探索如何求出出勤率、發芽率、成活率等。既拓展了學生所學的知識范圍，加深學生對百分率知識的理解；又培養了自主探索的良好學習習慣。

3．在圖形與幾何方面，注重動手實踐與自主探索，促進學生空間觀念的開展。小學階段圖形與幾何教學的主要目標是開展學生的空間觀念，與前幾冊一樣，本冊教材繼續把促進學生空間觀念的開展作為圖形與幾何內容編排的研究重點。在教學內容方面安排了“位置與方向”“圓”兩個單元。“位置與方向”的教學內容是第一學段相應教學內容的擴展和提高。學生在中年級“位置與方向”單元學習了八個方向。本冊教材在上述學習的根底上，教學在平面內可以根據方向和距離這兩個條件確定物體的位置。使學生初步能從方位的角度觀察周圍的事物，通過教學促進學生空間觀念的進一步開展，為中學學習“圖形與坐標”打好根底。教材的編排，首先注意了利用學生已有的知識和經驗，設計一組聯系實際的在我國東南沿海經常發生的臺風移動的實際情境，將具體的情境數學化，抽象成學習如何在平面圖上根據方向和距離確定位置，幫助學生理解用方向和距離確定位置的方法。另一方面，注意呈現豐富的生活情境和現實素材，幫助學生掌握用方向和距離確定位置的方法。例如，可以帶著學生在操場上進行實地測量，確定一個位置，然后以它為中心測量各個建筑物的方向和距離，畫出平面圖。使學生在綜合運用所學知識解決問題的過程中，加深對用方向和距離確定位置內容的理解，體會數學知識之間的聯系，鍛煉空間想象的能力。圓是一種曲線圖形，它同直線圖形有不同的特點。在本冊之前各冊教材出現的平面圖形都是直線圖形。所以“圓”的教學是學生系統認識曲線圖形特征的開始。在低年級的教學中雖然也出現過圓，但只是直觀的認識，本冊的教學要認識圓的特征、圓的周長和圓的面積等。從學習直線圖形到學習曲線圖形，不管是內容本身，還是研究問題的方法，都有所變化，教材通過對圓的研究，使學生初步認識研究曲線圖形的根本方法，同時，也滲透了曲線圖形與直線圖形的內在聯系。在這一單元里，教材還利用學生已有的對軸對稱圖形的初步知識探討圓的軸對稱特點，使學生關于軸對稱圖形的知識系統化，從而更好地開展學生的空間觀念。教材在編排上加強了啟發性和探索性，注重動手操作，讓學生在自主探索的活動中通過交流、思考來探究圓的特征、圓的周長和面積的計算方法。例如，教學圓的面積時，教材啟發學生自己尋找解決問題的思路和方法，回憶以前用過的轉化方法，化曲為直，從而把圓的面積轉化為學生熟悉的直線圖形的面積來計算，同時讓學生體會極限思想。與實驗教材相比，本套教材增加了扇形的初步認識，認識弧、圓心角、扇形等概念，為扇形統計圖的學習打下根底。教材還注意通過介紹圓周率的史料，滲透數學文化和愛國主義教育。4．加強統計知識的教學，開展學生的數據分析觀念，逐步形成從數學的角度進行思考問題的思維習慣。通過前面五年的數學學習，在統計與概率方面，學生已經掌握了一定的知識，形成了一定的能力，積累了一定的經驗。本冊教材安排的是關于統計知識的教學，即教學扇形統計圖的知識。通過教學使學生認識扇形統計圖的特點和作用；能從扇形統計圖中獲取有價值的數學信息；加強各種統計數據和統計圖的比擬，并能根據數據的不同特征，選擇適當的統計圖或統計表來反映現實數據、分析數據、判斷決策、解決問題。教學中學生同樣要經歷簡單的數據收集、整理、描述、分析的過程，并要根據統計數據分析的結果做出簡單的判斷和預測，以便更好地理解統計知識在解決問題中的作用，形成良好的數據分析觀念。在教材的具體編排上，一是注意與先前學習過的統計知識的聯系，幫助學生理解扇形統計圖的特點和作用。例如，注重與學生已經學習過的條形統計圖和折線統計圖的聯系。通過各種統計圖特點及作用的比照，引導學生認識扇形統計圖的特點和作用。二是注意挖掘生活中的數學素材，凸顯統計的實用價值。教材在素材選取方面，注重從生活、生產中選取，努力挖掘學生身邊的相關數學元素，這樣不僅拓寬了學生數據收集的渠道，也凸顯了統計與生產、生活密切的聯系，使學生體會到統計的實用價值。例如，教材所選素材涉及到體育、營養、環保、人口、通訊、網絡等方面，擴大了學生處理信息的范圍，更好地體會統計知識和方法在實際生活中的作用，有利于開展學生的數據分析觀念，形成從數學的角度思考問題的良好習慣。5．加強數學思想方法的教學，培養學生數學思維能力和解決問題的能力。數學思想方法在數學學習中有著重要的地位和作用。本套教材加強了思想方法的編排和教學，除了在數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐這四個領域加強思想方法的編排外，還在每冊教材中單獨設計數學廣角單元，表達各種思想方法。數學思想方法不僅可以使學生提高學習數學的效率和水平，而且還能有效地提高學生的邏輯思維能力，進而奠定開展更高素質的根底。因此，培養學生掌握數學思想方法是數學教學要到達的重要目標之一。本套教材總體設想之一是：系統而有步驟地滲透數學思想方法，嘗試把重要的數學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用生動有趣的事例呈現出來。通過教學使學生受到數學思想方法的熏陶，形成探索、解決數學問題的興趣與方法，逐步開展數學思維能力。據此，在本冊教材的“數學廣角”單元，安排了“數與形”，通過教學，使學生體會數形結合思想的直觀性，激發學生對數學的學習興趣，促進學生推理能力的開展，培養學生觀察、分析、推理以及解決問題的能力，以及探索數學問題的興趣。用數學解決問題能力的培養是義務教育階段數學課程的重要目標之一，因此解決問題教學在數學教學中有著重要的作用。它既是開展學生數學思維的過程，又是培養學生應用意識、創新意識的重要途徑。與前面幾冊教材一樣，本冊教材仍然注意將解決問題的教學融合于各局部內容的教學中，通過各局部內容的教學培養學生用數學解決問題的能力。同時在“數學廣角”單元以及數學綜合運用活動中，加強了綜合運用知識解決問題的教學，使學生逐步提高數學思維能力和解決問題的能力。本冊教材設計了“確定起跑線”和“節約用水”兩個數學綜合實踐活動，讓學生通過小組合作的探究性活動，綜合運用所學的數學知識和方法〔如圓的周長知識、百分數的實際應用等有關知識〕，動手實踐解決問題，體會數學在日常生活中的應用價值，增強學生應用數學的意識，不斷提高學生的實踐能力和解決問題的能力。

