數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4=NeZIl<XW4],8=|%GZI--8X+12<0|,則4U8的子集的個數(shù)為

A.7B.8C.15D.16

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+4i）=2+"則2=

,67.67.「6,7.67.

A?甘+WD司仁一行+罰nD.一行一罰

3.已知等差數(shù)列｛%I的前n項和為S.,且%寺=4,則a9-a6=

A.2B.3C.4D.6

4,已知非零向量a力滿足lai=21＞，且1。-26=IQ+4＞，則明）的夾角為

AA.26LB江3C—3D—6

5.已知函數(shù)/（%）=（工+。）歷-11的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,2）,則實數(shù)a的值為

A.-3B.-2C.1D.2

6.已知命題pTBc（。用，（cos疔n~（sin6）”則

A.->p：mge（。4），（cos0）9,n6>（sin。產(chǎn),且-!p是真命題

B.rp：V夕G（0,于），（cos。產(chǎn)&>（sin6）5,且rp是假命題

C.rpT6e（o,子），（cose）x>（sine）叫且rP是假命題

D.rp：V6G（o,彳），（cos8）.d>（sine）W且rp是真命題

數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

7.已知圓錐SO1的高為4,體積為攀,若圓錐的頂點S與底面圓周上的所有點均在球。上，

則球0的體積為

A.187rB.241TC.361rD.481r

8.已知f(*)為偶函數(shù),對任意xeR有f(x+2)=/(x)當(dāng)“e［0,l)時,/U)=4x-2,

則方程/(，)=10g2l*-ll的所有實根之和為

A.3B.6C.7D.8

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分?

9.在實際應(yīng)用中，通常用吸光度A和透光率T來衡量物體的透光性能,它們之間的換算公式

為4=lg/，下表為不同玻璃材料的透光率：

玻璃材料材料1材料2材料3

T0.70.80.9

設(shè)材料1、材料2、材料3的吸光度分別為劣,4，則

A.A,>A2B.A2>3A3

C.Ai+A2>242D.aa>壽

10.已知函數(shù)/(*)=4sin(3t+w)的部分圖象如圖，則

AJQ)的最小正周期為F『

B.將/(x)的圖象向右平移尹單位長度得到一個偶函數(shù)的圖象廿汆

仁/(4)在［--0］上有3個零點-；

D./(x)的圖象的對稱軸為直線%岑+敢詼?

11.已知函數(shù)/(*)=x3+3x2+bx+l的導(dǎo)函數(shù)/'(%)的極值點是/(%)的零點，則

A./(x)在R上單調(diào)遞增

B./(x)的圖象關(guān)于點(-1,0)中心對稱

C.若a+c>-2,則/(a)+f(c)>0

D.過坐標(biāo)原點僅有一條直線與曲旗yqA”)相切

12.已知數(shù)列1%｝的通項公式為4=其前門項和為Sn.對任意正整數(shù)叫設(shè)

m=240-1)，其中,記/(2=b1+b2+…則

r2,n=1,

A.S=B.S-3^n(n+1)

"心2n+2

C.f(2m)=f(m)DJ(a“+3-S"+1=幾

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知3sina=cosa,則tanfa-孑)=，

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

14.如圖，四棱錐P-4BCD的底面為平行四邊形,￡,F分別為棱4D,0C上的點,4。=34￡,且

出〃平面EBF,則黑=

15.已知曲線片割在點（-1,-2）處的切線方程為廣版+6,記max｛p,q|設(shè)函，

數(shù)F（?）=max|4lx-ll,fec+6|，則數(shù)動的最小值為、?，

16.如圖，一個池塘的東、西兩側(cè)的端點分別為吃力,現(xiàn)取水庫周邊兩點C力,測得C0=80m,

LADB=135°,Z.BDC=LDCA=15。，乙ACB=120。,池塘旁邊有一條與直線AB垂直的小

路/，且點4到2的距離為206m.小張（P點）沿著小路I行進并觀察4,8兩點處豎立的

旗幟（與小張的眼睛在同一水平面內(nèi)），則小張的視線以與m的夾角的正切值的最大值

為.

四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟?

17.（10分）

已知等比數(shù)列｛aj的公比q=2,記其前n項和為S.,且a2,a3+3,a4成等差數(shù)列.

