創新學習與理科建模

一個殘缺的國際象棋棋盤,它有兩個角被切掉了,現只剩下62個正方形。假若你有31張牌,每一張恰好可以遮蓋棋盤上兩個正方形。你是否能夠用牌把這個棋盤上的所有部分蓋住呢?有A、B兩人，他們每人拿了一張卡片，這兩張卡片都寫著一個正整數，已知兩數之差為1。但每人只能看見對方手里的數字而不知道自己的。下面是他們兩人的一段對話：

A:我不知道我拿的是什么數。

B:我也不知道我拿的是什么數。

A:我還是不知道我拿的是什么數。

B:我還是不知道我拿的是什么數。

A:我也還是不知道我拿的是什么數。

B:我現在知道我拿的是什么數了。

A:我也知道我拿的是什么數了。兩人拿的分別是什么數？“創新就是和別人看同樣的東西卻能想出不同的事情”諾貝爾物理獎獲得者艾伯特·詹奧吉

屠呦呦諾貝爾生理或醫學獎得主

《肘后備急方》

（青蒿一握，以水漬之，絞取汁，盡服之）8910“分形”一詞譯于英文Fractal。Mandelbrot發現整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構。。13創新性學習的典型代表理科學科建模問題：樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？9只？還是0只？這是一道腦筋急轉彎。但他一樣是數學建模問題，不過答案就不重要了，重要的是思維過程。數學建模高手應該這樣回答這道題！

關于槍的假設：是有聲手槍還是無聲手槍？是有聲手槍。槍聲有多大？80—100分貝。那就是說會震得耳朵疼？是。關于鳥的假設您確定鳥里真的沒有聾子？沒有。有沒有關在籠子里的？沒有。邊上還有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他的鳥？沒有有沒有殘疾的鳥或餓得飛不動的鳥？沒有。打鳥的人眼有沒有花？保證是十只？沒有花，就十只。有沒有傻得不怕死的鳥？都怕死。會不會一槍打死兩只？不會。所有的鳥都可以自由活動嗎？完全可以。如果您的回答沒有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來。那么就剩一只，若果掉下來，就一只不剩。不是開玩笑，這就是數學建模。盡可能多角度，多維度的思考問題，這是數學建模的思維特性。

數學模型（MathematicalModel）

對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學表述.數學建模（MathematicalModeling）應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的全過程。（包括表述、求解、解釋、檢驗等）建模旨在培養“用知識”的能力建模與其說是一門技術(大致有章可循)，不如說是一門藝術(無法歸納成普遍適用的準則）操作性思想方法：換元法、配方法、待定系數法、割補法、構造法、等。邏輯性思想方法：抽象、概括、分析、綜合、演繹等。策略性思想方法方程與函數、化歸、猜想、數形結合、整體與系統等。操作性思想方法、策略性思想方法，邏輯性思想方法從思維的角度上看，層次是逐漸上升的。思想方法層次預測模型評價模型經濟、人口的增長，資源、能源的消耗等優化模型

初等模型常見的模型產品的生產，資源的分配等幾何圖形模型、方程或不等式模型、函數模型某一決策方案的好壞，三好學生的評判等1、學校食堂排隊（優化模型）2、房價趨勢（預測模型）3、評價模型復旦大學自主招生試題：玉皇大帝與如來佛祖誰大？目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過程的歸納

將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P。每層有若干元素，各層元素間的關系用相連的直線表示。

通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重。將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重。將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。對中學生來說，建模就是應用所學知識解決實際問題！中學學科建模的意義

1.培養創新意識和創造能力

2．訓練快速獲取信息和資料的能力

3．鍛煉快速了解和掌握新知識的技能

4．培養團隊合作意識和團隊合作精神

5．增強寫作技能

6．增強發現問題與解決問題的能力

7．優秀論文可在權威期刊發表，獲得升學推力

8．更重要的是訓練人的邏輯思維和開放性思考方式建模原則

必須以實驗、調查所得的數據為基礎,以事實為依據。利用實驗、調查可以積累數據?形成表象,再經過抽象概括,從而“提煉”出模型?另外,模型正確與否及其適用范圍,都必須以實驗事實為標準來判斷,并隨著新的實驗事實的出現而不斷修正?完善和發展。建模思維：綜合應用各種思維方法,才能建立正確的模型

