二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)特點(diǎn)的分析目錄contents二次函數(shù)基本概念回顧二次函數(shù)圖像繪制方法二次函數(shù)性質(zhì)特點(diǎn)分析典型例題解析與思路拓展總結(jié)歸納與提高建議01二次函數(shù)基本概念回顧二次函數(shù)定義及表示方法二次函數(shù)定義一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。二次函數(shù)表示方法二次函數(shù)可以用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c表示，也可以用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k表示，其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。

二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)意義二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，拋物線的開口越小。一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。對(duì)稱軸x=-b/2a。常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)。拋物線與y軸交于(0,c)。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即一元二次方程的解就是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系一元二次方程是一個(gè)等式，只有一個(gè)或兩個(gè)解（根）；而二次函數(shù)是一個(gè)函數(shù)式，其圖象是拋物線，與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于判別式Δ=b2-4ac的值。當(dāng)Δ>0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，沒有交點(diǎn)。二次函數(shù)與一元二次方程的區(qū)別二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系02二次函數(shù)圖像繪制方法描點(diǎn)法繪制二次函數(shù)圖像步驟確定二次函數(shù)的一般式$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$為常數(shù)，且$aneq0$。描點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，以表格中的各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)。列表在函數(shù)的定義域內(nèi)，以自變量$x$的一系列值（如$x=...，-2,-1,0,1,2,...$）分別代入函數(shù)解析式，算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，列成表格。連線按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描的點(diǎn)用平滑的曲線連接起來，得到二次函數(shù)的圖像。利用頂點(diǎn)式繪制二次函數(shù)圖像技巧將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式確定開口方向和頂點(diǎn)對(duì)稱性細(xì)節(jié)調(diào)整$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$為頂點(diǎn)坐標(biāo)，$aneq0$。根據(jù)$a$的正負(fù)確定開口方向（$a>0$時(shí)開口向上，$a<0$時(shí)開口向下），頂點(diǎn)即為$(h,k)$。利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，只需描出頂點(diǎn)及另一側(cè)的部分點(diǎn)，即可大致畫出圖像。根據(jù)函數(shù)的具體表達(dá)式和性質(zhì)，對(duì)圖像進(jìn)行細(xì)節(jié)調(diào)整，使其更準(zhǔn)確。通過平移變換得到不同形態(tài)二次函數(shù)圖像水平平移將二次函數(shù)圖像沿$x$軸方向平移，得到形如$y=a(x-h)^2+k$的圖像，其中$h$為水平平移的距離。垂直平移將二次函數(shù)圖像沿$y$軸方向平移，得到形如$y=ax^2+bx+c+k$的圖像，其中$k$為垂直平移的距離。翻折變換通過改變二次函數(shù)解析式中的$a$的正負(fù)，可以實(shí)現(xiàn)圖像的上下翻折變換；通過改變$x$的系數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)圖像的左右翻折變換。伸縮變換通過改變二次函數(shù)解析式中的$a$的絕對(duì)值大小，可以實(shí)現(xiàn)圖像的伸縮變換。當(dāng)$|a|>1$時(shí)，圖像沿$y$軸方向壓縮；當(dāng)$0<|a|<1$時(shí)，圖像沿$y$軸方向拉伸。03二次函數(shù)性質(zhì)特點(diǎn)分析二次項(xiàng)系數(shù)a決定開口方向當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。二次項(xiàng)系數(shù)a的絕對(duì)值大小決定開口大小|a|越大，拋物線開口越小；|a|越小，拋物線開口越大。開口方向及大小判斷依據(jù)對(duì)于一般形式的二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其對(duì)稱軸為x=-b/2a。對(duì)稱軸二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b^2/4a)，其中橫坐標(biāo)為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，縱坐標(biāo)為函數(shù)的最值。頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)求解方法VS根據(jù)開口方向和對(duì)稱軸，可以確定二次函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減。最值問題對(duì)于開口向上的二次函數(shù)，其最小值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處；對(duì)于開口向下的二次函數(shù)，其最大值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處。因此，可以通過求解頂點(diǎn)坐標(biāo)來找到二次函數(shù)的最值。單調(diào)性單調(diào)性和最值問題探討04典型例題解析與思路拓展求解二次函數(shù)表達(dá)式問題01已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過若干點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式。02已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，利用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)表達(dá)式。已知二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式求解二次函數(shù)表達(dá)式。03判斷二次函數(shù)圖像特征問題根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷二次函數(shù)圖像的開口方向、最值和對(duì)稱性。利用二次函數(shù)的判別式，判斷二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置關(guān)系。結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分析二次函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性和最值問題。010203利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)，解決生產(chǎn)、生活中的最優(yōu)化問題，如成本最低、利潤最大等。利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解決與拋物線運(yùn)動(dòng)相關(guān)的問題，如投籃、射門等。結(jié)合二次函數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，解決復(fù)雜的實(shí)際問題，如方程、不等式等。應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題05總結(jié)歸納與提高建議關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧$(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a})$，頂點(diǎn)坐標(biāo)可用于判斷函數(shù)的最值情況。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$為常數(shù)，且$aneq0$。二次函數(shù)的一般形式當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線向下開口。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，其開口方向由系數(shù)$a$決定注意區(qū)分二次函數(shù)與一元二次方程：二次函數(shù)是描述變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，而一元二次方程則是求解特定數(shù)值問題的工具。在求解二次函數(shù)問題時(shí)，要特別注意系數(shù)的符號(hào)和取值范圍，以避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤或邏輯錯(cuò)誤。對(duì)于二次函數(shù)的圖像變換（如平移、翻折等），要熟練掌握變換規(guī)律，并注意變換前后的函數(shù)表達(dá)式及圖像特點(diǎn)。易錯(cuò)易混點(diǎn)辨析提示拓展延伸內(nèi)容及思考方向01探究二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，如與一元二次不等式、線性規(guī)劃等