新人教版高中數學必修四第三章檢測一．選擇題〔共11小題〕1．〔2012?綿陽二模〕假設實數x，y滿足方程組那么cos〔x+2y〕=〔〕A．0B．C．D．12．〔2011?安徽模擬〕對?a，b∈R，運算“?”、“⊕”定義為：a?b=，那么以下各式中恒成立的是〔〕①〔sinx?cosx〕+〔sinx⊕cosx〕=sinx+cosx，②〔2x?x2〕﹣〔2x⊕x2〕=2x﹣x2，③〔sinx?cosx〕?〔sinx⊕cosx〕=sinx?cosx，④〔2x⊕x2〕﹣〔2x?x2〕=2x﹣x2．A．①②③④B．①②③C．①③D．②④3．〔1999?廣東〕假設，那么α∈〔〕A．B．C．D．4．如果θ是第二象限角，且滿足，那么〔〕A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角5．假設α是銳角，且滿足，那么cosα的值為〔〕A．B．C．D．6．sinθ+cosθ=，θ∈〔，π〕，那么tanθ的值是〔〕A．﹣B．﹣C．D．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sinAcos2〔45°﹣〕﹣sincos〔〕A．有最大值和最小值為0B．有最大值，但無最小值C．既無最大值，也無最小值D．有最大，但無最小值8．計算cos20°sin50°sin170°=〔〕A．B．C．D．9．假設a，b，c是△ABC的三邊，直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相離，那么△ABC一定是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形10．△ABC，假設對任意k∈R，有||≥，那么△ABC一定是〔〕A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．以上均有可能11．O為△ABC內一點，假設對任意k∈R有|+〔k﹣1〕﹣k|≥|﹣|，那么△ABC一定是〔〕A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．以上均有可能二．填空題〔共5小題〕12．〔2012?道里區三模〕在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，當tan〔A﹣B〕取最大值時，角C的值為_________．13．〔2011?安徽〕設f〔x〕=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0假設f〔x〕≤|f〔〕|對一切x∈R恒成立，那么①f〔〕=0．②|f〔〕|＜|f〔〕|．③f〔x〕既不是奇函數也不是偶函數．④f〔x〕的單調遞增區間是[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．⑤存在經過點〔a，b〕的直線于函數f〔x〕的圖象不相交．以上結論正確的選項是_________寫出正確結論的編號〕．14．〔2011?漣源市模擬〕在△ABC中，給出以下四個命題：①假設sin2A=sin2B，那么△ABC為等腰三角形；②假設sinA=cosB，那么△ABC是直角三角形；③假設cosA?cosB?cosC＜0，那么△ABC是鈍角三角形；④假設cos〔A﹣B〕?cos〔B﹣C〕?cos〔C﹣A〕=1，那么△ABC是等邊三角形．以上命題正確的選項是_________〔填命題序號〕．15．〔2010?重慶〕如圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經過同一點P〔點P不在C上〕且半徑相等．設第i段弧所對的圓心角為αi〔i=1，2，3〕，那么=_________．16．〔2010?延慶縣一模〕直線y=2x+1和圓x2+y2=1交于點A，B兩點，以x軸的正方向為始邊，OA為終邊〔O是坐標原點〕的角為α，OB為終邊的角為β，那么sin〔α+β〕=_________．三．解答題〔共14小題〕17．〔2011?廣東〕函數f〔x〕=2sin〔x﹣〕，x∈R〔1〕求f〔〕的值；〔2〕設α，β∈[0，]，f〔3α+〕=，f〔3β+2π〕=，求cos〔α+β〕的值．18．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．19．〔2015?惠州模擬〕設函數f〔x〕=cosx+sinx+1〔1〕求函數f〔x〕的值域和函數的單調遞增區間；〔2〕當f〔a〕=，且＜α＜時，求sin〔2α+〕的值．20．〔2015?資陽模擬〕函數f〔x〕=msinxcosx+mcos2x+n〔m＞0〕在區間上的值域為[1，2]．〔Ⅰ〕求函數f〔x〕的單調遞增區間；〔Ⅱ〕在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，假設f〔A〕=1，sinB=4sin〔π﹣C〕，△ABC的面積為，求邊長a的值．21．〔2015?