東莞四中20202021年高三第一學期數學第10次周測班級姓名學號分數一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．(2018北京)已知集合，，則A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2}D．{–1，0，1，2}2．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數的圖像大致為4．設曲線在點處的切線方程為，則=A．0B．1C．2D．35．已知向量，且，則=A． B． C．6 D．86.若非零向量，滿足，且，則與的夾角為A．B．C．D．7.以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于A．B．C．2D．18.直線被圓截得的弦長為A．1B．2C．4D二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分）9..如圖，D，E，F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則下列等式中正確的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))10.已知,是兩條不同的直線,,是兩不同的平面,是一個點,其中正確的是()A．若,,則;B．若,,則;C．若,,,,則;D．若,,,,,則.11.下列四個解不等式，正確的有（）A.不等式2x2－x－1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D.關于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，則p＋q的值為112.不透明的口袋內裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A．2張卡片都不是紅色 B．2張卡片恰有一張紅色 C．2張卡片至少有一張紅色 D．2張卡片都為綠色三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應位置上．第16題第一空2分，第二空3分.13.i是虛數單位，復數．14.的展開式中的系數為．(用數字填寫答案)15.某高三畢業班有人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言，那么全班共寫了條畢業留言．（用數字作答）16.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個頂點都在球O的表面上，若這個三棱柱的體積為，AB＝3，則AA1＝__________，球O的表面積為__________．四、解答題:本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在平面直角坐標系中，點、、．（1）求以線段、為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；（2）設實數滿足()·=0，求的值．18.在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為．求橢圓的方程；(提示:橢圓離心率為,橢圓的,焦距為兩焦點的距離,橢圓的兩焦點為).19．在平行六面體中，，．求證：(1)平面；(2)平面平面．20．如圖，四棱錐中，，，分別為線段的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：.21.如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：時間（分鐘）10~2020~3030~4040~5050~60的頻率0.10.20.30.20.2的頻率00.10.40.40.1現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（Ⅰ）的選擇方案，求的分布列和數學期望。22．已知函數．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）證明：對任意的，存在唯一的，使．20202021年高三第一學期數學第10次周測答案一、12345678AABDDAAC1．A【解析】，，∴，故選A．2．A【解析】若直線相交，設交點為，則，又，所以，故相交．反之，若相交，則可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A．3．B【解析】當時，因為，所以此時，故排除A．D；又，故排除C，選B．4．D【解析】，由題意得，即．5．D【解析】由向量的坐標運算得，∵，∴，解得，故選D．6.A【解析】由題意，即，所以，，，選A．7.A【解析】圓柱的底面半徑為1，母線長為1，8.C【解析】圓心，圓心到直線的距離，半徑，所以最后弦長為.二、9101112ABCCDBCDABD9.【答案】A，B，C【解析】eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0，eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→)).故選A，B，C.10.【答案】CD【解析】對于A,若,,可不在直線,故A錯誤;對于B,若,,可知上有一點在內,根據兩點確定一條直線可知,不一定在內,故B錯誤;對于C,,,,,故C正確;對于D,,,,,,故D正確.11.【答案】B，C，D【解析】對于A：∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－eq\f(1,2)，∴不等式的解集為∪(1，＋∞).故A錯誤；對于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(2,3).故B正確；對于C：由題意可知－7和－1為方程ax2＋8ax＋21＝0的兩個根.∴－7×(－1)＝eq\f(21,a)，故a＝3.正確對于D：依題意得q，1是方程x2＋px－2＝0的兩根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，正確.12.【答案】ABD【解析】6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有：“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，選項中給出的四個事件中與“2張都為紅色”互斥而非對立“2張都不是紅色”“2張恰有一張紅色”“2張都為綠色”，其中“2張至少一張為紅色”包含事件是“2張都為紅色”二者并非互斥．三、13.【解析】14.－20【解析】中，令，再令，得的系數．15.1560【解析】由題意，故全班共寫了1560條畢業留言．16.4，28π【解析】由題意設高AA1＝b，由題意V＝S?b＝，解得：b＝4；外接球的球心為過底面外接圓的圓心做底面的垂線與中截面的交點，設外接球的半徑為R，底面半徑為r，則R2＝r2+（）2，因為底面為等邊三角形，所以，即r＝，所以R2＝3+4＝7，所以球O的表面積為4π?7＝28π；四、17.在平面直角坐標系中，點、、．（1）求以線段、為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；（2）設實數滿足()·=0，求的值．【解析】（1）（方法一）由題設知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為、．（方法二）設該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則:E為B、C的中點，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點，所以D（1，4）故所求的兩條對角線的長分別為BC=、AD=；（2）由題設知：=(－2,－1)，．由()·=0，得：，從而所以．或者：，．18.在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為．求橢圓的方程；(提示:橢圓離心率為,橢圓的,焦距為兩焦點的距離,橢圓的兩焦點為).解:由題意知，，所以，因此橢圓的方程為．19．在平行六面體中，，．求證：(1)平面；(2)平面平面．【證明】(1)在平行六面體中，．因為平面，平面，所以∥平面．(2)在平行六面體中，四邊形為平行四邊形．又因為，所以四邊形為菱形，因此⊥．又因為⊥，∥，所以⊥．又因為=，平面，平面，所以⊥平面．因為平面，所以平面⊥平面．20．如圖，四棱錐中，，，分別為線段的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：.【解析】（Ⅰ）設，連結OF，EC，由于E為AD的中點，，所以,因此四邊形ABCE為菱形，所以O為AC的中點，又F為PC的中點，因此在中，可得．又平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由題意知，，所以四邊形為平行四邊形，因此．又平面PCD，所以，因此．因為四邊形ABCE為菱形，所以．又，AP，AC平面PAC，所以平面．21.如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：時間（分鐘）10~2020~3030~4040~5050~60的頻率0.10.20.30.20.2的頻率00.10.40.40.1現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（Ⅰ）的選擇方案，求的分布列和數學期望。【解析】（Ⅰ）表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內趕到火車站”，表示事件“乙選擇路徑時，50分鐘內趕到火車站”，=1,2．用頻率估計相應的概率可得=0.1+0.2+0.3=0.6，=0.1+0.4=0.5，＞，甲應選擇．=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，=0.1+0.4+0