(1)抽象思維?形象思維兩種思維方式不可偏廢?（2）收斂思維與發散思維相結合（3）邏輯思維與辯證思維是保證假說?由于事物的復雜性,某些事物的本質?組成?結構?規律等比較隱蔽,人們當時還搞不清楚,這時就要在觀察?實驗?思維的基礎上提出假設,建立起一個模型?重要的思維方法！---假設建模方法（1）類比法（2）控制變量法（3）調查統計法（4）動態模擬法（5）估算法建模成功與否，關鍵在假設，在切合實際與科學簡化之間選擇恰當的平衡點,體現了建模工作的想象力和創造力。“合理的假設”主要作用是簡化問題以便在有限的時間內能應用所學知識產生解決方案、提供某些必須而又無法采集到的信息。最后通過靈敏度分析，檢驗模型的可信度和有效度。一人看到閃電12.3s后又聽到雷聲。已知空氣中的聲速約為330m/s~340m/s，光速為3×108m/s，于是他用12.3除以3很快估算出閃電發生位置到他的距離為4.1km。根據你所學的知識可以判斷。A.這種估算方法是錯誤的，不可采用。B.這種估算方法可以比較準確地估算出閃電發生位置與觀察者間的距離。C.這種估算方法沒有考慮光的傳播時間，結果誤差很大。D.即使聲速增大2倍以上，本題的估算結果依然正確。模型準備模型假設模型構成模型求解模型檢驗模型應用

數學建模的一般步驟數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)現實世界數學世界分類標準具體類別對某個實際問題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型表現特征確定性模型和隨機型模型、靜態模型和動態模型、線性模型和非線性模型、連續模型和離散模型建模中所用的數學方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優化模型、概率模型等研究課題的實際范疇人口模型、生態系統模型、交通流模型、經濟模型、基因模型等數學模型的分類托勒密、哥白尼、伽利略等人收集了大量的天體運行的數據資料。開普勒利用第谷近30年詳細的天文觀測資料，發現了行星運動三大定律。牛頓建立行星運動學方程的數學模型。建立了微積分，發展數學理論，從理論上證明開普勒三大定律。亞當斯和勒威耶分別運用天文觀測資料和牛頓模型計算出海王星的軌道和位置。柏林天文臺臺長伽勒根據勒威耶的報告觀測到海王星，驗證了牛頓所建模型的正確性。模型準備模型構成模型求解模型應用模型檢驗包湯圓問題通常1公斤面1公斤餡包100個湯圓，今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問應多包幾個（每個湯圓包小一些），還是少包幾個（每個湯圓包大一些）？

第一步：問題的提出

將實際問題翻譯成數學問題

要將問題加以分解，分成幾個層次或部分

必要時還要先學習其背景知識

預先判斷即將建立什么樣的模型

經驗介紹歸結為數學上的面積和體積的問題

包湯圓問題—問題的分析

數學問題

圓面積為S的一個皮，可以包成體積為V的湯圓．若將其分成n個皮，每個圓面積為s，包成體積為v，則V和nv哪個大呢？Ssss…Vvvv(共n個)第二步:量的分析

經驗介紹首先要分清量的類型其次要分清哪些是主要量，哪些是次要量。再次，要分清量之間的關系

為了建立的模型的可讀性，確定了量之后，最好用字母進行表示,一般處理大型問題的論文中，需要對量的設置單列一項符號說明。包湯圓問題—符號說明R：大皮的半徑。r：小皮的半徑．第三步:模型的假設

為了問題的規范化，模型的嚴密性。簡化問題兩個目的經驗介紹略去枝節，保留主干，深刻認識后再添枝加葉。斬斷一些關系，分割成幾個小問題。重要提示：假設要合理。包湯圓問題—模型的假設1．皮的厚度一樣。2．湯圓的形狀一樣，假設是球形。3．每種包法湯圓的大小一樣．包湯圓問題—模型的建立第四步:模型的求解