資陽模擬〕向量=〔1，3cosα〕，=〔1，4tanα〕，，且?=5．〔Ⅰ〕求|+|；〔Ⅱ〕設向量與的夾角為β，求tan〔α+β〕的值．22．〔2014?天津〕函數f〔x〕=cosx?sin〔x+〕﹣cos2x+，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在閉區間[﹣，]上的最大值和最小值．23．〔2014?福建〕函數f〔x〕=cosx〔sinx+cosx〕﹣．〔1〕假設0＜α＜，且sinα=，求f〔α〕的值；〔2〕求函數f〔x〕的最小正周期及單調遞增區間．24．〔2014?江西〕函數f〔x〕=〔a+2cos2x〕cos〔2x+θ〕為奇函數，且f〔〕=0，其中a∈R，θ∈〔0，π〕．〔1〕求a，θ的值；〔2〕假設f〔〕=﹣，α∈〔，π〕，求sin〔α+〕的值．25．〔2014?江蘇〕函數f0〔x〕=〔x＞0〕，設fn〔x〕為fn﹣1〔x〕的導數，n∈N*．〔1〕求2f1〔〕+f2〔〕的值；〔2〕證明：對任意n∈N*，等式|nfn﹣1〔〕+fn〔〕|=都成立．26．〔2014?四川〕函數f〔x〕=sin〔3x+〕．〔1〕求f〔x〕的單調遞增區間；〔2〕假設α是第二象限角，f〔〕=cos〔α+〕cos2α，求cosα﹣sinα的值．27．〔2014?江蘇〕α∈〔，π〕，sinα=．〔1〕求sin〔+α〕的值；〔2〕求cos〔﹣2α〕的值．28．〔2014?江西〕函數f〔x〕=sin〔x+θ〕+acos〔x+2θ〕，其中a∈R，θ∈〔﹣，〕〔1〕當a=，θ=時，求f〔x〕在區間[0，π]上的最大值與最小值；〔2〕假設f〔〕=0，f〔π〕=1，求a，θ的值．29．〔2014?福建〕函數f〔x〕=2cosx〔sinx+cosx〕．〔Ⅰ〕求f〔〕的值；〔Ⅱ〕求函數f〔x〕的最小正周期及單調遞增區間．30．〔2014?市中區二模〕△ABC的面積為1，且滿足0?≤2，設和的夾角為θ〔Ⅰ〕求θ的取值范圍；〔Ⅱ〕求函數f〔θ〕=2sin2〔+θ〕﹣cos〔2θ+〕的最大值及取得最大值時的θ值．

新人教版高中數學必修四第三章檢測參考答案與試題解析一．選擇題〔共11小題〕1．〔2012?綿陽二模〕假設實數x，y滿足方程組那么cos〔x+2y〕=〔〕A．0B．C．D．1考點：兩角和與差的余弦函數．專題：計算題；壓軸題．分析：將方程組中的第二個方程第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后設t=﹣2y，變形后與第一個方程完全相同，可得出t=x，進而得到x與y的關系式x=﹣2y，即x+2y=0，代入所求的式子中，利用特殊角的三角函數值化簡即可求出值．解答：解：，由②化簡得：8y3﹣〔1+cos2y〕+2y+3=0，整理得：﹣8y3+cos2y﹣2y﹣2=0，即〔﹣2y〕3+cos〔﹣2y〕+〔﹣2y〕﹣2=0，設t=﹣2y，那么有t3﹣cost+t﹣2=0，與方程①比照得：t=x，即x=﹣2y，∴x+2y=0，那么cos〔x+2y〕=1．應選D點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，利用了換元的思想，靈活變換第二個方程是解此題的關鍵．2．〔2011?安徽模擬〕對?a，b∈R，運算“?”、“⊕”定義為：a?b=，那么以下各式中恒成立的是〔〕①〔sinx?cosx〕+〔sinx⊕cosx〕=sinx+cosx，②〔2x?x2〕﹣〔2x⊕x2〕=2x﹣x2，③〔sinx?cosx〕?〔sinx⊕cosx〕=sinx?cosx，④〔2x⊕x2〕﹣〔2x?x2〕=2x﹣x2．A．①②③④B．①②③C．①③D．②④考點：三角函數中的恒等變換應用；有理數指數冪的運算性質．專題：壓軸題；新定義．分析：結合新定義，驗算①②③④，即可判斷正確選項．解答：解：由題意可知：①〔sinx?cosx〕+〔sinx⊕cosx〕=sinx+cosx．③〔sinx?cosx〕?〔sinx⊕cosx〕=sinx?cosx，加法與乘法滿足交換律，正確；②〔2x?x2〕﹣〔2x⊕x2〕=2x﹣x2，④〔2x⊕x2〕﹣〔2x?x2〕=2x﹣x2不恒成立，應選C．點評：此題是根底題，考查新定義的應用，考查發現問題解決問題的能力，常考題型．3．〔1999?廣東〕假設，那么α∈〔〕A．B．C．D．考點：弦切互化；任意角的三角函數的定義；同角三角函數根本關系的運用．專題：計算題；壓軸題．分析：先根據sinα＞，整理求得sinα＜0，判斷出α的范圍，進而根據tanα＞cota轉化成正弦和余弦，可推斷＞﹣1，進而根據正切函數的單調性求得α的范圍，最后綜合答案可得．解答：解：∵sinα＞，∴cosαsinα﹣sinα＞0，即sinα〔cosα﹣1〕＞0∵cosα﹣1＜0∴sinα＜0，﹣＜α＜0∵tanα＞cota∴＞∵﹣＜α＜0∴＞﹣1即tanα＞﹣1∴α＞﹣綜合得﹣＜α＜0應選B點評：此題主要考查了弦切互化的問題．解題的關鍵是通過弦切的互化找的解決問題的突破口．4．