6．情感、態度、價值觀的培養滲透于數學教學中，用數學的魅力和學習的收獲激發學生的學習興趣與內在動機。本套教材繼續強調對學生情感、態度和價值觀的培養，全面提高學生的素質。小學高年級學生已經具有了一定的知識和生活經驗，對自然與社會現象有了一定的探求欲望，此時需要教育者進行有目的的啟發與引導。在數學教學中，就是要通過數學學習活動，使學生形成豐富的情感、積極的態度和正確的價值觀，這同樣是學生學習、生存和開展的重要根底。本冊教材不僅內容涉及數學教學內容的各個領域，為學生探索奇妙的數學世界提供了豐富素材，而且注意結合教學內容安排了許多表達數學文化的閱讀材料、數學史實等，使學生的數學學習活動豐富多彩、充滿魅力。這些都有助于學生初步認識數學與人類生活的密切聯系，了解數學的價值，激發學生學習數學的欲望。〔1〕提供豐富的培養學習數學興趣愛好的素材。考慮到學生年齡的增長、視野的擴大等因素，實驗教材注意選擇知識內容深刻、內涵更豐富的教學素材，使學生在學習數學的同時，受到情感、態度、價值觀的熏陶。例如，在“比的應用”小節里,通過“你知道嗎”介紹的“黃金比”的知識和以“黃金比”設計的藝術品、建筑物等；數學廣角“數與形”蘊涵了重要的數形結合的思想方法；數學綜合與實踐“節約用水”中滲透環境保護意識，等等。簡潔、巧妙的解決問題策略中閃爍著數學方法的奇妙。嚴密的邏輯推理、精確的計算、形式完美的原理與規律，都潛移默化地讓學生體會到數學所特有的形式美、結構美和方法美，這些都有利于激發學生學習數學的興趣，形成穩定的探索數學的動機。〔2〕注意反映數學與人類生活的密切聯系以及數學的文化價值。與前幾冊教材一樣，本冊教材仍然注意采用閱讀材料的形式，結合教學內容編排一些有關的數學史料，豐富學生對數學開展的整體認識，培養學生探索數學、學習數學的興趣與欲望。如安排了多個“你知道嗎”“生活中的數學”。介紹了現實生活中數學知識的應用、古代數學家的故事等等。這些內容不僅可以使學生對數學本身產生濃厚的興趣，鼓勵他們擴大知識面和進一步探索研究的欲望，而且對學生具有陶冶科學情操和培養科學精神的作用。〔3〕通過自主探索的活動，讓學生獲得學習成功的體驗，增進學好數學的信心。結合學生的年齡特點和教學內容，本冊教材設計了很多需要學生自主探索的活動，例如，探究圓的周長時，讓學生采用圍一圍、滾一滾的方法先測出周長的數值，在此根底上再引導學生探究周長與直徑的關系，得到圓的周長的計算公式。同樣，圓的面積計算公式的推出，讓學生小組合作，通過動手剪切、拼貼，從而“化圓為方”，得出圓面積的計算方法。讓學生有更多的時機應用數學知識，進行自主探索的實踐，并通過這些活動獲得自己成功、能力增強等良好體驗，從而逐步增強學好數學、會用數學的信心。下面按教材的順序就每一單元的內容作一個簡要的介紹。

第一單元

分數乘法

一、教學內容1.分數乘法的意義2.分數乘法的計算3.利用分數乘法解決相關實際問題。二、教學目標1.使學生理解分數乘法的意義是整數乘法意義的擴展；理解和掌握分數乘法的計算方法，會計算分數乘整數、分數、小數；能運用乘法運算定律進行一些簡便計算。2.使學生經歷分數乘法計算方法的探索過程，經歷應用分數乘法解決簡單實際問題的過程，進一步培養分析、比擬、抽象、概括、歸納、類推的能力，開展初步的合情推理和演繹推理的能力。3.使學生感受知識之間的內在聯系，提高自主探索與合作交流學習的能力，建立學好數學的信心。三、主要變化與具體編排〔一〕主要變化1．進一步厘清分數乘法的意義。分數乘法的意義是整數乘法意義的擴展，二者在本質上完全一致，只是在表述方式上有所區別。例如，如果脫離情境，在抽象的層面上討論“5×3”，它既可以表示5個3相加，用“倍”的語言來描述就是“3的5倍”；也可以表示3個5相加，同樣可以說成“5的3倍”。類似地，如果以這樣的方式來討論“3×”，它既可以表示3個相加，即“的3倍”；也可以表示“3的”。從外表上看，“一個數的幾分之幾”是一種全新的表述，但實際上，它只是省略了“3的倍”中的“倍”字，把“一個數的幾倍”擴展到“一個數的幾分之幾”。從另一個角度看，“3的”和“個3”表示的意思完全相同，例如，一根繩子長3

m，“它的長多少米”和“根繩子長多少米”說的是一個意思。因此，不管是整數乘法還是分數乘法，其意義都可以歸結為“幾個幾”，只不過，這里的兩個“幾”都既可以是整數，也可以是分數。根據這樣的思路，教材編排了三道例題來教學分數乘法的意義和計算。例1，讓學生計算3個

m是多少,學生可以直接利用整數乘法的意義，轉化成連加進行計算。例2，是例3的鋪墊，讓學生根據整數乘法中的數量關系“單位量×數量=總量”列出“1桶水12L，桶是多少升”的算式是12×，然后結合直觀圖和分數的意義，發現12×在這兒表示的就是12L的，進而得出“一個數乘幾分之幾可以表示求這個數的幾分之幾是多少”的結論。在這一過程中，把“桶水”變成“1桶水的”，實現了從“量”到“率”的有效轉換。有了例2的根底，例3中求“公頃的”，算式列成×就“有據可依”了。這樣編排，有幾個好處。一是在單元之始就把分數乘法意義的兩種不同表述方式都呈現出來，使學生對分數乘法的意義有比擬全面、完整的認識。二是編排邏輯更加清晰，先讓學生理解分數乘法的意義，解決“如何列式”，再解決“如何計算”。三是突破了過去教材中到“問題解決”局部才去解決“求一個數的幾分之幾是多少”的限制，大大拓寬了本單元其他內容的素材選擇范圍。例如，既可以出現“蜂鳥的飛行速度是千米/分，分鐘飛行多少千米”的題材〔分數是一種具體量，帶單位〕，也可以出現“一頭鯨長28

m，一個人身高是鯨體長的。這個人身高是多少米”的練習題〔分數是一種“率”，不帶單位〕。2．增加分、小數相乘的內容。學生在未來的學習中會遇到許多分、小數相乘的情況，例如，解決“按1：5的比配制一杯1.2

L的稀釋液，需要多少升濃縮液”的問題時，需要計算形如1.2×的算式。如果學生不會直接約分，計算的繁瑣程度和出錯概率就會大大增加。因此，教材新編了例5，讓學生分別計算2.1×和2.4×，讓學生根據數據的特點靈活選擇計算方法，能直接約分的盡量直接約分。教學時，要使學生通過2.4×=24×0.1×=×0.1×=0.6×的推導過程理解“為什么能直接約分”的原理。

