圖形的剪拼

模塊一圖形分割

嗨物“知識(shí)剖析?

圖形的剪拼是幾何學(xué)中一個(gè)非常有趣的課題,研究圖形的剪拼問(wèn)題不僅可以增強(qiáng)對(duì)幾何'

圖形的直觀感覺(jué)和判斷能力，豐富對(duì)圖形的想象力，而且有益于提高數(shù)學(xué)的思維能力.

下面是常見(jiàn)的一些圖形剪拼:

?正三角形的分割：

?等腰直角三角形的分割：

?正六邊形的分割:

二4??

一位農(nóng)夫臨終前把他的四個(gè)兒子叫到床前說(shuō)：“我沒(méi)什么留給你們的，只有祖上留下的幾十

畝地.我死后，你們把它分了，為了避免爭(zhēng)吵，你們還是平分吧農(nóng)夫死后，他的四個(gè)兒

子開(kāi)始分地，如圖所示，地里恰好有四口井，四棵樹(shù)，他們決定分成面積、形狀相同的四

塊，并且每人一口井，一棵樹(shù)，請(qǐng)你幫助他們來(lái)分田地.

M練一練

如下圖所示的正方形是由36個(gè)小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子，4顆白子，現(xiàn)在

要把它切割成形狀、大小都相同的四塊，并使每一塊中都有一顆黑子和一顆白子.試問(wèn)如何

切割？

Λ?例2

如圖，請(qǐng)用三種不同的方案，用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個(gè)圖形，畫出必要

的練一練

(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個(gè)圖形，畫出必要的輔助線.

(2)如圖，用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個(gè)圖形，畫出必要的輔助線.

(1)如圖1,請(qǐng)過(guò)點(diǎn)A畫一條直線交BC于點(diǎn)。，且將三角形ABC分成面積相等的兩部分

并指出，此時(shí)BO與Cf)的大小關(guān)系；

(2)如圖2,梯形A8Cf),AO平行SC,AC與BO相交于點(diǎn)0,圖中有哪幾對(duì)面積相等的

三角形，請(qǐng)直接寫出來(lái)；

(3)如圖3,某小區(qū)有一塊四邊形草地A8C，現(xiàn)欲過(guò)點(diǎn)A修一條筆直的小路(路寬忽略

不計(jì))，將該草地分割成面積相等的兩部分，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出小路，并簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖過(guò)程.

大臉貓有一塊如下圖所示的一塊五邊形土地，為了方便灌溉，欲通過(guò)4修一條水渠，使得水

渠左右兩邊的地面積相同.請(qǐng)?jiān)趫D中畫出水渠，并簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖過(guò)程.

CD

米）模塊二圖形拼接

倏盛M知識(shí)剖析城螂

圖形的剪拼是幾何學(xué)中一個(gè)非常有趣的課題,研究圖形的剪拼問(wèn)題不僅可以增強(qiáng)對(duì)幾何

圖形的直觀感覺(jué)和判斷能力，豐富對(duì)圖形的想象力，而且提高數(shù)學(xué)的思維能力

一番操作、

例題：有一個(gè)長(zhǎng)方形的花圃，中間有一條寬2米的人行路.花圃長(zhǎng)50米，寬30米，

那么種花的面積是多少？

解析：本題考慮長(zhǎng)方形的面積及減去路徑的面積時(shí)，路徑的面積計(jì)算會(huì)比較繁瑣，我們

可以采用把種花的兩部分拼接起來(lái).

拼接如圖所示：

拼接后的圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形，

長(zhǎng)：50-2=48（厘米），寬：30-2=28（厘米），

種花的面積：48x28=1344（平方厘米）

答：種花的面積是1344平方厘米.

總結(jié)：遇到不規(guī)則圖形時(shí)，可以用圖形拼接來(lái)處理問(wèn)題.

例4

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小豬佩奇將一張等腰三角形紙片沿底邊上的高剪開(kāi)，得到兩個(gè)直角三角形

紙片（如圖1）,她將這兩張紙片重新拼成一個(gè)與原先形狀不同的等腰三角形（如圖2）.你

能將圖1中的兩個(gè)三角形拼成四邊形嗎？如果可以，請(qǐng)你按照?qǐng)D2的表示方式，畫出所有可

》練一練

這是由10個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的一個(gè)圖形，對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行適當(dāng)分割，然后拼接成

新的圖形，拼接時(shí)不重疊、無(wú)空隙，并且拼接后新圖形的頂點(diǎn)在所給正方形網(wǎng)格圖中的格

點(diǎn)上，將由所得到的符合要求的新圖形畫在下邊的正方形網(wǎng)格圖中（畫出分割的輔助線）.

（1）新圖形為平行四邊形；（2）新圖形為正方形;

+T+T

I-

X1I

llIl

—

II—I

+TH十T

一十

XlL±lT-I-I-+-I-

」」一

IlI1l-J__1_1__L

IIIIIII

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--

÷TF+HT^lΓ+H

?lL±J-÷H-I-±J

」

IlIII_J._LII

二4??

不相等的長(zhǎng)方形紙片，剪去一個(gè)正方形，余下一個(gè)四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊

形紙片中再剪去一個(gè)正方形，又余下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作....以此類推，若第〃

次操作后余下的四邊形是正方形，則稱原長(zhǎng)方形為〃階準(zhǔn)正方形(例如，若第3次操作后余

下的四邊形是正方形，則稱原長(zhǎng)方形為3階準(zhǔn)正方形).如圖(1),長(zhǎng)方形ABCD中，若

AB=?,BC=2,則長(zhǎng)方形ABe。為1階準(zhǔn)正方形.