如果θ是第二象限角，且滿足，那么〔〕A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角考點：半角的三角函數．專題：計算題；壓軸題．分析：先根據θ的范圍確定的范圍，再由可確定的大小關系，進而確定的象限．解答：解：∵θ是第二象限角∴∴〔k∈Z〕∴當k為偶數時，在第一象限；當k為奇數時，在第三象限；∵==∴∴是第三象限角應選B．點評：此題主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函數的根本關系．屬根底題．5．假設α是銳角，且滿足，那么cosα的值為〔〕A．B．C．D．考點：兩角和與差的余弦函數．專題：計算題；壓軸題．分析：先根據α是銳角，且滿足求出的值，再由根據兩角和與差的余弦公式得到最后答案．解答：解：由α是銳角，且可得，=．應選B．點評：此題主要考查兩角和與差的余弦公式、同角三角函數的根本關系．6．sinθ+cosθ=，θ∈〔，π〕，那么tanθ的值是〔〕A．﹣B．﹣C．D．考點：三角函數的恒等變換及化簡求值．專題：計算題；壓軸題．分析：利用萬能公式把tan代入題設等式，求得tan的值，進而利用正切的二倍角公式求得答案．解答：解：設tan=x〔x＞0〕，那么+=，解出x=2，∴tanθ==﹣應選A；點評：此題主要考查了三角函數的恒等變換及化簡求值．考查了考生對三角函數根底公式的熟練應用．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sinAcos2〔45°﹣〕﹣sincos〔〕A．有最大值和最小值為0B．有最大值，但無最小值C．既無最大值，也無最小值D．有最大，但無最小值考點：二倍角的正弦．專題：計算題；壓軸題．分析：先根據二倍角公式將sinAcos2〔45°﹣〕﹣sincos化簡，然后再由Rt△ABC中，∠C=90°，確定A的范圍，進而根據正弦函數的性質可得到答案．解答：解：∵sinAcos2〔45°﹣〕﹣sincos=sinA﹣sinA=sinA﹣sinA==∵Rt△ABC中，∠C=90°∴0°＜A＜90°∴0°＜2A＜180°∴有最大值，但無最小值應選B．點評：此題主要考查二倍角公式的應用和正弦函數的性質．考查根底知識的綜合應用．8．計算cos20°sin50°sin170°=〔〕A．B．C．D．考點：二倍角的正弦．專題：計算題；壓軸題．分析：先將三角函數式看成分母為1的分式，再分子、分母同乘以8sin20°，湊出連續的二倍角正弦公式，從而化簡三角函數式．解答：解：．故答案為．應選C．點評：此題考查湊公式的能力及考查二倍角的正弦公式．解答關鍵是配個分母后逆用二倍角公式，屬于根底題．9．假設a，b，c是△ABC的三邊，直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相離，那么△ABC一定是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形考點：三角形的形狀判斷；直線與圓的位置關系．專題：計算題；壓軸題．分析：先根據ax+by+c=0與圓x2+y2=1相離，可得到圓心到直線ax+by+c=0的距離大于半徑1，進而可得到，即c2＞a2+b2，可得到，從而可判斷角C為鈍角，故三角形的形狀可判定．解答：解：由得，，∴c2＞a2+b2，∴，故△ABC是鈍角三角形．應選C．點評：此題主要考查三角形形狀的判定、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系．考查根底知識的綜合運用．10．△ABC，假設對任意k∈R，有||≥，那么△ABC一定是〔〕A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．以上均有可能考點：三角形的形狀判斷．專題：計算題；壓軸題．分析：圖中BC′的長度就是||，要使不等式成立，那么|AC|必須是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C為直角．解答：解：當k為任意實數時，那么k的方向有可能向左，也可能向右．長度也是不確定的，圖中BC′的長度就是||，可以看出，當BC′垂直CB時，||有最小值，要使不等式成立，那么|AC|必須是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C為直角，應選A．點評：此題考查兩個向量的加減法的法那么，以及其幾何意義，判斷三角形的形狀的方法，判斷|AC|必須是BC′的最小值，是解題的關鍵．11．O為△ABC內一點，假設對任意k∈R有|+〔k﹣1〕﹣k|≥|﹣|，那么△ABC一定是〔〕A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．以上均有可能考點：三角形的形狀判斷．專題：計算題；壓軸題．分析：根據題意畫出圖形，在邊BC上任取一點E，連接AE，根據不等式左邊絕對值里的幾何意義可得k=，再利用向量的減法運算法那么化簡，根據垂線段最短可得AC與EC垂直，進而確定出三角形為直角三角形．