求解方法解方程，圖解，定理證明，邏輯推理，數值計算，統計分析等．特別是數學軟件和計算機技術．

有時候得到比較優的解也是滿意的．求解的過程當中，可能還要對模型不斷的進行修改，從而得到問題的更好的結果．有時候也會對求解方法不斷更新，以得到模型的更好結果．經驗介紹包湯圓問題—模型的求解第五步:結果的分析對求解的結果可能需要誤差分析，統計分析。模型對參數的靈敏度分析。對假設的強健性分析。變量之間的依賴性分析，穩定性分析。結果對實際問題的意義。參數在實際問題的中的作用。對模型進行評價，優化，甚至重新建模。第六步:模型的檢驗

把求解的和分析的結果翻譯回到實際問題，與實際的現象、數據比較，檢驗模型的合理性和適用性．一個成功的模型往往是一個多次對建模步驟循環的結果．

對于包湯圓問題，我們已經在定性分析上解決了原問題，即應該少包幾個．更進一步，我們可以進行定量分析，如果100個湯圓可以包1公斤餡，那么50個湯圓可以包多少餡呢？包湯圓問題—結果的分析100是50的2倍，所以50個湯圓可以包大約1．4公斤左右的餡第八步:模型的應用

模型的應用是數學建模的宗旨．一個好的模型或方法，不光可以解決目前的實際問題，還應該在更廣闊的空間有著更廣泛的應用．

市場上牙膏、香皂和洗發精等日用品，同一種品牌一般有規格大小不同的包裝，你是選擇購買大包裝還是購買小包裝才實惠呢？包湯圓問題—模型的推廣交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態——亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。設想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們仍能穿過馬路。

馬路的寬度D是容易測得的，問題的關鍵在于L的確定。為確定L，還應當將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機在發現黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間內駛過的路程，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間t1早有測算，反應時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來。黃燈究竟應當亮多久現在已經變得清楚多了。第一步，先計算出L應多大才能使看見黃燈的司機停得住車。第二步，黃燈亮的時間應當讓已過線的車順利穿過馬路，即T至少應當達到（L+D）/v。

DL餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會燙手，但也不能太低，否則不干凈。由于想節省開支，餐館老板想了解一池熱水到底可以洗多少盤子，請你幫他建模分析一下這一問題。盤子有大小嗎?是什么樣的盤子？盤子是怎樣洗的?………不妨假設我們了解到：盤子大小相同，均為瓷質菜盤，洗滌時先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后一清洗。

不難看出，是水的溫度在決定洗盤子的數量

。盤子是先用冷水洗過的，其后可能還會再用清水沖洗，更換熱水并非因為水太臟了，而是因為水不夠熱了。

那么熱水為什么會變冷呢？假如你想建一個較精細的模型，你當然應當把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池熱水平均大約可以洗多少盤子，殺雞焉用牛刀？

不妨可以提出以下簡化假設：（1）水池、空氣吸熱不計，只考慮盤子吸熱，盤子的大小、材料相同（2）盤子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數，開始溫度為T1，最終換水時的溫度為T2（4）每個盤子的洗滌時間△T是一個常數。（這一假設甚至可以去掉不要）根據上述簡化假設，利用熱量守衡定律，餐館老板的問題就很容易回答了，當然，你還應當調查一下一池水的質量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數和質量等。

可見，假設條件的提出不僅和你研的問題有關，還和你準備利用哪些知識、準備建立什么樣的模型以及你準備研究的深入程度有關，即在你提出假設時，你建模的框架已經基本搭好了。

2012美賽A題：一棵樹的葉子

“一棵樹的葉子有多重？”怎么能估計樹的葉子（或者樹的任何其它部分）的實際重量？怎樣對葉子進行分類？建立一個數學模型來對葉子進行描述和分類。模型要考慮和回答下面的問題：