3．調整了用分數乘法解決實際問題的類型。如前所述，學生已經在“分數乘法的意義和計算”中解決了“求一個數的幾分之幾是多少”的根本問題。這一根本數量關系的掌握對于解決更復雜的分數乘法問題至關重要。此次修訂增加了“連續求一個數的幾分之幾是多少”的問題。這一類問題是“求一個數的幾分之幾是多少”的延續，量和所求的量之間的關系沒有直接給出，而是通過一個“中間量”搭建起二者之間的“橋梁”。在解決這一類問題時，需要學生把復雜的問題化歸為根本的“求一個數的幾分之幾是多少”，并抓住這一根本數量關系中的幾個關鍵要素：單位“1”是誰？所求的量是誰？二者之間是幾分之幾的關系？尤其要注意單位“1”與幾分之幾之間的對應關系。對于“求比一個數多〔或少〕幾分之幾的數是多少”這類問題，與實驗教材相比，修訂后的教材減輕了例題的份量，在例題中只出現不同量的情況〔嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多〕，對于同一量的情況〔嗓音降低〕，那么放在“做一做”中讓學生穩固掌握。4．把“倒數”的內容移至“分數除法”單元。倒數是聯結分數乘法和分數除法的紐帶。在進行分數除法計算時，要用到“除以一個數，等于乘上這個數的倒數”這一結論，因此，把“倒數”安排在“分數除法”單元，更能表達出學習倒數的必要性。〔二〕具體編排1.例1。直接利用整數乘法的意義來引入分數乘法，使學生理解幾個相同分數相加和幾個相同整數相加都可以用乘法計算。并通過將分數乘法轉化為分數加法來探究分數乘法的算理，掌握計算方法。從吃蛋糕的實際問題引入，借助圓形直觀圖幫助學生理解題意，探究計算方法。這一直觀圖延續了三年級學習簡單的分數加法時所用的直觀圖，有助于學生利用已學的知識自主探索。此例中的分數帶單位，是一個“量”，學生對于求幾個相同量之和的數量關系非常熟悉。先呈現加法計算，然后直接根據整數乘法的意義列出兩個乘法算式，說明在這種情況下整數乘法的意義同樣適用。計算時，先將分數乘法轉化為幾個相同分數相加，使學生明白分母不變、分子相乘的道理。在此根底上總結分數乘整數的計算方法，并指出有時可以先約分再相乘的簡便算法。2.例2。讓學生利用已學的整數乘法的數量關系進行類推，列出分數乘法算式，結合具體情境，使學生理解“一個數乘幾分之幾可以表示求這個數的幾分之幾”。這是“求一個數的幾分之幾可以用這個數乘幾分之幾”的列式依據。教材呈現了三幅圖，都是1桶水的體積，分別要求3桶水、桶水、桶水的體積。在這里，列式所依據的數量關系都是“每桶水的體積×桶數=水的體積”，只是桶數可以由整數擴展到分數。接下來，結合情境，說明求桶水、桶水的體積就是求12L的和12L的分別是多少。在此根底上，概括出“一個數乘幾分之幾，可以表示這個數的幾分之幾是多少”。3.例3。本例是在學生會利用“求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算”列式之后，學習分數乘分數的計算方法。教材利用兩個小題，由簡單到復雜，結合直觀操作，使學生在探索和理解分數乘分數算理的根底上，一步一步總結出分數乘分數的計算方法，滲透數形結合的數學思想，培養學生的邏輯推理能力。要理解分數乘分數的算理，其根本在于分數意義的理解。在這里，有些分數是帶單位的“量”，有些分數是不帶單位的“率”，事實上，“量”與“率”也是可以互相轉化的。例如，公頃，實際上就是1公頃的；公頃的，就是1公頃的，即公頃。4.例4。本例是學習分數乘法的簡便方法。學生在前面對于分數乘法的意義和算理有了深刻的理解后，教學重點轉入尋求便捷的算法。在設計情境時，教材特意把兩個小題設計成需要運用分數乘法意義的兩種不同形式進行列式的情形，旨在進一步穩固分數乘法的意義。其中，第〔1〕小題是“求一個數的幾分之幾”，第〔2〕小題既可以根據“速度×時間=路程”列式，也可以根據“幾個相同分數相加”列式。在數據處理上，本例中既包含分數與分數相乘，又包含分數與整數相乘。學生可以通過此例，進一步掌握分數乘法的一般性算法。5.例5。本例是教學分數與小數相乘的計算問題。分、小數混合運算是在日常生活中以及未來的數學與其他學科的學習中經常會遇到的情形，因此，根據分、小數的數據特點靈活選擇計算策略，也是學生應該具備的一項技能。為此，教材在修訂時增加了這局部內容。分數和小數相乘，可把分數化成小數相乘〔如果分數可以化成有限小數〕，也可把小數化成分數相乘。不管哪種方法，都是學生已學的知識，可以讓學生自行解決。而當小數與分數的分母存在某種倍數關系時，可以直接“約分”。這種約分雖然與以前學過的約分形式不同，但實質都是除以一個相同的數。6.例6。從“做一個長方形畫框需要多長的木條”的實際問題引入，利用長方形畫框的周長計算引出分數混合運算。鼓勵學生用不同的方法〔除了教材上的兩種方法，還有可能用四條邊相加的〕計算，很自然地呈現各種形式的算式，有兩級運算的，有帶小括號的。教材直接說明分數混合運算的順序和整數混合運算順序相同，讓學生自主解決。教材特意用兩道有關聯的算式教學分數混合運算的順序，為接下來正式教學把整數乘法運算定律推廣到分數乘法作了很好的鋪墊。在此根底上，再通過觀察、計算，歸納得出“整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法也適用”的結論。7.例7。教材結合具體計算，說明應用乘法運算定律可以使分數混合運算更加簡便。8.例8。本例是讓學生在會解決求一個數的幾分之幾是多少的根底上，解決連續求一個數的幾分之幾是多少的實際問題。在這里，由于研究的是三個量之間的關系，在描述其中某兩個量的數量關系時，單位“1”是在動態變化的。教材按“閱讀與理解”“分析與解答”和“回憶與反思”呈現解決問題的一般步驟。到了高年級，隨著問題復雜度提高，對于信息的搜集、題意的理解以及整個問題解答過程以及結果合理性的回憶與討論，顯得越來越重要。在“分析與解答”環節，一方面，通過折紙或畫圖等操作活動，借助直觀圖形幫助學生理解題中的數量關系，體會畫圖是分析問題、解決問題的重要策略。另一方面，倡導解決問題方法的多樣化。既可以先求出蘿卜地的面積，再求出紅蘿卜地的面積；也可以先求出紅蘿卜地占大棚面積的幾分之幾，再求出紅蘿卜地的面積。不同解題思路的呈現，可以提高學生思維的靈活性和發散性。“回憶與反思”讓學生自己完成。檢驗的角度很多，比方，看看直觀圖畫得是否符合題意，看看列式是否符合圖意，看看計算是否正確。檢驗的方法也是多樣化的。例如，可以看到蘿卜地的面積是紅蘿卜地的4倍，而大棚面積是蘿卜地的2倍。用紅蘿卜地的60m2乘4，得到蘿卜地是240m2，再乘2，是9.例9。本例是讓學生解決求比一個數多〔或少〕幾分之幾的數是多少的問題。雖然還是研究兩個量間的關系，但由于沒有直接給出“一個量是另一個量的幾分之幾”，需要先求出一個量比另一個量多〔或少〕的具體數量或者先求出一個量是另一個量的幾分之幾。教材通過線段圖直觀地表示出“嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多”的意思，對于學生理解題意、選擇解決方法起到了關鍵性的作用。教材表達了多樣化的解題策略。可以先計算嬰兒每分鐘心跳比青少年多多少次，這就需要先解決“75次的是多少次”的問題。還可以先求出嬰兒每分鐘心跳次數是青少年的幾分之幾，這就需要先解決“比一個數多的數是這個數的幾分之幾”的問題。

“回憶與反思”局部，使學生通過回憶解題的過程，充分認識到畫線段圖這一策略對于解決問題的重要作用。同時，列舉了一種檢驗結果的方法，引導學生用不同的方法加以檢驗。

四、教學建議1.在已有知識的根底上，幫助學生自主構建新知識。2.通過操作和直觀圖示幫助學生理解分數乘法的算理，掌握計算方法。3.緊密聯系分數乘法的意義，引導學生在理解數量關系的根底上正確列式，解決實際問題。

第二單元

位置與方向〔二〕

一、教學內容用方向和距離描述平面上兩個點的相對位置關系并在此根底上描述簡單的路線圖。二、教學目標1．使學生會根據平面上一個點的位置說出它相對于觀測點的方向和距離；會根據一個點相對于觀測點的方向和距離確定這個點的具體位置；會描述簡單的路線圖。2．通過讓學生想象出物體的方位和相互之間的位置關系，培養空間觀念。3.