解答：解：從幾何圖形考慮：|﹣k|≥||的幾何意義表示：在BC上任取一點E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又點E不管在任何位置都有不等式成立，∴由垂線段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，那么△ABC一定是直角三角形．應選A點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有平面向量的加減法的法那么，以及其幾何意義，判斷出AC⊥BC是解題的關鍵．二．填空題〔共5小題〕12．〔2012?道里區三模〕在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，當tan〔A﹣B〕取最大值時，角C的值為．考點：兩角和與差的正切函數；正弦定理的應用．專題：壓軸題；三角函數的求值．分析：利用正弦定理及誘導公式化簡的等式，整理后利用同角三角函數間的根本關系弦化切后得到tanA=3tanB，利用兩角和與差的正切函數公式化簡tan〔A﹣B〕，將tanA=3tanB代入，利用根本不等式變形，求出tan〔A﹣B〕取得最大值時tanA與tanB的值，進而確定出A與B的度數，即可此時得到C的度數．解答：解：利用正弦定理化簡的等式得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin〔A+B〕=〔sinAcosB+cosAsinB〕，整理得：sinAcosB=3cosAsinB，兩邊除以cosAcosB得：tanA=3tanB，那么tan〔A﹣B〕===，∵A、B是三角形內角，且tanA與tanB同號，∴A、B都是銳角，即tanA＞0，tanB＞0，∴3tanB+≥2，當且僅當3tanB=，即tanB=時取等號，∴tanA=3tanB=，∴A=，B=，那么C=．故答案為：點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，正弦定理，同角三角函數間的根本關系，誘導公式，以及根本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解此題的關鍵．13．〔2011?安徽〕設f〔x〕=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0假設f〔x〕≤|f〔〕|對一切x∈R恒成立，那么①f〔〕=0．②|f〔〕|＜|f〔〕|．③f〔x〕既不是奇函數也不是偶函數．④f〔x〕的單調遞增區間是[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．⑤存在經過點〔a，b〕的直線于函數f〔x〕的圖象不相交．以上結論正確的選項是①，③寫出正確結論的編號〕．考點：兩角和與差的正弦函數；函數y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換．專題：計算題；壓軸題．分析：先化簡f〔x〕的解析式，利用條件中的不等式恒成立，得到是三角函數的最大值，得到是三角函數的對稱軸，將其代入整體角令整體角等于求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數的性質．解答：解：∵f〔x〕=asin2x+bcos2x=∵∴〔k為整數〕∴∴=對于=0，故①對對于②，，故②錯對于③，f〔x〕不是奇函數也不是偶函數對于④，由于f〔x〕的解析式中有±，故單調性分情況討論，故④不對對于⑤∵要使經過點〔a，b〕的直線與函數f〔x〕的圖象不相交，那么此直線須與橫軸平行，且|b|，此時平方得b2＞a2+b2這不可能，矛盾，故∴不存在經過點〔a，b〕的直線于函數f〔x〕的圖象不相交故⑤錯故答案為①③點評：此題考查三角函數的對稱軸過三角函數的最值點、考查研究三角函數的性質常用整體處理的思想方法．14．〔2011?漣源市模擬〕在△ABC中，給出以下四個命題：①假設sin2A=sin2B，那么△ABC為等腰三角形；②假設sinA=cosB，那么△ABC是直角三角形；③假設cosA?cosB?cosC＜0，那么△ABC是鈍角三角形；④假設cos〔A﹣B〕?cos〔B﹣C〕?cos〔C﹣A〕=1，那么△ABC是等邊三角形．以上命題正確的選項是③④〔填命題序號〕．考點：三角形的形狀判斷．專題：證明題；壓軸題；解三角形．分析：①假設sin2A=sin2B，那么2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或C=，可知①不正確．②假設sinA=cosB，找出∠A和∠B的反例，即可判斷那么△ABC是直角三角形錯誤，故②不正確．③假設cosA?cosB?cosC＜0，cosA、cosB、cosC兩個是正實數，一個是負數，故A、B、C中兩個是銳角，一個是鈍角，故③正確．