1.3.2奇偶性(第1課時函數奇偶性的概念)第一頁，編輯于星期日：十一點三十七分。1.3.2奇偶性(第1課時函數奇偶性的概念)第一頁，編輯第二頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第二頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第三頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第三頁，編輯于星期日：十一點三十七分。1．若奇函數f(x)在x＝0處有意義，則f(0)是什么？【提示】由奇函數定義，f(－x)＝－f(x)，則f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.2．奇(偶)函數的定義域有什么特點？這種特點是怎樣影響函數的奇偶性的？第四頁，編輯于星期日：十一點三十七分。1．若奇函數f(x)在x＝0處有意義，則f(0)是什么？第四【提示】

(1)偶函數(奇函數)的定義中“對D內任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，這表明f(－x)與f(x)都有意義，即x、－x同時屬于定義域．因此偶(奇)函數的定義域是關于坐標原點對稱的．也就是說，定義域關于坐標原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件．(2)若函數的定義域不關于原點對稱，則函數既不是奇函數也不是偶函數．第五頁，編輯于星期日：十一點三十七分。【提示】(1)偶函數(奇函數)的定義中“對D內任意一個x，第六頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第六頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第七頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第七頁，編輯于星期日：十一點三十七分。(3)函數f(x)的定義域為{x|x≠－3}；定義域不關于原點對稱，∴函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數．判斷函數的奇偶性，一般有以下幾種方法：①定義法：若函數定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數；若函數定義域關于原點對稱，則應進一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性．第八頁，編輯于星期日：十一點三十七分。(3)函數f(x)的定義域為{x|x≠－3}；判斷函數的奇偶②圖象法：若函數圖象關于原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖象關于y軸對稱，則函數為偶函數．另外，還有如下性質可判定函數奇偶性：偶函數的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數；奇函數的和、差仍為奇函數，奇(偶)數個奇函數的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數；一個奇函數與一個偶函數的積為奇函數．(注：利用以上結論時要注意各函數的定義域)第九頁，編輯于星期日：十一點三十七分。②圖象法：若函數圖象關于原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖象第十頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第十頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第十一頁，編輯于星期日：十一點三十七分。第十一頁，編輯于星期日：十一點三十七分。(3)x∈R，f(－x)＝|－x＋2|－|－x－2|＝|x－2|－|x＋2|＝－(|x＋2|－|x－2|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數．第十二頁，編輯于星期日：十一點三十七分。(3)x∈R，第十二頁，編輯于星期日：十一點三十七分。【思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：①已知函數為分段函數；②判斷此函數的奇偶性．解答本題可依據函數奇偶性的定義加以說明．【解析】

(1)當x<0時，－x>0f(－x)＝－(－x)2＋(－x)－1，＝－x2－x－1＝－(x2＋x＋1)＝－f(x)(2)當x>0時，－x<0f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝－(x2＋x－1)＝－f(x)綜上f(－x)＝－f(x)∴f(x)是奇函數第十三頁，編輯于星期日：十一點三十七分。【思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：第十三頁，編輯于星期(1)對于分段函數奇偶性的判斷，須特別注意x與－x所滿足的對應關系，如x>0時，f(x)滿足f(x)＝－x2＋x－1，－x<0滿足的不再是f(x)＝－x2＋x－1，而是f(x)＝x2＋x＋1；(2)要對定義域內的自變量都要考察，如本例分為兩種情況，如果本例只有(1)就說f(－x)＝－f(x)，從而判斷它是奇函數是錯誤的、不完整的．(3)分段函數的奇偶性判斷有時也可通過函數圖象的對稱性加以判斷．第十四頁，編輯于星期日：十一點三十七分。(1)對于分段函數奇偶性的判斷，須特別注意x與－x所滿足的對【解析】①當x>0時，－x<0f(－x)＝－x－2＝f(x)②當x<0時，－x>0f(－x)＝－(－x)－2＝x－2＝f(x)③當x＝0時，f(－x)＝0＝f(x)∴f(x)是偶函數．第十五頁，編輯于星期日：十一點三十七分。【解析】①當x>0時，－x<0第十五頁，編輯于星期日：十一已知函數f(x)不恒為0，當x、y∈R時，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求證：f(x)是奇函數．【思路點撥】令x＝y＝0―→求f(0)―→令y＝－x―→f(－x)＝－f(x)―→結論【證明】函數定義域為R，其定義域關于原點對稱．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，再令x＝y＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數．第十六頁，編輯于星期日：十一點三十七分。已知函數f(x)不恒為0，當x、y∈R時，恒有f(x＋y)＝抽象函數奇偶性的判定通常用定義法，主要是充分運用所給條件，想法尋找f(x)與f(－x)之間的關系，此類題目常用到f(0)，可通過給式子中變量賦值，構造出0，把f(0)求出來．3.本例中，若將條件“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”改為f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，其余不變，求證f(x)是偶函數．第十七頁，編輯于星期日：十一點三十七分。抽象函數奇偶性的判定通常用定義法，主要是充分運用所給條件，想【證明】令x＝0，y＝x，則f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)①又令x＝x，y＝0得f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)②①②得f(－x)＝f(x)∴f(x)是偶函數．第十八頁，編輯于星期日：十一點三十七分。【證明】令x＝0，y＝x，第十八頁，編輯于星期日：十一點1．準確理解函數奇偶性定義(1)①偶函數(奇函數)的定義中“對D內任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，這表明f(－x)與f(x)都有意義，即x、－x同時屬于定義域．因此偶(奇)函數的定義域是關于坐標原點對稱的．也就是說，定義域關于坐標原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件．②存在既是奇函數又是偶函數的函數，即f(x)＝0，x∈D，這里定義域D是關于坐標原點對稱的非空數集．(2)函數按奇偶性可以分為四類