使學生通過用方向和距離來表示平面上的位置，初步感受坐標法的思想。4．使學生通過生活實例學習位置與方向的知識，感受數學與生活的緊密聯系，學會在生活中應用數學。三、主要變化與具體編排〔一〕主要變化“用數對確定位置”和“用方向和距離確定位置”是直角坐標和極坐標思想在小學的初步滲透。在上一輪教材的實驗過程中，教師普遍反映“用方向和距離確定位置”的教學難度要大于“用數對確定位置”。因此，此次修訂，根據各方意見，把實驗教材六年級上冊的“用數對確定位置”移至五年級上冊，把實驗教材四年級下冊的“用方向和距離確定位置”移至本冊。〔二〕具體編排在具體編排上，也更加注重表達層次性。教材選擇臺風移動這一學生相對熟悉的現實素材作為一個大背景，用“情境串”的形式引出3個例題。1.例1。教材以電視播報臺風警報作為情境引入，具有很強的生活氣息，使學生充分感受生活和數學的緊密聯系。教材直接給出標出臺風中心和A市的方位圖，讓學生利用圖示理解臺風中心“位于A市東偏南30°方向、距離A市600km”所表示的含義。確定一個位置，需要方向和距離兩個條件，教材先通過小精靈提問的方式，讓學生思考東偏南30°表示什么意思，這也是本例的重點。使學生看到東偏南30°表示的是一條射線上的所有點，如果只有這一條件，還無法判斷臺風中心確實切位置，由此引出距離。“東偏南30°”與“南偏東60°”含義完全相同，只是生活中更習慣于選擇小于45°的角度來描述。圖示中用一條線段表示100km，由于學生還沒學習比例尺，只要能說出這樣的6條線段表示600km就可以了，不必涉及比例尺。最后小精靈問“臺風大約多少小時后到達A市”，主要目的是為了在解決實際問題的過程中，與例2進行很自然的情境連接。2.例2。本例在學生通過例1了解了方向與距離的含義之后，讓學生根據給出的某個點相對于參照點的方向和距離，在方位圖上找到該點的位置。延續了例1的情境，情節連貫，隨著現實情境的開展，自然地引出數學問題。教材給出了兩類定位的情形，一類是非正東、正南、正北、正西的，一方面需要確定角度，另一方面需要確定距離；另一類的正東、正南、正北、正西的，只需要確定距離即可。教材采取小組合作的方式，提示學生應該如何根據方向和距離確定位置。先確定方向再確定距離和先確定距離再確定方向這兩種方法都可以用，但學生通過嘗試，一般會主動選擇先確定方向，然后在該方向所在射線上根據相應的距離找到該位置。3.例3。教材呈現了臺風從生成地出發、經過四次方向改變的大致路徑，讓學生用數學的語言來描述簡單的路線圖。路線圖中包括了例1和例2中臺風的移動路線，表達了情境的整體性和知識的綜合性。路線圖描述的不僅僅是兩個點的靜態關系，而是物體在多個點之間的運動關系。除了整條路線的起點和終點之外，其他點都既是某一段路線的終點，也是下一段路線的起點。教材通過學生對話的方式，給出了分段描述的示范，使學生明白方向與距離的描述是具有相對性的，并掌握在描述每一段路線時要注意的幾個關鍵點：起點在哪兒？終點在哪兒？沿著什么方向？移動了多少距離？四、教學建議

1.注意聯系學生的生活經驗和已有知識，引導學生自主探索新知，開展空間觀念。2.以問題為載體，鼓勵學生通過自主探究、合作交流，克服教學重難點，初步建立坐標觀念。

第三單元

分數除法

一、教學內容1.倒數的認識2.分數除法的計算3.問題解決二、教學目標1．使學生理解倒數的意義，掌握求一個數的倒數的方法。2．使學生體會分數除法的意義，理解并掌握分數除法的計算方法，會進行分數除法計算。3．使學生會解決一些和分數除法相關的實際問題。4．使學生體會數學與生活的密切聯系，體會并掌握模型、方程、數形結合等數學思想。三、主要變化與具體編排〔一〕主要變化除了把“倒數”從“分數乘法”單元移過來和把“比”的內容另設單元以外，本單元還有兩個較大的變化。1.刪去“分數除法意義”的相關例題。考慮到學生對整數乘、除法之間的關系已經非常熟悉，修訂后的教材不再單獨設置有關“分數除法意義”的例題，只在相關練習中進一步穩固分數乘、除法之間的關系。2.增加兩類“問題解決”。第一類是和倍、差倍問題〔兩個量之間的“倍數關系”是以“幾分之幾”的形式出現的〕。在這類問題中，有兩個未知量，這兩個未知量之間的數量關系也有兩個。例如，第41頁例6中，兩個未知量分別是“上半場得分”和“下半場得分”，兩個數量關系分別是“上半場和下半場共得42分”和“下半場得分是上半場的一半”。解決時，可以設其中一個未知量為x，利用其中的一個數量關系，用代數式表示出另一個未知量，再利用另一個數量關系列出方程。設的未知數不同，列代數式和列方程所依據的數量關系不同，列出的方程也完全不同。例如，本例就可以列出如下一些方程。設其中一個未知量為x如果設上半場：x分如果設下半場：x分用代數式表示出另一個量下半場：(42-x)分〔依據“全場得42分”〕下半場：x分〔依據“下半場得分是上半場的一半”〕上半場：(42-x)分〔依據“全場得42分”〕上半場：2x分〔依據“下半場得分是上半場的一半”，即“上半場得分是下半場的2倍”〕列出方程42-x=x或x=2(42-x)(依據“下半場得分是上半場的一半”或“上半場得分是下半場的2倍”)x+x=42〔依據“全場得42分”〕x=(42-x)或42-x=2x(依據“下半場得分是上半場的一半”或“上半場得分是下半場的2倍”)2x+x=42〔依據“全場得42分”〕雖然這些方程之間可以通過變形互相轉化，但其背后的思考角度是各不相同的。教學時，要注意引導學生說一說解決問題的完整過程，并通過不同解法的交流，養成多角度地思考問題的習慣。第二類是可用抽象的“1”來解決的實際問題。教材利用修路這一“工程問題”來引入，使學生經歷發現和提出問題、分析和解答問題的過程。例如，學生會認為題中缺少解題的信息，此時，教師追問：缺少什么信息呢？學生會答復：不知道公路長多少千米。這樣就很自然地引導學生假設公路總長為某個具體的長度，把新問題轉化為舊問題，加以解決。通過學生之間的交流，發現雖然假設的公路具體長度不同，得到的結果卻是相同的，使學生產生探究原因的欲望。通過分析，發現不管公路總長是多少，兩隊每天修的長度分別占總長度的和是不變的，這也是能得到相同結果的內在原因。此根底上，進一步抽象，可用“1”來表示公路總長。教學此例時，要注意以下幾點。第一，這里不是要系統地教學各類“工程問題”，教學時不要對“工程問題”多變式、深挖掘、廣訓練。第二，不必要求學生死記硬背“工作總量÷工作效率=工作時間”等數量關系，只要會用具體的語言描述出來就可以，如“公路的總長÷每天修的長度=需要修的天數”。第三，最重要的不是讓學生記住結論，尤其不要把列出“1÷〔+〕”這一最簡形式的算式作為教學的終極目標，形成“解題套路”，而是要讓學生經歷問題解決的全過程，掌握問題解決的技能和策略。例如，假設的方法是解決此類問題的重要策略，也是數學學習中常用的有效方法。如果學生認為把公路總長假設成一個具體的量來解決更易于理解，要允許學生繼續采用這種一般性的解題思路。把公路總長假設成“1”〔而不是1