④假設cos〔A﹣B〕?cos〔B﹣C〕?cos〔C﹣A〕=1可得A=B=C，故△ABC是等邊三角形，故④正確．解答：解：①假設sin2A=sin2B，那么2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或C=，故△ABC為等腰三角形或直角三角形，故①不正確．②假設sinA=cosB，例如∠A=100°和∠B=10°，滿足sinA=cosB，那么△ABC不是直角三角形，故②不正確．③假設cosA?cosB?cosC＜0，那么由三角形各個內角的范圍及內角和等于180°知，cosA、cosB、cosC兩個是正實數，一個是負數，故A、B、C中兩個是銳角，一個是鈍角，故③正確．④假設cos〔A﹣B〕?cos〔B﹣C〕?cos〔C﹣A〕=1，那么由三角形各個內角的范圍及內角和等于180°知，cos〔A﹣B〕=cos〔B﹣C〕=cos〔C﹣A〕=1，故有A=B=C，故△ABC是等邊三角形，故④正確．故答案為③④．點評：此題考查判斷三角形的形狀的方法，注意角的范圍及內角和等于180°，屬于中檔題．15．〔2010?重慶〕如圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經過同一點P〔點P不在C上〕且半徑相等．設第i段弧所對的圓心角為αi〔i=1，2，3〕，那么=．考點：兩角和與差的余弦函數；兩角和與差的正弦函數．專題：計算題；壓軸題．分析：根據cos〔α+β〕=cosαcosβ﹣sinαsinβ公式的逆運算得到，由題意可知，α1+α2+α3=2π得到cos=cos=．解答：解：，方法可令同過P點的三圓的交點分別是A，B，C，連接PA，PB，PC，可得得出∠APB+∠APC+∠BPC=2π因為在各個圓的半徑相等，故此三個角的大小都為由于在圓中同弦所對的圓周角互補，故在各個圓中，AB，BC，CA所與三角相對的圓周角為故AB，BC，CA所對的圓心角是，又α1+α2+α3=2π，所以．故答案為：．點評：此題考查學生利用兩角和與差的余弦函數的能力．16．〔2010?延慶縣一模〕直線y=2x+1和圓x2+y2=1交于點A，B兩點，以x軸的正方向為始邊，OA為終邊〔O是坐標原點〕的角為α，OB為終邊的角為β，那么sin〔α+β〕=．考點：兩角和與差的正弦函數．專題：常規題型；壓軸題．分析：先聯立方程得到點AB的坐標，進而得到α與β的正余弦值，再由兩角和與差的正弦公式可得答案．解答：解：聯立y=2x+1與x2+y2=1，解得：或，故A〔0，1〕B〔﹣，﹣〕∴cosα=0，sinα=1，cosβ=﹣，sinβ=﹣∴sin〔α+β〕=sinαcosβ+cosαsinβ=1×〔﹣〕+0×〔﹣〕=﹣故答案為：﹣點評：此題主要考查三角函數的概念和兩角和與差的正弦公式．屬根底題．三．解答題〔共14小題〕17．〔2011?廣東〕函數f〔x〕=2sin〔x﹣〕，x∈R〔1〕求f〔〕的值；〔2〕設α，β∈[0，]，f〔3α+〕=，f〔3β+2π〕=，求cos〔α+β〕的值．考點：兩角和與差的余弦函數；兩角和與差的正弦函數．專題：計算題；壓軸題．分析：〔1〕把x=代入函數f〔x〕的解析式中，化簡后利用特殊角的三角函數值即可求出對應的函數值；〔2〕分別把x=3α+和x=3β+2π代入f〔x〕的解析式中，化簡后利用誘導公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根據α和β的范圍，利用同角三角函數間的根本關系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用兩角和的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．解答：解：〔1〕把x=代入函數解析式得：f〔〕=2sin〔×﹣〕=2sin=；〔2〕由f〔3α+〕=，f〔3β+2π〕=，代入得：2sin[〔3α+〕﹣]=2sinα=，2sin[〔3β+2π〕﹣]=2sin〔β+〕=2cosβ=sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，所以cosα=，sinβ=，那么cos〔α+β〕=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．點評：此題考查學生掌握函數值的求法，靈活運用誘導公式及同角三角函數間的根本關系化簡求值，是一道中檔題．18．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．考點：二倍角的余弦；任意角的三角函數的定義．專題：計算題；壓軸題．分析：此題是一個三角恒等變換問題，解題的關鍵是減小角的倍數，化異為同，利用方程的思想解題是三角函數常見的做法，最后是給值求角的問題，注意不要漏解．解答：解：cos2x﹣sin2x=cosx+sinx，〔cosx+sinx〕〔cosx﹣sinx〕﹣〔cosx+sinx〕=0，〔cosx+sinx〕〔cosx﹣sinx﹣1〕=0．