2024年1月“七省聯考”考前猜想卷

數學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

9101112

ACACDACDAB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.=x（答案不唯一）14.3

5

15.—16.3兀

32

四、解答題：本題共6小題，共70分.第17題10分，其他每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

【解析】（）點（---，一）在直線上

17.1ay=x+2

4+1n

得廣4=2,

---------------------2分

是以首項為￡=公差為2的等差數歹U.

所以數列--------------------3分

故工=工+2(〃-1)=2〃-1,即q“=1

---------------------5分

a?2n-l

1111

⑵an+ian=---------------------6分

(2?-l)(2n+l)2<2M-12n+l

11111

所以】二11-14—-]—

232212〃-12〃+1

1111-11

<—---------------------8分

23352n-l2〃+l22〃+12

要使7；<3加-12對〃EN*恒成立,

1OS

3m———---------------------9分

23

又meZ,所以加的最小值為9.--------------------10分

18.

【解析】(1)因為c-2Z?cosA=b,

由正弦定理得sinC-2sinBcosA=sinB2分

又4+5+。=兀，所以sin(A+B)-2sinBcosA=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-3)=sinB---------3分

因為[]A8C為銳角三角形，所以A-BEj

又＞=$11?在，2段）上單調遞增，所以A-B=B,即A=22；----------------------5分

（2）由（1）可知，A=25,所以在△A8O中，NABC=NBAD,

ADAB21

由正弦定理得：氤=麗花=瑞麗,所以40=2。=成,--------------7分

^^XS=-xABxADxsinB==tanB.---------------------9分

aABD2cosB

又因為口ABC為銳角三角形,

'JI'J?1JI

所以0<8<—，0<2B<—,0<兀一3B<一,解得一<B<一,--------------11分

22264

所以tanBq]-』，即△A3。面積的取值范圍為-y,l---------------------12分

19.【解析】（1）?0.99-----------------2

分

—1_

(2)因為x=1x(1+2+3+4+5)=3,y=590?

￡(尤,-尤)2=10,￡卜_尤)(y,_y)=1320,

-------------------4分

Z=1Z=1

八Zk，T(y-3)1320

所以b=-----------------==132,0=590-132x3=194,------------------6分

2卜「年10

Z=1

所以變量X,y之間的線性回歸方程為》=132x+194,

當x=7時，y=132x7+194=1118(萬元).

所以預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額為1118萬元.8分

(3)補全完整的列聯表如下.

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計

女性25530

男性151025

總計401555

--------------9分

零假設“。：參加直播帶貨與性別無關，

2

根據以上數據，經計算得到K=55x(25x10-5x151°>2706=----------------------11分

30x25x40x15°」

根據小概率值。=0.1的獨立性檢驗我們推斷“。不成立，即參加直播帶貨與性別有關，該判斷犯錯

誤的概率不超過10%.--------------12分

20.【解析】(1)如圖所示：

當點G為相的中點時，EG〃平面4DE,--------------1分

證明如下：設H為。E中點，連接口,4〃.

因為在三棱柱A8C-44G中，BB\HCCJM，--------------2分

口，及尸^分別為^^^^0/里的中點，

所以FH//EC//A.G,且FH=EC=AlG,

所以四邊形AGFH為平行四邊形.

所以尸G〃4”,--------------4分

又因為A"u平面4。石，FG①平面4DE,

所以PG〃平面ADE.?5分

(2)如圖所示:

取A8中點。，連接。4,4旦,。。.

因為AB=A4t=BBX,NABB]=60°,

所以口AB片為正三角形，所以片。,A3.6分

又因為平面平面ABC,平面A41420平面ABC=AB,qOu平面

所以4。，平面ABC,

又CO,A。u平面ABC,

所以B|O_LCO,4(9_LA。，

因為［1ABC為等邊三角形，所以0CLA3.----------------------7分

以。為原點，分別以0coA,0月所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

依題意得40,3,0),8(0,-3,0),C(36,0,0),4(0,6,36),4(0,0,36),。0,-g,手)，---------8分

所以麗=0,￡,孚］,DE=BC=(3y/3,3,0).

設平面ADE的法向量五=(x,%z),

"y+述z=。

n-DA=0

則由＜J2,得22令兀=1,得〃=(1,一6,5).--------------------9分

元

DE=O36x+3y=0

取平面ABC的法向量慶二(0,0,1),

設平面ADE與平面ABC所成二面角的大小為6,

I\I/—*一\|m-n55A/29

貝肥。網n二卜。乂九〃）卜郎二淀二丁，--------------U分

所以sin6=Vl-cos20=2y,

29

所以平面AQE與平面ABC所成二面角的正弦值為笠I.--------------12分

[x+y+l=0

21.【解析】（1）聯立｛,\,消y得尤2+2川+20=0,

[X=2py

因為直線x+y+l=0與拋物線C:x2=2py(p>0)相切，

所以A=4p2-8p=0,解得"=2或。=。(舍去)，-------------2分

當p=2時，x2+4x+4=0,解得尤=-2,所以y=1,-------------4分

所以拋物線C的方程為V=4y,點A的坐標為(-2,1)；--------------5分

(2)顯然直線/的斜率存在，

可設為y=^+6，M(Xi，X)，N(%2，%)，

fy=kx+b

由<2A，消丁得工之一4履-4z?=o,

[x=4y

則A=16/+i6b〉0,

xy+x2=4k,x1x2=-4b,----------------------7分

AAf=(再+2,%-1),AN—+2,%-1)，

因為以MN為直徑的圓過點A,

所以疝.而二0，

即(羽+2)(%+2)+(%-1)(%-1)=0,--------------8分

整理可得(k+1)尤]尤2+[左(b—1)+2](玉+%)+(6_])-+4=0,

2

所以一4b(左2+1)+462(/7-1)+8^+(/?-1)+4=0,

化簡得-66+9=4左z—8左+4,

所以(b-3)2=儂-2)2,

所以6-3=2"2或6-3=2-2%,

即8=2k+1或匕=_2k+5,--------------9分

當Z?=2左+1時，直線/:y=履+2%+1,

即y-l=Mx+2）,所以直線/過定點（一2,1）（舍去），-------------10分

當b—3=2—2左時，直線/：y=立一2左+5,滿足A>0,

即丫一5=人（無一2）,所以直線/過定點。（2,5）,----------------------11分

當直線/與AQ垂直時，點A到直線/的距離最大，

又幻。=2-（-2）=1，所以勺=T，

所以直線/的方程為x+y-7=0.-------------------12分

22.【解析】（1）解：〃x）的定義域為（2,+8）,

當a=l時，/(x)=(x-l)ln(x-2)-x+3,

y—11

/(%)=111(^-2)+---l=ln(x-2)+----------------------2分

設g(尤)=ln(x-2)+-^―,

x—2

11x-3

則晨（%）二

x-2(%一2『

令g'（x）=0，解得X=3,--------------------4分

當xe（2,3）時，g[x）<0,g（x）單調遞減,

當尤e（3,+co）,g，（無）>0,g（尤）單調遞增.

所以，gGZ-g⑶=1>°，則g（x）=/'（尤）>。對任意的x>2恒成立，

所以，函數/（x）的單調遞增區間為（2,+co）,無遞減區間.---------------------6分

（2）解：當x>3時，〃x）>0恒成立等價于ln（x-2）-應一>0在（3,+⑹上恒成立，

設/?（