km〕，需要學生具有更抽象的數學思維。第四，要結合問題解決，使學生體會和運用根本的數學思想和方法，積累根本的活動經驗。在此例的教學中，要注意表達變中有不變的思想、抽象的思想、模型的思想。為了讓學生進一步體會模型化的思想，教材特意在練習中編排了運輸問題、行程問題、泄洪問題、種樹問題，使學生發現：雖然這些問題的現實背景各不相同，但其背后的數量關系是相同的。數學教學的一個重要任務就是讓學生學會透過紛繁蕪雜的現實情境的表象，找出表達數量之間本質關系的數學模型。〔二〕具體編排1．倒數的認識〔1〕例1。教材編排了幾組乘積為1的乘法算式，使學生通過計算、觀察、討論等活動，歸納出它們的共同規律，引出倒數的定義，并用實例突出“互為倒數”的含義。然后引導學生思考互為倒數的兩個數有什么特點；如果兩個數都是分數，那么這兩個數的分子、分母交換位置；如果一個是整數，那么另一個分數的分子是1，分母就是該整數，為例1的學習打下根底。例1教學求倒數的方法。教材先安排找倒數的活動，初步體驗找倒數的方法：調換分子、分母的位置。在總結求倒數的方法時，要分三種情況：求分數的倒數；求整數的倒數；1和0的倒數的問題。對于1和0的倒數問題，因為1×1=1，所以1的倒數是1；因為0與任何數相乘都不可能是1，所以0沒有倒數。2.

分數除法〔1〕例1。例1以折紙活動為載體，利用數形結合的方法幫助學生理解分數除以整數的算理。教材分兩個層次編排：先解決分數的分子能被整數整除的特殊情況；再引出分子不能被整數整除的情況。第一個問題是分子能被整數整除的情況，有兩種思考方法，方法一是利用整數除法的意義，將分數除法轉化為整數除法理解并計算；方法二是利用分數的意義，將問題轉化為求的來理解和計算。在此根底上提出第二個問題，凸顯方法一的局限性和方法二的一般適用性。教材表達了讓學生經歷由特殊到一般的探索過程，進而理解把一個數平均分成幾份，求其中的1份，就是求這個數的幾分之一是多少，滲透轉化的數學思想。〔2〕例2。例2研究一個數除以分數的計算，包括整數除以分數和分數除以分數兩種情況。在解決“誰走得快些”這一實際問題的過程中，自然地列出兩個算式，列式的依據是“路程÷時間＝速度”的數量關系，和以前所不同的是路程、時間由整數換成了分數。由于學生對這一數量關系比擬熟悉，所以列出分數除法算式不會感到困難，有利于把教學重點集中于計算方法的探索與理解。理解“2÷”的算理是本例的重點。教材采用畫線段圖的直觀方式呈現推算的思路：由于1小時里有3個小時，所以可以先求出小時走了多少千米，即先求出小時走的2km的一半〔即〕。由于有了直觀圖的支持，降低了學生對2××3中每一局部含義的理解難度，順利完成從“除以一個分數”到“乘上這個分數的倒數”的轉化。通過求小紅平均每小時走多少路程引出分數除以分數的算式。由于有了整數除以分數的算理的鋪墊，教材在這兒沒有呈現線段圖，而是通過提問“為什么寫成×”，引導學生通過遷移類推，自行闡述算理。以提問的方式，引導學生總結分數除法的一般算法，使學生看到，不管被除數是整數還是分數，不管除數是整數還是分數，只要除數不為0，都可以轉化成乘上除數的倒數來計算。并啟發學生用自己的方式表示這一算法。〔3〕例3。本例以學生熟悉的生活情境為素材引出分數混合運算。分數混合運算的順序問題已在“分數乘數”單元解決了，學生在此學習分數混合運算，既是分數四那么運算的綜合應用，也為后面學習利用分數四那么運算解決實際問題打下根底。教材提供了兩種不同的解決方法，表達了不同的分析思路。先分步列式，再列綜合算式解答。對于不帶括號的分數乘除法混合運算，既可以從左至右按步驟計算，也可以直接轉化為分數連乘后同時約分計算。〔4〕例4。本例是讓學生解決簡單的“一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的實際問題。這類問題是分數乘法中“求一個數的幾分之幾是多少”的逆向問題。教材通過問題解決的三大步驟讓學生經歷問題解決的全過程。其中，“閱讀與理解”讓學生自行分析題意，弄清楚條件和問題，選取有效信息。在這里，成人體內水分與體重的關系是一個多余條件，需要學生加以區分。這類問題如果用算術方法解，較難理解，學生往往難以判斷誰是單位“1”，數量關系也較復雜。因此，教材根據分數乘法的意義，利用已有知識畫線段圖，找到數量關系，列出方程，并解出方程。這樣思考問題的思路與相應的分數乘法問題完全一致，只是參與列式的是未知數而已。“回憶與反思”局部中檢驗結果的合理性是相應乘法數量關系的二次應用。同時，對有效信息的選取的反思，以及對列方程方法價值的體會，也是反思的重點。〔5〕例5。本例是“求比一個數多〔或少〕幾分之幾的數是多少”的逆向問題，是以例4為根底，把條件稍作改變，形成稍復雜的問題。用算術方法解決這樣的實際問題，不僅需要逆向思考，還要把“比一個數多〔少〕幾分之幾”，轉化為“是一個數的幾分之幾”，比擬抽象，思維難度大。用方程方法解決，可以列出形如的方程，也可以列出形如的方程，前者仍然要經歷從“多〔少〕幾分之幾”到“是幾分之幾”的轉化，后者只要根據一個數加〔減〕增加局部等于增加〔減少〕后的數，就能列出方程。這樣的等量關系，學生容易理解。因此，教材選擇符合學生順向思維的思路，給出多樣化的解題方法。為了幫助學生思考，教材提示“先畫線段圖看看”，并給出了完整的圖示，為學生分析、理解等量關系提供直觀支柱。然后得出不同的等量關系，并據此列方程解答。回憶與反思的目的在于反思問題解決的過程是否合理，檢驗解答是否正確，方法可以多樣化。〔6〕例6。本例中包括兩個未知量，題中給出了這兩個未知量之間的兩種關系，要求學生根據這樣的關系列方程解答。由于這兩種關系中，一種是兩個量之間的倍數關系，另一種是兩個量之間的和或差的關系，因此，這樣的問題過去被稱為“和倍問題”“差倍問題”。教材以籃球比賽上、下場得分為素材，引出含有兩個未知數的實際問題。這樣的問題如果用算術方法解決，需要逆向思考，比擬抽象，思維難度大，容易出錯，列方程來解決更符合順向思維。教材給出了兩種解法，區別在于先設哪個量為未知數，然后利用兩個量的數量關系，用代數式表示出另一個量。除了教材上的例如以外，還有其他的列方程方法。〔7〕例7。本例是一類特殊的實際問題，使學生通過嘗試、分析，找到本質的數量關系，進而解決問題。本例采用的素材是“工程問題”，但并不是要求學生解決形形色色的“工程問題”，而是要借此讓學生經歷利用自主探究解決問題的過程，掌握用假設、驗證等方法解決問題的根本策略，讓學生體會模型思想。例題的呈現順應學生的思維過程。“閱讀與理解”局部在引導學生從題目中獲取條件和問題的同時，在學生利用已有經驗解題時很自然地產生疑問：道路的總長未知，怎么辦？接下來就在“分析與解答”局部，提出思考的方向：如果道路總長是的，這個問題就轉化成以前學過的舊問題了。那是否可以假設一個長度呢？這就是一個猜測、嘗試的過程，學生在這一過程中經歷了發現問題、提出問題。通過假設，可以把抽象問題具體化，使復雜的數量關系明顯化或簡單化。不同的學生假設的長度不同，又表達了解決問題方法的開放性和多樣化。四、教學建議1．加強直觀教學，結合實際操作和直觀圖形，幫助學生理解算理，掌握方法。2.加強分數乘、除法的溝通與聯系，促進知識正遷移，提高解決實際問題的能力。

第四單元

比

一、教學內容1.