如果cosx+sinx=0那么得1+tgx=0，tgx=﹣1，∴如果cosx+sinx﹣1=0那么得cosx﹣sinx=1，∴，∴點評：此題是一個三角恒等變換問題，與初中學習銳角三角函數一樣，高中也要研究同角三角函數之間關系，弄清同角各不同三角函數之間的聯系，實現不同函數值之間的互相轉化．19．〔2015?惠州模擬〕設函數f〔x〕=cosx+sinx+1〔1〕求函數f〔x〕的值域和函數的單調遞增區間；〔2〕當f〔a〕=，且＜α＜時，求sin〔2α+〕的值．考點：三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象．專題：三角函數的求值；三角函數的圖像與性質．分析：〔1〕根據三角函數的關系式，即可求求函數f〔x〕的值域和函數的單調遞增區間．〔2〕根據三角函數的誘導公式即可得到結論．解答：解：〔1〕依題意f〔x〕=cosx+sinx+1=sin〔x+〕+1，∵﹣1≤sin〔x+〕≤1，那么∵0≤sin〔x+〕+1≤2，函數f〔x〕的值域是[0，2]，令﹣+2kπ≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，所以函數f〔x〕的單調增區間為[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．〔2〕由f〔a〕=sin〔α+〕+1=，得sin〔α+〕=，∵＜α＜，∴＜α+＜π時，得cos〔α+〕=，∴sin〔2α+〕=sin2〔α+〕=2sin〔α+〕cos〔α+〕=﹣2××=．點評：此題主要考查三角函數的圖象和性質以及三角函數求值，考查學生的運算能力，利用三角函數的誘導公式進行化簡即可得到結論．20．〔2015?資陽模擬〕函數f〔x〕=msinxcosx+mcos2x+n〔m＞0〕在區間上的值域為[1，2]．〔Ⅰ〕求函數f〔x〕的單調遞增區間；〔Ⅱ〕在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，假設f〔A〕=1，sinB=4sin〔π﹣C〕，△ABC的面積為，求邊長a的值．考點：三角函數中的恒等變換應用；余弦定理的應用．專題：三角函數的圖像與性質；解三角形．分析：〔Ⅰ〕函數可化簡為f〔x〕=，從而可根據其值域求出m，n的值，從而確定解析式，由正弦函數的性質即可確定單調區間；〔Ⅱ〕f〔A〕=1即可求得A，由sinB=4sin〔π﹣C〕，△ABC的面積為，可求得bc=4，根據余弦定理即可求邊長a的值．解答：解：〔Ⅰ〕===，當時，，那么．由m＞0，那么解得m=2，n=﹣1，所以，由〔k∈Z〕，故函數f〔x〕的單調遞增區間是，k∈Z．〔Ⅱ〕由，即，所以．因為sinB=4sin〔π﹣C〕，所以sinB=4sinC，那么b=4c，又△ABC面積為，所以，即bc=4，所以b=4，c=1，那么，所以．點評：此題主要考察了余弦定理的應用，三角函數中的恒等變換應用，三角形面積公式的應用，屬于中檔題．21．〔2015?資陽模擬〕向量=〔1，3cosα〕，=〔1，4tanα〕，，且?=5．〔Ⅰ〕求|+|；〔Ⅱ〕設向量與的夾角為β，求tan〔α+β〕的值．考點：兩角和與差的正切函數；數量積表示兩個向量的夾角．專題：計算題；三角函數的求值；平面向量及應用．分析：〔Ⅰ〕由向量的數量積的坐標公式化簡即得sinα，由同角公式，求得cosα，tanα，得到向量m，n，再由模的公式即可得到所求的值；〔Ⅱ〕運用向量的夾角公式，求得cosβ，進而得到sinβ，tanβ，再由兩角和的正切公式，即可得到所求的值．解答：解：〔Ⅰ〕由=〔1，3cosα〕，=〔1，4tanα〕，那么?=1+12cosαtanα=5，解得，因為，所以，．那么=〔1，2〕，=〔1，〕那么=，即有||==；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知=〔1，2〕，=〔1，〕，那么cosβ=cos＜＞==，即有，所以，所以．點評：此題考查平面向量的運用和兩角和的正切公式及運用，考查向量的數量積的坐標公式和性質及運用，考查運算能力，屬于中檔題．22．〔2014?天津〕函數f〔x〕=cosx?sin〔x+〕﹣cos2x+，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在閉區間[﹣，]上的最大值和最小值．考點：三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法．專題：三角函數的圖像與性質．分析：〔Ⅰ〕根據兩角和差的正弦公式、倍角公式對解析式進行化簡，再由復合三角函數的周期公式求出此函數的最小正周期；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕化簡的函數解析式和條件中x的范圍，求出的范圍，再利用正弦函數的性質求出再區間上的最大值和最小值．解答：解：〔Ⅰ〕由題意得，f〔x〕=cosx?