一種科學只有在成功地運用數學時,才算達到完善的地步切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，莫分離數形結合百般好，隔離分家萬事休，數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？§3.1.1方程的根與

函數的零點數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數形結合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，莫分離一種科學只有在成功地運用數學時,才算達到完善的地步數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數缺形時少直觀，形少數時難入微，一種科學只有在成功地運用數學時,才算達到完善的地步切莫忘，幾學習目標1.通過二次函數的圖像，了解二次函數與一元二次方程的關系，能判斷一元二次方程根的存在性及根的個數；2.了解函數的零點與方程根的聯系，能利用函數零點與方程根的關系確定方程根的個數。學習目標1.通過二次函數的圖像，了解二次函數與一元二問題·探究問題·探究今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但在數學發展史上，方程的求解卻經歷了相當漫長的歲月.

我國古代數學家在約公元50年—100年編成的《九章算術》，給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法…

初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法花拉子米(約780～約850)給出了一次方程和二次方程的一般解法。阿貝爾(1802～1829)挪威數學家.證明了五次以上一般方程沒有求根公式。初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15花拉子米(約780～約850)阿貝爾(1802～1829)挪卡爾達諾，意大利數學家，他第一個發表了三次代數方程一般解法的卡爾達諾公式，也稱卡當公式（解法的思路來自塔塔利亞，兩人因此結怨，爭論多年）。他的學生費拉里第一個求出四次方程的代數解。

初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15卡爾達諾，意大利數學家，他第一個發初中數學《函數》導學課件北韋達是法國十六世紀最有影響的數學家之一。第一個引進系統的代數符號，并對方程論做了改進。韋達討論了方程根的各種有理變換，發現了方程根與系數之間的關系即“韋達定理”。

初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15韋達是法國十六世紀最有影響的數學家之初中數學《函數》導學課件

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函數函數的圖象方程的實數根x1=－1,x2=3x1=x2=1無實數根函數的圖象與x軸的交點(－1,0)、(3,0)(1,0)無交點x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3問題·探究問題2

求出表中一元二次方程的實數根，畫出相應的二次函數圖像的簡圖，并寫出函數的圖象與x軸的交點坐標初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象判別式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函數的圖象與x軸的交點有兩個相等的實數根x1=x2沒有實數根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)沒有交點兩個不相等的實數根x1、x2問題3

若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程及相應的二次函數的圖象與x軸交點的關系，上述結論是否仍然成立？1.方程根的個數就是函數圖象與x軸交點的個數。2.方程的實數根就是函數圖象與x軸交點的橫坐標。

結論

初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15方程ax2+bx+c=0函數y=ax2+bx判別式△

對于函數y=f(x),叫做函數y=f(x)的零點。方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)的圖象與x軸有交點函數y=f(x)有零點函數的零點定義：等價關系使f(x)=0的實數x辨析

:函數的零點是不是交點？概念·形成初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15對于函數y=f(x),2-2和71示例·練習零點的求法（1）代數法初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版152-2和71示例·練習零點的求法（1）問題4

如圖是某地從0點到12點的氣溫變化圖，假設氣溫是連續變化的，請將圖形補充成完整的函數圖象。這段時間內，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15問題4如圖是某地從0點到12點的氣溫變化圖，初中數學《函數初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件問題探究初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15問題探究初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》結論xy00yx0yx0yx如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0,那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在使得f(c)=0,這個c也就是方程f(c)=0的根。初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15結論xy00yx0yx0yx如果函數y=f(x)在區間[a,xy0思考1：函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，若函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，一定能得出f(a)·f(b)<0的結論嗎？

初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15xy0思考1：函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條結論：函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線：（1）f(a)·f(b)<0函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點；（2）函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點f(a)·f(b)<0。初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15結論：函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一思考2：如果函數y=f(x)在[a,b]上是連續的單調函數,并且在閉區間的兩個端點上的函數值互異即f(a)f(b)﹤0,那么這個函數在(a,b)內的零點個數能確定嗎？初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15思考2：如果函數y=f(x)在[a,b]上是連續的單調函由表3-1和圖3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，說明這個函數在區間(2,3)內有零點。由于函數f(x)在定義域(0,+∞)內是增函數，所以它僅有一個零點。解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表（表3-1）和圖象（圖3.1—3）

－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219思考：還有沒有其他方法？問題5:初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15由表3-1和圖3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f解：作出函數的圖象，如下：因為f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,所以f(x)=－x3－3x+5在區間(1,1.5)上有零點。又因為f(x)是(－∞,＋∞）上的減函數，所以在區間(1,1.5)上有且只有一個零點。xy0－132112543.....零點的求法（2）

圖像法問題6.初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15解：作出函數的圖象，如下：因為f(1)=1>0,f(練習2：1初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15練習2：1初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件問題7.已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區間(－1,0)內，另一根在區間(1，2)內，求m的范圍.(2)若方程有一個根在(0,2)內,求m的范圍.(3)若方程有一個根比2大,另一個根比2小,求m范圍.(4)若方程兩根均在區間(0，1)內，求m的范圍.【變式引申】初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15問題7.已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.【變解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區間(－1，0)和(1，2)內，畫出示意圖，得∴.初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與∴問題7：已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(2)若方程有一個根在(0,2)內,求m的范圍.(3)若方程有一個根比2大,另一個根比2小,求m范圍.(4)若方程兩根均在區間(0，1)內，求m的范圍.解:由題意得:f(0)f(2)<0即(2m+1)(6m+5)<0解得:初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15問題7：已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.解:問題7：已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(3)若方程有一個根比2大,另一個根比2小,求m范圍.(4)若方程兩根均在區間(0，1)內，求m的范圍.解:由題意得:f(2)<0即6m+5<0解得:初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15問題7：已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.解:問題7：已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(4)若方程兩根均在區間(0，1)內，求m的范圍.解:由題意得:解得:初中數學《函數》導學課件北師大版15初中數學《函數》導學課件北師大版15問題7：已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.解:

對于函數y=f(x),叫做函數y=f(x)的零點。方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)的圖象與x軸有交點函數y=f(x)有零點函數的零點定義：等價關系使f(x)=0的實數x如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0,那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在使得f(c)=0,這個c也就是方程f(c)=0的根。

零點存在定理函數y=f(x)