比的意義2.

比的根本性質3.

比的應用二、教學目標1．使學生理解比的意義，知道比與分數、除法的關系。

2．使學生理解并掌握比的根本性質，會求比值、化簡比，能解答按比分配的實際問題。

3．使學生在理解比的意義、探索比與分數和除法之間的關系以及比的根本性質的過程中，體會類比法、推理思想，積累數學活動經驗，體會數學知識之間的內在聯系，把握數學知識的本質。4．使學生經歷用比描述生活現象和解決實際問題的過程，感受數學知識在日常生活中的應用價值。三、主要變化與具體編排〔一〕主要變化

這一單元的內容與編排與實驗教材根本一致。把這局部內容分拆出來另成單元，主要是為了突出“比和比例”的獨立性、重要性。比不僅與分數除法有聯系，與分數、除法等知識的聯系更加緊密和重要。比的知識是學習比例相關知識的必要根底，把比單獨設單元，能使學生從量與量之間的關系這一角度去認識比，而不僅僅從運算的角度去理解比，有利于學生代數思想的培養。〔二〕具體編排1.比的意義、各局部名稱。教材精心選取了“神舟”五號這一現實素材作為載體，既富有教育意義，又能比擬自然地引出比的兩種情形。例1的素材也是從中選取的，凸顯情境的連續性和整體性。教材先給出兩面長方形小旗的數據，引導學生討論長與寬的關系。除了可以用減法表示出它們之間的相差關系，還可以用除法表示它們的倍數關系。在此根底上直接指出：可以用比來表示它們之間的關系，由此引出同類量的比。如果僅從形式上看，比是除法關系的另一種表示方式，這為學生認識比和除法、分數之間的關系奠定了根底。接下來，教材介紹飛船的運行路程與時間，用除法表示出飛船進入軌道后的速度。在此根底上，直接指出還可以用比來表示路程和時間的關系，引出非同類量的比。使學生進一步認識比的意義以及比和除法的關系。教材在教學了可以用比來表示兩個同類量或不同類量相除的關系的根底上，直接抽象出比的意義：兩個數的比表示兩個數相除。這一意義是后面求比值、推導比的根本性質的直接保證。接下來，給出比的寫法、各局部名稱以及比值的概念，并根據分數和除法的關系，給出比的分數形式的寫法。并根據小精靈的問題，進一步溝通比和除法、分數的聯系。2.比的根本性質。教材在前面“做一做”第3題對商不變性質和分數的根本性質進行了回憶，在此根底上，啟發學生根據比和除法、分數的關系思考：“在比中有什么樣的規律？”首先通過比擬比值，直接看出6：8和12：16這兩個比相等，同時也能看出這兩個比和3：4也是相等的。接下來，讓學生探究兩個比相等的內在原因。教材給出了根據比和除法的關系類推的過程，再讓學生根據比和分數的關系自主探究。在此根底上，概括出比的根本性質。3.例1。本例教學運用比的根本性質化簡比。第〔1〕題仍采用“神舟”五號的題材，給出兩面旗的長和寬，要求這兩面旗長和寬的最簡整數比。其中15∶10的化簡給出了完整的過程并啟發學生思考為什么這樣化簡；180∶120的化簡那么讓學生自己完成。化簡的過程便于學生感悟化簡的必要性，即能使量與量之間的關系更加簡明、清晰。兩個最簡整數比相等，也滲透了圖形按比例縮放的相似變換思想。第〔2〕題的兩個比中的前、后項分別出現了分數和小數。教材同樣提出了啟發學生思考比的化簡方法的問題，把前、后項不是整數的情況首先轉化為前、后項都是整數的情況，再利用第〔1〕題的方法自行完成。4.例2。本例讓學生解決按比分配的實際問題，這一類問題與“和倍問題”實質相同。教材創設了一個日常生活中比擬常見的配制清潔劑稀釋液的問題情境，便于學生理解。教材按問題解決的三個步驟編排，旨在使學生經歷問題解決的完整過程，尤其是養成審題和反思的習慣。在問題情境圖中和解答過程中都采用直觀圖幫助學生清楚地看到量與量之間的關系，理解稀釋瓶上標明的比表示的含義。教材介紹了兩種解法。一種是把比看成份數之比，先求出每份是多少，再求幾份是多少。即把此問題轉化為整數的“歸一問題”來解決。另一種是根據直觀圖和比的意義，算出濃縮液和水分別占總體的幾分之幾，把問題轉化為求一個數的幾分之幾是多少，用分數乘法來解決。“回憶與反思”階段，重新借助比的意義，看濃縮液與水的體積之比化簡后是否與題目中所給信息相符。四、教學建議1．聯系生活實際，使學生在情境中學習比的意義。2．加強比與除法、分數的聯系，促進知識的融會貫穿。

第五單元

圓

一、教學內容1．圓的認識2．圓的周長3．圓的面積4．扇形的認識二、教學目標1．使學生認識圓，學會用圓規畫圓，掌握圓的根本特征。2．使學生會利用直尺和圓規，在教師指導下設計一些與圓有關的圖案。3．使學生通過實踐操作，理解圓周率的意義，理解和掌握圓的周長計算公式，并解決一些相應的實際問題。4．引導學生探索并掌握圓的面積計算公式，并解決一些簡單的實際問題。5．使學生認識扇形，掌握扇形的一些根本特征。6．使學生經歷嘗試、探究、分析、反思等過程，培養數學活動經驗，在解決一些與圓有關的數學問題的過程中，提高問題解決的能力。7．使學生在推導圓的周長與面積的計算公式過程中體會和掌握轉化、極限等數學思想。8．通過生活實例、數學史料，感受數學之美，了解數學文化，提高學習興趣。