〔sinxcosx〕====所以，f〔x〕的最小正周期=π．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得f〔x〕=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，那么∈[，]，∴當=﹣時，即=﹣1時，函數f〔x〕取到最小值是：，當=時，即=時，f〔x〕取到最大值是：，所以，所求的最大值為，最小值為．點評：此題考查了兩角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函數的性質，以及復合三角函數的周期公式應用，考查了整體思想和化簡計算能力，屬于中檔題．23．〔2014?福建〕函數f〔x〕=cosx〔sinx+cosx〕﹣．〔1〕假設0＜α＜，且sinα=，求f〔α〕的值；〔2〕求函數f〔x〕的最小正周期及單調遞增區間．考點：三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法．專題：三角函數的圖像與性質．分析：〔1〕利用同角三角函數關系求得cosα的值，分別代入函數解析式即可求得f〔α〕的值．〔2〕利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式進行恒等變換，進而利用三角函數性質和周期公式求得函數最小正周期和單調增區間．解答：解：〔1〕∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f〔α〕=cosα〔sinα+cosα〕﹣，=×〔+〕﹣=．〔2〕f〔x〕=cosx〔sinx+cosx〕﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin〔2x+〕，∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f〔x〕的單調遞增區間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．點評：此題主要考查了三角函數恒等變換的應用．考查了學生對根底知識的綜合運用．24．〔2014?江西〕函數f〔x〕=〔a+2cos2x〕cos〔2x+θ〕為奇函數，且f〔〕=0，其中a∈R，θ∈〔0，π〕．〔1〕求a，θ的值；〔2〕假設f〔〕=﹣，α∈〔，π〕，求sin〔α+〕的值．考點：三角函數中的恒等變換應用；函數奇偶性的性質．專題：三角函數的求值．分析：〔1〕把x=代入函數解析式可求得a的值，進而根據函數為奇函數推斷出f〔0〕=0，進而求得cosθ，那么θ的值可得．〔2〕利用f〔〕=﹣和函數的解析式可求得sin，進而求得cos，進而利用二倍角公式分別求得sinα，cosα，最后利用兩角和與差的正弦公式求得答案．解答：解：〔1〕f〔〕=﹣〔a+1〕sinθ=0，∵θ∈〔0，π〕．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f〔x〕為奇函數，∴f〔0〕=〔a+2〕cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．〔2〕由〔1〕知f〔x〕=〔﹣1+2cos2x〕cos〔2x+〕=cos2x?〔﹣sin2x〕=﹣，∴f〔〕=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈〔，π〕，∴cosα==﹣，∴sin〔α+〕=sinαcos+cosαsin=．點評：此題主要考查了同角三角函數關系，三角函數恒等變換的應用，函數奇偶性問題．綜合運用了所學知識解決問題的能力．25．〔2014?江蘇〕函數f0〔x〕=〔x＞0〕，設fn〔x〕為fn﹣1〔x〕的導數，n∈N*．〔1〕求2f1〔〕+f2〔〕的值；〔2〕證明：對任意n∈N*，等式|nfn﹣1〔〕+fn〔〕|=都成立．考點：三角函數中的恒等變換應用；導數的運算．專題：函數的性質及應用；三角函數的求值．分析：〔1〕由于求兩個函數的相除的導數比擬麻煩，根據條件和結論先將原函數化為：xf0〔x〕=sinx，然后兩邊求導后根據條件兩邊再求導得：2f1〔x〕+xf2〔x〕=﹣sinx，把x=代入式子求值；〔2〕由〔1〕得，f0〔x〕+xf1〔x〕=cosx和2f1〔x〕+xf2〔x〕=﹣sinx，利用相同的方法再對所得的式子兩邊再求導，并利用誘導公式對所得式子進行化簡、歸納，再進行猜測得到等式，用數學歸納法進行證明等式成立，主要利用假設的條件、誘導公式、求導公式以及題意進行證明，最后再把x=代入所給的式子求解驗證．