（I）求｛4｝的通項公式；

（口）求｛SJ的前幾項和4

18.（12分）

如圖，在三棱柱ABC-A.B,C,中,1平面ABC,AB=AC=AAt,AB_UC,O,E分別為棱

4C,&G的中點.

（I）求證:GD〃平面ABE；

（H）求直線BC與平面ABE所成角的正弦值.

數(shù)學(xué)試題第3頁（共4頁）

19.(12分)

在鈍角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,已知acosA=bcosB.

(I)證明：A4BC是等腰三角形；

(H)若asinC=1且c2=246,求△ABC的面積.

20.(12分)

已知數(shù)列］anl的各項均為正數(shù)，其前n項和記為5n,a.=1，且沙=空2(人為常數(shù)).

snan

(I)若—。3構(gòu)成等比數(shù)列，求人的值；

(口)若A=3,且」一+'-+…+—!—<M恒成立，求實數(shù)M的最小值.

ala302a4anan^2

21.（12分）

如圖，在三棱錐P-ABC中，PAJMC,Q,D,E分別是線段/<4,QC,AC的中點，30=4,

PA=2AC=4BE=4.

(I)求證：OEJ■平面ABC；

(n)若二面角Q-BD-A的余弦值為去，求2cB.

22.(12分)

已知函數(shù)/(%)=mexeR.

(I)若/(%)>0恒成立，求m的取值范圍；

Rnf(x\,

(II)設(shè)正實數(shù)叼，42「”戶”(22)滿足E%=2,證明：￡—^nm-2e~'.

in1ia1C

數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

數(shù)學(xué)?答案

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.

1.D2.B3.D4.C5.A

6.D7.C8.B

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分每小題全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.AC10.ABD11.ABC12.BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.-/14./

15.華16.竽

四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.解析（1）因為%,%+3,%成等差數(shù)列,所以2（＜13+3）=。2+%,...........................................................（2分）

得2a3+6=—+a3?,SP2a}+6=崇+2%，解得a3=12,.................................................................................（4分）

q2

所以a?=a,q"-3=12x2-3=3x2“l(fā)...............................................................................................................（5分）

（11）由（I）知%=3X2,T=3,...........................................................................................................................（6分）

所以S.=^m^=3x2'-3,.......................................................................................................................（8分）

1—z

則7；=6x,12"）_3”=3x2“+i-6-3”......................................................................................................（10分）

I—2

18.解析（I）如圖，設(shè)4G的中點為F,連接4F,EF.

因為E,尸分別為與G,A,C,的中點，所以EF//A.B,,

又Afi〃4所以所以4F在平面48E內(nèi)...........................................（2分）

因為4。=/4?,仇?=/4的，4。工46,所以4。n6匕.....................................（3分）

所以四邊形4〃購尸是平行四邊形,4F〃GD,......................................................................................................（4分）

又C"C平面/IBE,所以CW〃平面4BE...........................................................................................................（5分）

—1—

(U)以4為坐標(biāo)原點,分別以為4,A1Cl,44所在的直線為X,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

............................................................................................(6分)

設(shè)4B=AC=A4]=2,則點B(2,0,2),C(0,2,2),A(0,0,2),￡(1,1,0),

前=(-2,2,0),同=(2,0,0),懿=(1,1,-2)...............................................(8分)

設(shè)平面ABE的法向量為n=(%,y,z),

-A$=(x9y9z)?(2,0,0)=2x=0,rx=0,

由，,得

,n?AE=(x,yt2)?(1,1,-2)=x+y—2z=0,Ly=2z,

不妨令z=l,得平面ABE的一個法向量為n=(0,2,1)......................................(10分)

設(shè)直線BC與平面ABE所成的角為仇

則sin/Ic08s屁〉I=1^L§LJ?"”(之2&|=喳...........................(12分)

\n\\BC\6x2&5

19.解析(I)由條件及正弦定理可得sinAcosA=sinBeasB,...................................

所以sin2A=sin2B.........................................................................（2分）

因為4潭2(0,”)，且4+8￡(0,“)，所以24:28或24+28=仃，

即4=8或71+8=.....................................................................（3分）

因為△ABC是鈍角三角形，所以4+8*手，...............................................（4分）

所以4=8,所以△ABC是等腰三角形....................................................（5分）

(U)由題意及(I)得4=5,從而a=b.