三、主要變化與具體編排〔一〕主要變化1．改變圓的各局部名稱的引入方式。實驗教材在引入圓時，先讓學生利用圓形杯蓋、圓柱體物體、三角板上的圓孔描出圓，再把圓剪下來，通過屢次對折等方式引出圓心、半徑、直徑等概念；在認識了圓的半徑和直徑的特點之后，再專門教學用圓規畫圓的方法。考慮到學生在生活中已經具備初步的用圓規畫圓的知識，本次修訂時，對于“你能想方法在紙上畫一個圓嗎”這一問題，教材同時給出了用杯蓋、三角尺上的圓孔、圓規畫圓的方法，符合真實的學情。接下來，利用圓規畫圓的方法引出圓心、半徑、直徑等概念，水到渠成，這樣的引入方式也能更好地表達圓“一中同長”的本質特征。接下來，通過讓學生用圓規畫幾個大小不同的圓，探討直徑、半徑的特點，在這一過程中，使學生進一步熟練掌握用圓規畫圓的方法。2．增加圓心決定圓的位置、半徑決定圓的大小的內容。“圓，一中同長也”，這是《墨子》中對圓的定義。只要確定了“中”和“長”，圓的位置與大小就確定下來了。解析幾何中圓的解析式〔x-a〕2+(y-b)2=r2中也很好地表達了這一點。圓心決定圓的位置、半徑決定圓的大小這一事實，過去雖然沒在教材中明確指出，但實際上學生已經在自覺應用了。例如，用圓規畫圓時，不可防止地會遇到“針尖定在哪兒”“畫多大的圓”等問題，如果要畫半徑是3

cm的圓，針尖到紙邊緣的距離必須大于3

cm，才能在紙上畫出一個完整的圓來。在本冊教材中，接下來還要安排利用圓設計圖案的內容，在設計圖案的過程，學生會時時處處遇到“要畫一個多大的圓”“這個圓的圓心應該在哪兒”等問題。因此，教材增加這一局部內容，能幫助學生在應用知識的過程中更好地認識圓的數學特征。3．正文中降低圓的對稱性的篇幅，新增利用圓設計圖案的內容。由于在“軸對稱圖形”的相關內容中，已經對圓的對稱性有過比擬充分的探討，所以，本單元不再單獨編排圓的對稱性的例題，只在相關練習中加以穩固。在修訂過程中，新增了利用圓設計圖案的內容。先讓學生模仿教材上提供的步驟，畫出美麗的圖案，再放手讓學生試著畫出教材上提供的圖案。在這一過程中，需要用到用圓規畫圓的方法，需要觀察這些圖案是由哪些圖形組成的，是如何組成的。需要學生對圓心位置確實定、半徑大小確實定、圓的對稱性等知識加以綜合應用，一方面，幫助學生進一步了解圓的特征，另一方面，使學生充分體會數學的對稱美、和諧美。例如，下面左圖中大圓內部的每個“水滴”是由三個半圓圍成的，其中兩個半圓的直徑是大圓半徑的一半，還有一個半圓的直徑是大圓的半徑，除此之外，還要關注這些半圓的圓心位置在哪里。右圖中，大圓的內部有八個小圓，這些圓的直徑都是大圓的半徑，依次排列在大圓的八等分線上，互相重疊，形成了美麗的圖案。

教學時，還可以讓學生自由創作出更多的作品。此外，還可以借助這些圖案，復習軸對稱、平移、旋轉等圖形變換的知識。由于這一內容的操作性、綜合性、探究性都很強，也可以把它設計成一個“綜合與實踐”活動。4．增加求圓與外切正方形、內接正方形之間面積的內容。在“圓的面積”局部，增加了解決實際問題的內容，即求圓與外切正方形、內接正方形之間的面積。要求學生利用圖形之間的關系，靈活計算這兩局部的面積，并在“討論”環節進一步得出更為一般化的結論。要計算正方形的面積，首先要求出正方形的邊長，這是比擬常規的思路。例如，求圓的外切正方形的面積時，觀察到正方形的邊長和圓的直徑相等，所以很容易求出來。但在求圓的內接正方形的邊長時卻遇到了困難，圓的直徑和正方形的對角線相等，但沒有方法直接求出正方形的邊長。此時，教材引導學生改變觀察角度，把正方形分割成兩個三角形，這兩個三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，很容易求出其面積。在解決幾何問題時，經常會有這種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的情形。有時，換一個角度看問題，會發現一個全新的世界。經歷這樣的問題解決過程，有助于提高學生多角度分析問題的意識和能力。解決了圓半徑是1m的特殊問題后，教材在“回憶與反思”環節，進一步討論半徑為r的情況，使學生發現，圓的外切正方形面積是4r2，外切正方形與圓之間的面積是0.86r2,內接正方形的面積是2r2，圓與內接正方形之間的面積是1.14r2。這些結果中隱藏著很多有意思的數學事實，如：外切正方形的面積始終是內接正方形面積的2倍，外切正方形與內接正方形之間的面積正好是2r2,即和內接正方形面積相等，等等。

5．“扇形”由選學變為正式教學內容。扇形的內容是學習扇形統計圖的必要根底，根據《標準〔2011年版〕》對相關內容的調整，此次修訂把這局部內容由選學變為正式教學內容。〔二〕具體編排1.

圓的認識〔1〕圓的各局部名稱、圓的性質。教材首先呈現了自然界和社會生活中形形色色的“圓”，其中包括許多同心圓。豐富的圓形圖案，使學生感受到圓很美，同時，感受到數學就在身邊，激發起良好的學習情緒。接下來，請學生想方法在紙上畫一個圓，學生可以調動以前的經驗，用茶杯蓋、三角尺上的圓洞等圓形物體進行描摹，也可以用圓規畫圓。用實物畫圓也是很有意義的動手實踐時機，但畫出的圓的大小是固定的，不能隨意變化。而用圓規畫圓卻可以在兩腳叉開的范圍內畫出任意大小的圓來。在畫圓環節出現用圓規畫圓，也是尊重學情的一種表達。學生在課外應該都嘗試過用圓規畫圓，但是如何畫得標準，畫得輕松，還需教師進一步指導。利用圓規畫圓，引出圓的各局部名稱。一方面，與前面的活動自然銜接；另一方面，畫圓的過程非常切合“圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合”這一幾何學的定義。通過這一過程引出圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。對圓特征的認識，分四個層次編排：首先，讓學生將畫好的圓折一折、畫一畫、量一量，發現沿著任意一條直徑對折，兩邊可以重合，說明了圓是軸對稱圖形。第二，通過對折痕的觀察和想象，讓學生理解半徑和直徑都有無數條。第三，通過測量與比擬，讓學生認識到同一圓內所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等，并且直徑的長度是半徑的2倍。第四，結合畫圓的經驗，理解圓心可決定圓的位置，半徑可決定圓的大小。〔2〕利用圓設計圖案。尺規作圖是一項有著悠久歷史、充滿魅力的數學技能。教材在認識圓之后，安排了這樣一個實踐性內容，既可以讓學生進一步熟練用圓規畫圓的技能，促進學生對圓的特征的進一步認識，又能讓學生在用尺規畫出漂亮圖案的過程中提高動手操作的能力，學會欣賞數學的美，培養熱愛數學學習的情感。教材先以分解的步驟，展示了如何利用圓的特征，一步一步畫出四個花瓣式的漂亮圖案。這中間，涉及到充分利用圓的對稱性，需要學生學會確定某個圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置與大小的最直接應用。此外，還需要學生添加一些輔助線。因此，這樣的活動表達了很強的綜合性。之后，教材呈現了兩個更復雜的圖案，讓學生嘗試畫一畫，這需要學生綜合運用觀察、思考、動手等多方面的技能。教材給出了一些輔助線加以提示，需要學生對已經成形的圖案進行“分解”，知道每一局部是怎么來的。用直尺畫出根本的圖形后，再進行涂色，涂不同的顏色，也會形成不同的作品。2.