解答：解：〔1〕∵f0〔x〕=，∴xf0〔x〕=sinx，那么兩邊求導，[xf0〔x〕]′=〔sinx〕′，∵fn〔x〕為fn﹣1〔x〕的導數，n∈N*，∴f0〔x〕+xf1〔x〕=cosx，兩邊再同時求導得，2f1〔x〕+xf2〔x〕=﹣sinx，將x=代入上式得，2f1〔〕+f2〔〕=﹣1，〔2〕由〔1〕得，f0〔x〕+xf1〔x〕=cosx=sin〔x+〕，恒成立兩邊再同時求導得，2f1〔x〕+xf2〔x〕=﹣sinx=sin〔x+π〕，再對上式兩邊同時求導得，3f2〔x〕+xf3〔x〕=﹣cosx=sin〔x+〕，同理可得，兩邊再同時求導得，4f3〔x〕+xf4〔x〕=sinx=sin〔x+2π〕，猜測得，nfn﹣1〔x〕+xfn〔x〕=sin〔x+〕對任意n∈N*恒成立，下面用數學歸納法進行證明等式成立：①當n=1時，成立，那么上式成立；②假設n=k〔k＞1且k∈N*〕時等式成立，即，∵[kfk﹣1〔x〕+xfk〔x〕]′=kfk﹣1′〔x〕+fk〔x〕+xfk′〔x〕=〔k+1〕fk〔x〕+xfk+1〔x〕又===，∴那么n=k+1〔k＞1且k∈N*〕時．等式也成立，由①②得，nfn﹣1〔x〕+xfn〔x〕=sin〔x+〕對任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nfn﹣1〔〕+fn〔〕=sin〔+〕=±cos=±，所以，對任意n∈N*，等式|nfn﹣1〔〕+fn〔〕|=都成立．點評：此題考查了三角函數、復合函數的求導數公式和法那么、誘導公式，以及數學歸納法證明命題、轉化思想等，此題設計巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的好題，難度很大，考查了學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，以及邏輯思維能力．26．〔2014?四川〕函數f〔x〕=sin〔3x+〕．〔1〕求f〔x〕的單調遞增區間；〔2〕假設α是第二象限角，f〔〕=cos〔α+〕cos2α，求cosα﹣sinα的值．考點：兩角和與差的余弦函數；正弦函數的單調性．專題：三角函數的求值．分析：〔1〕令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．〔2〕由函數的解析式可得f〔〕=sin〔α+〕，又f〔〕=cos〔α+〕cos2α，可得sin〔α+〕=cos〔α+〕cos2α，化簡可得〔cosα﹣sinα〕2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，從而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：〔1〕∵函數f〔x〕=sin〔3x+〕，令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函數的增區間為[﹣，+]，k∈z．〔2〕由函數的解析式可得f〔〕=sin〔α+〕，又f〔〕=cos〔α+〕cos2α，∴sin〔α+〕=cos〔α+〕cos2α，即sin〔α+〕=cos〔α+〕〔cos2α﹣sin2α〕，∴sinαcos+cosαsin=〔cos2α﹣sin2α〕?〔sinα﹣cosα〕，即〔sinα﹣cosα〕=?〔cosα﹣sinα〕2?〔sinα+cosα〕，又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，當sinα+cosα=0時，此時cosα﹣sinα=﹣．當sinα+cosα≠0時，此時cosα﹣sinα=﹣．綜上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．點評：此題主要考查正弦函數的單調性，三角函數的恒等變換，表達了分類討論的數學思想，屬于中檔題．27．〔2014?江蘇〕α∈〔，π〕，sinα=．〔1〕求sin〔+α〕的值；〔2〕求cos〔﹣2α〕的值．考點：兩角和與差的正弦函數；兩角和與差的余弦函數．專題：三角函數的圖像與性質．分析：〔1〕通過條件求出cosα，然后利用兩角和的正弦函數求sin〔+α〕的值；〔2〕求出cos2α，然后利用兩角差的余弦函數求cos〔﹣2α〕的值．解答：解：α∈〔，π〕，sinα=．∴cosα=﹣=〔1〕sin〔+α〕=sincosα+cossinα==﹣；∴sin〔+α〕的值為：﹣．〔2〕∵α∈〔，π〕，sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos〔﹣2α〕=coscos2α+sinsin2α==﹣．cos〔﹣2α〕的值為：﹣．點評：此題考查兩角和與差的三角函數，三角函數的根本關系式的應用，考查計算能力．28．〔2014?江西〕函數f〔x〕=sin〔x+θ〕+acos〔x+2θ〕，其中a∈R，θ∈〔﹣，〕〔1〕當a=，θ=時，求f〔x〕在區間[0，π]上的最大值與最小值；〔2〕假設f〔〕=0，f〔π〕=1，求a，θ的值．考點：兩角和與差的正弦函數；兩角和與差的余弦函數；正弦函數的定義域和值域．專題：三角函數的求值．分析：〔1〕由條件利用兩角和差的正弦公式、余弦公式化簡函數的解析式為f〔x〕=﹣sin〔x﹣〕，再根據x∈[0，π]，利用正弦函數的定義域和值域求得函數的最值．〔2〕由條件可