由正弦定理得csinA=asinC=1,

所以「二七，且”就Jin(A+8)=麗，...........................................

（7分）

由c?=246=2§a,可得二二.弋—7,

sinA81n2AsmAcosA

整理得的4=與，所以4=1..............................................................

（9分）

3D

所以C=F-A-B=竽，...............................................................(10分)

由asinC=l,得6=a=

所以〃枷=/aisinC=/x^X^X^=^,..........................................(12分)

20.解析(I)令n=l,得含=叱2,即宇=中，所以a”A,...............................(1分)

3]Q]1I

令n=2,得3="+入，即1：：：%=入：入=2,所以%=]+A..................................(2分)

52%1+AA

因為由,%,%構(gòu)成等比數(shù)列，所以由。3=4，..................................................(3分)

—2—

即1+4=人2,解得入=1^卜=￡^<0,舍去）.........................................（5分）

（11）由已知得滬=卡,所以％—“）=351,,即4*=35@...............................................（6分）

所以冊+l。n+2=：3S“.]②,由②-①得an+l（QR?2-Qe）=3Q-l，...............................................................（7分）

又%+1>0,所以4+2-4=3,

所以數(shù)列]aj的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列.

由（I）可知=A=3,...................................................................................................................................（8分）

設(shè)」一+」一+…+---=Tn,

aa

°103Q2a4nn^2

1/1111\1111\41/11\…八、

=T（^+^-^-^）=T（1+T-^-^）=V-T（^+^h...............（1。分）

144

當(dāng)幾一?+8時,Q°T+8，1T（）,所以Tn<方■且Tn-^—,

故M的最小值為告..................................................................（12分）

21.解析（I）因為D,E分別是線段QC/C的中點，

所以DE//PA,B.DE=y（24=---PA=1.

因為P4_L4C,所以O(shè)E_L4c........................................................................................................................（1分）

因為BD=4,BE=l,所以DE?+BE?=耽所以DE_LBE........................................................................（2分）

又因為AC,8EU平面4BC,且ACn8E=E,...............................................................................................（3分）

所以O(shè)E_L平面43c........................................................................................................................................（4分）

（II）因為E是線段4c的中點，且有4c=2BE=2,所以△48C是直角三角形，其中48_L8C.

由（I）可知0E±平面4BC,所以可以B為坐標(biāo)原點,BC,B4所在直線為明y軸，過點B且與即平行的直線

為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系..................................................（5分）

—3—

因為481BC,4C=2,設(shè)Z.4C8=6(0<6<?

J[l|AB=ACsin=2sin0tBC=4CCO80=2cos0............................................................................................(6分)

則3(0,0,0),A(0,2sin6,0),C(2cos6,0,0),Q(0,2sin6,2),0(cos6,sin8,1),

所以#=(-cosg,—sinG,-1),砂=(—cosG,sin6,1),加=(—cose,sin9,-1)........................(7分)

不妨設(shè)平面QBD與平面ABD的法向量分別為n1=(均,為冬)9n2=(8為也)，

r/l1,D6=0,rn2,DB=0,

則有T

-x{cos0-y{sin6=0,r-x2cos6-y2sin-z2=0,

{-X]cose+力sin8+Zi=0,1-42cos6+ysin6-z=0?

22

分別令=COS%此時有分

Z[=sin6,Z2A[=(0,-1,sin8)9n2=(-1,0,cos(10分)

sin0cos8________1

則lcos〈〃],n)I=(U分)

2+sir??,>/l+cos203

整理得sin22^=1.

因為0<6</,所以sin26=1,26="^■，即學(xué),

所以〃3學(xué)(12分)

22.解析（I）｛￡）20恒成立，等價于亍恒成立，即mN（卞）...........................（1分）

設(shè)=事則"*）=匕二.........................................................（2分）

當(dāng)，V1時,“（，）>0,中（工）單調(diào)遞增，當(dāng)*>1時,“（/）<0,中（*）單調(diào)遞減，

所以「（"）?,=?（1）=',...........................................................................................................................（3分）

e

故m的取值范圍是［3',+8）...................