圓的周長〔1〕圓的周長計算公式的推導。圓的周長計算在實際生活中有廣泛的應用，因此，教材從“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長度”這一學生熟悉的實際情境引入，幫助學生理解圓的周長的概念。學生已經具備了測量一般圖形〔物體〕周長的技能，因此，面對“分別需要多長的鐵皮”的問題，他們完全能想到解決的方法：拿卷尺直接繞一圈量，或者把圓形物體在直尺上滾一圈再量出長度，或者拿線在圓形物體上繞一圈，量出線的長度。學生在解決實際問題的過程中感受了方法多樣性和“化曲為直”的轉化思想。更重要的是，圓周長概念的內涵，就在這樣的過程中得以清晰化、直觀化。方法需要優化，思維需要提升。教材在此根底上提出“除了上面的方法，還可以怎樣求圓的周長呢？”要求學生跳出繞、滾、圍等策略的測量方法，找到一種更為一般化的方法。通過“圓的周長和圓的大小有關系，圓的大小取決于……”，啟發學生將問題解決的方向放在從圓本身的特征去想方法突破。第63頁上方的表格，是引導學生通過測量幾組圓的直徑和周長，自主發現周長和直徑的比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結出圓的周長計算公式。在這個內容中，教學的重點是讓學生利用實驗的手段，通過測量、計算、猜測圓的周長和直徑的關系、驗證猜測等過程，理解并掌握圓的周長計算方法。教材通過直接介紹的方式說明周長與直徑的比值是一個固定的數，叫做圓周率，用字母“π”來表示。為了方便學生計算，教材規定“π”這個無限不循環小數常常只取它的近似數，即兩位小數3.14。根據圓的周長和直徑的倍數關系，可以得出求圓的周長的計算公式：C＝πd或C＝2πr。〔2〕例1。本例是一個與圓的周長計算有關的實際問題。通過學生經常看到或使用的自行車引出問題，能讓學生體會到數學知識的廣泛應用。自行車的后輪半徑是33cm，它滾一圈能走多遠，那就是求它的周長。這樣的問題，是“化曲為直”思想的應用——用曲的車輪周長計量自行車前進的距離。第二個問題帶有更強的現實性，“小明從家到學校1km，輪子大約轉了多少圈？”學生必須通過計算，才能解決這個問題。得出的相關結果，也能加強學生的生活經驗。3．圓的面積〔1〕圓的面積計算公式的推導。教材首先通過計算圓形草坪占地面積的實際情境提出圓面積的概念，一方面使學生在以前所學知識的根底上理解“圓的面積就是它所占平面的大小”，另一方面使學生體會在實際生活中計算圓面積的必要性。學生以前所學的圖形都是多邊形〔如三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形等〕，像圓這樣的曲線圖形的面積計算，學生還是第一次接觸到。把圓分割成假設干等份后拼成近似的長方形的方法，學生很難自主發現，因此，教材直接給出明確的提示，讓學生把圓分成假設干等份，拼一拼。接下來的過程，那么主要交給學生自主探索。教材讓學生通過觀察，看到拼出的是近似的長方形〔或平行四邊形〕，隨著分的份數越來越多，拼出的圖形越來越接近于長方形，體會“無限逼近”的極限思想。這個近似的長方形的的長和寬與圓的周長、半徑有著緊密的聯系。引導學生通過觀察、比照，利用圓與長方形之間的關系，自行推導出圓的面積計算公式。〔2〕例1。本例是在學生推導出了圓面積計算公式以后，用此公式解決本節開頭的實際問題。求的是鋪滿草皮需要多少錢，這一問題比“求草皮面積是多少”更有現實意義、更自然。要求鋪滿草皮需要多少錢，首先要求圓形草皮的面積。〔3〕例2。本例是求圓環的面積，教材通過插圖幫助學生了解什么叫圓環，理解求圓環的面積是用外圓面積減去內圓面積。教材給出了兩種算法：3.14×62－3.14×22和3.14×〔62－22〕。教材也有意引導學生根據乘法分配律，采用相對簡便的算法，這樣，可以大大減少計算的繁雜程度，減少計算出錯的可能性。〔4〕例3。本例通過讓學生解決圓的內接正方形、外切正方形與圓之間局部的面積這一實際問題，經歷問題解決的全過程，并在解決具體問題的根底上發現更為一般的數學規律，提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。例題以中國古建筑中“外方內圓”和“外圓內方”兩種經典設計為情境，直觀清晰地提出了需要解決的數學問題——求正方形與圓之間的那局部面積。兩個圖中的圓大小相同，但正方形位置與大小都不同。很自然地引出一個問題：中間局部的面積與圓的面積有沒有關系？有什么樣的關系？例3是給出一個特殊的圓半徑，先解決特殊問題，在“反思”局部再討論一般性的規律。“分析與解答”引導學生根據圖示尋找正方形與圓之間的關系。第一個圖，很容易看出正方形的邊長就是圓的直徑；第二個圖，正方形的邊長不知道，不能用邊長的平方直接計算面積。此時，就需要轉換思路，將正方形看成兩個底是圓的直徑、高是圓的半徑的三角形〔或四個小三角形〕。在前面的解題環節，學生發現正方形與圓之間的面積與圓的半徑是有關的，那到底有什么樣的關系呢？因此，在“回憶與反思”這一環節，需要繼續延伸討論，進一步探討一般化的結論。圓的半徑是r與半徑是1m的解題思路完全相同，因為半徑1m只是其中的一種特例。讓學生利用剛剛的方法，得到一個代數式的結果。把r=1m代入，與前面的結果相符，以此檢驗這個代數式的正確性。4.

扇形的認識教材呈現了三個名稱中含有“扇”的物體，引出問題：什么是扇形？這樣的引入方式，把扇形這個數學名詞與學生已有的生活經驗建立聯系，有助于激發學生的研究興趣。教材結合圖示，以直接介紹的方式，揭示了“弧”“扇形”“圓心角”等術語的含義。事實上，扇形就是弧和圓心角所組成的圖形。《幾何原本》中這樣定義扇形：由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形叫做扇形。扇形的大小與圓心角的大小緊密相關，也與所在圓的半徑大小有關。到第七單元學習扇形統計圖時，還用到了各局部扇形的大小占整個圓的百分數。這些，需要學生直觀感知并理解，但總體要求并不高，例如，扇形統計圖中沒有提出計算各扇形圓心角的明確要求。因此，教材上只列出了兩類特殊的扇形：半圓為弧的扇形對應的圓心角是180°，圓為弧的扇形對應的圓心角是90°。四、教學建議1．引導學生動手操作、自主探索圓的特征。2．注重引導學生運用和體驗轉化、極限等數學思想方法。3．緊密結合生活素材，培養學生在日常生活中應用數學的意識和能力。

確定起跑線

一、教學內容確定標準運動場400m跑的各跑道起跑線。二、教學目標1．使學生了解田徑場以及環形跑道的根本結構，學會綜合運用圓的周長等知識來計算并確定400m跑的起跑線。2．使學生經歷觀察、計算、推理等數學活動過程，開展綜合運用數學知識解決實際問題的能力，體會抽象、推理等根本的數學思想。3．使學生體會數學知識在生活中的廣泛應用，增強數學學習的積極性。三、具體編排本活動主要由以下三個局部組成。〔1〕發現和提出問題。教材以400m跑為背景，呈現起跑時的真實情況，引導學生發現生活問題：為什么都是跑400m，運發動要站在不同的起跑線上？使學生通過對起跑線位置的關注和思考，進一步提出更多的數學問題，例如：是不是起跑線在前面的選手跑的路程更短些？比賽是公平的，每個人跑的路程應該同樣長，那為什么起跑線是不同的呢？難道每條跑道的終點線也設置得不同？引導學生學生根據生活經驗發現：終點是相同的，但外圈和內圈的長度是不同的。如