?為什么葉子具有各種形狀？

?葉子之間是要將相互重疊的部分最小化，以便可以最大限度的接觸到陽光嗎？樹葉的分布以及樹干和枝杈的體積影響葉子的形狀嗎？

?就輪廓來講，葉形（一般特征）是和樹的輪廓以及分枝結構有關嗎？

?你將如何估計一棵樹的葉子質量？葉子的質量和樹的尺寸特征（包括和外形輪廓有關的高度、質量、體積）有聯系嗎？除了你的一頁摘要以外，給科學雜志的編輯寫一封信，闡述你的主要發現。四足動物的身長和體重問題四足動物的軀干（不包括頭尾）的長度和它的體重有什么關系？這個問題有一定的實際意義。比如，一個在生豬收購站或屠宰場工作的人，往往希望能從生豬的身長估計它的重量。四足動物的生理構造因種類不同而異，如果陷入生物學對復雜的生理結構的研究，將很難得到什么有價值的模型。為此我們可以在較粗淺的假設的基礎上，建立動物的身長和體重的比例關系。本問題與體積和力學有關，搜集與此有關的資料得到彈性力學中兩端固定的彈性梁的一個結果：模型準備

長度為L的圓柱型彈性梁在自身重力f作用下,彈性梁的最大彎曲v與重力f和梁的長度立方成正比，與梁的截面面積s和梁的直徑d平方成反比，即。模型假設1.設四足動物軀干（不包括頭尾）長度為L、斷面直徑為d的圓柱體，體積為m。2.四足動物的軀干（不包括頭尾）重量與其體重相同，記為f。3.四足動物可看做一根支撐在四肢上的彈性梁,其腰部的最大下垂對應彈性梁的最大彎曲，記為v。dlf根據彈性理論對這種梁的研究,有

v/l

太大,四肢將無法支撐。v/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀體的需要，無疑是一種浪費。是動物的相對下垂。因此從生物學的角度可以確定，經過長期進化，對于每一種動物，v/l已經達到其最合適的數值，即是一個常數（當然，不同種類的動物，常數值不同）于是可以得出：體重與軀干長度的四次方成正比。ProblemB:GoingGreenTheUnitedStatescanaddressitsnationalcarbonfootprintintwoways:byreducingcarbondioxideemissionsorbyincreasingcarbondioxideconsumption(sequestration).AssumethatthetotalU.S.carbondioxideemissionsarecappedat2007-2008levelsindefinitely.WhatshouldtheU.S.dotoincreasecarbondioxideconsumptiontoachievenationalcarbonneutralitywithminimaleconomicandculturalimpact?Isitevenpossibletoachieveneutrality?Modelyoursolutiontoshowfeasibility,effectiveness,andcosts.PrepareashortsummarypaperfortheU.S.Congresstopersuadethemtoadoptyourplan.

建模論文寫作須知一、如何準備你的論文資料1、選擇一個研究對象（可以是一種現象、一種物體或一個事件等）2、初步確定課題選擇完研究對象后，可到圖書館、網絡等查詢相關信息，收集資料，若有條件，可與該領域的專家進行溝通。67選題新穎，有意義，力所能及.1.有意義和價值－－真實問題2.有基礎－－善于觀察3.有特色－－發揮想象力4.問題可行－－仔細推敲選題：經濟類：房價、車價、股票、旅游、物價、油耗、理財。優化類：路線、排隊、家具擺放、紅綠燈問題。家電節能、出行方式選擇。策略類：學習計劃、游戲攻略、環境污染。

市場營銷(廣告預算和媒介選擇，競爭性定價，新產品開發，制定銷售計劃。)

生產計劃制定(合理下料，配料，“生產計劃、庫存、勞力綜合”。)

庫存管理(合理物資庫存量，停車場大小，設備容量。)

預測問題

運輸問題

財政、會計(預算，貸款，成本分析，投資，證券管理。)

人事(人員分配，人才評價，工資和獎金的確定。)

設備管理(維修計劃，設備更新。)

城市管理(供水，污水管理，服務系統設計、運用。)

投入產出問題

綜合評價問題3、材料組織整理組織你所學到的關于該課題的所有知識，在這一步驟中你應該通過把思想集中在某個范圍內來慢慢確定你的假設。4、制定一個時間表選定一個不僅僅使你感興趣，而且可以在你所有的時間內完成的課題，用一個日歷標出完成的日期。為調查、實驗或收集資料留出充足的時間，并且要留出時間來具體撰寫論文。5、設計你的調