(1)①如圖2,把長(zhǎng)方形ABCD沿著BE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，則四邊形ABFE是

________形.

②鄰邊長(zhǎng)分別為2和3的長(zhǎng)方形是階準(zhǔn)正方形.

(2)若長(zhǎng)方形ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別2、a(a>2),且是3階準(zhǔn)正方形，請(qǐng)畫出長(zhǎng)方形ABCQ

及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出。的值.

6,練一練

菱形的定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.鄰邊不相等的平

行四邊形紙片，剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片

中再剪去一個(gè)菱形，又剩下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作；……依次類推，若第"次操作

余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為"階菱形.如圖1,平行四邊形ABCD中，若

AB=I,BC=2,如圖2,通過(guò)折疊可以得到一個(gè)菱形，則余下的四邊形也是菱形，因此平行

四邊形ABCZ）為1階準(zhǔn)菱形.

圖①圖②

（1）判斷與推理：

鄰邊長(zhǎng)分別為2和3的平行四邊形是階準(zhǔn)菱形.

（2）操作、探究與計(jì)算：

①已知平行四邊形ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別是1和“（α>l）,且是3階準(zhǔn)菱形，請(qǐng)畫出

平行四邊形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出a的值；

②己知平行四邊形ABC。的鄰邊長(zhǎng)分別為a、b（a>b）,滿足α=W+r,b=5r,請(qǐng)

寫出平行四邊形ABC。是幾階準(zhǔn)菱形.

Λ?例6

■_"z~

熊大從一張長(zhǎng)方形紙片中，剪去一個(gè)最大的正方形后，又剪掉一個(gè)最大的正方形，此時(shí)剩

下了一個(gè)長(zhǎng)4厘米，寬3厘米的長(zhǎng)方形，那么原來(lái)紙片的面積可能為多少平方厘米？（要

求寫出所有結(jié)果）

R練一練

熊二從一張長(zhǎng)方形紙片中，剪去一個(gè)最大的正方形后，又剪掉一個(gè)最大的正方形，此時(shí)剩下

了一個(gè)長(zhǎng)4厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形，那么原來(lái)紙片的面積可能為多少平方厘米？（要求寫

出所有結(jié)果）

W例7

-=-------1~~

有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為6m、8m,斜邊長(zhǎng)為IOm,現(xiàn)在要將綠地

擴(kuò)成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為一條直角邊的直角三角形，請(qǐng)畫出你所想到的所有

擴(kuò)充方案的示意圖形.

6m

的練一練

請(qǐng)對(duì)圖形進(jìn)行如下操作：

（1）如圖1,為正方形ABCn紙片，請(qǐng)以AB為一邊，在紙片上畫出一個(gè)等腰三角形.

（2）如圖2,為長(zhǎng)方形ABeC紙片，AB=2,BC=A,在紙片上畫出一個(gè)面積最大的等腰三角

形，并求出此三角形的面積.

（3）如圖3,為直角三角形ABC紙片，EM=90。，AB=4r,AC=3,BC=5,若要在紙片上裁出

一個(gè)等腰三角形，且兩腰分別與原三角形的邊重合，請(qǐng)畫出所有符合要求的圖形，并

求出其中最大的面積.

C思維提升

練習(xí)1.如圖，長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)與寬分別為6和4,要將該紙片剪去3個(gè)等腰直角三角形后，使

剩余部分的面積最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出相應(yīng)的裁剪線.

練習(xí)2.在下面的方格中有4個(gè)圓圈，請(qǐng)你把方格分成4個(gè)完全相同的非正方形，使每部分

都有1個(gè)圓圈（圓圈的位置相同）.動(dòng)手畫出你的方法.

練習(xí)3.新新從一張長(zhǎng)方形紙片中，剪去一個(gè)最大的正方形后，又剪掉一個(gè)最大的正方形，此

時(shí)剩下了一個(gè)長(zhǎng)4厘米，寬3厘米的長(zhǎng)方形，那么原來(lái)紙片的面積可能為多少平方

厘米？（要求寫出所有結(jié)果）.

練習(xí)4.已知給出一個(gè)邊長(zhǎng)均為4的正方形ABCD

③

（1）在圖①中做出兩條直線，是它們將正方形ABCD的面積四等分（要求其中一條

直線必須過(guò)點(diǎn)A）；

（2）圖②中：已知點(diǎn)〃在邊A。上且AM=2.在圖②中作出兩條直線使它們將正方形

ABCC的面積四等分（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M）；

（3）圖③中：己知點(diǎn)M在邊AO上且4M=3.在圖③中作出兩條直線使它們將正方形

ABCO的面積四等分（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M）；

（4）圖④中：點(diǎn)M是正方形ABC。外的一點(diǎn)，能否在圖④中也作出兩條直線使它們

將正方形ABCZ）的面積四等分（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M）?若能，請(qǐng)?jiān)趫D④中

直接作出；若不能，說(shuō)明理由.

練習(xí)5.請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉校跃€段AB為邊畫出兩個(gè)面積為3的格點(diǎn)三角形，要求一個(gè)為銳角三

角形，一個(gè)為鈍角三角形.（注：每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為I;格點(diǎn)三角形是指三角形的

三個(gè)頂點(diǎn)都在方格的交叉點(diǎn)上）

K思維提升

提升1.淘氣在整理玩具時(shí)，找到一個(gè)直角三角形，一個(gè)直角梯形和一個(gè)中間有空心圓孔的

長(zhǎng)方形鐵片，他測(cè)量有關(guān)數(shù)