滿裝球軸承具有體積小、質量輕、高承載等特點,在航空發動機的主軸系統,機器人的變速裝置以及步進電動機的機械結構中廣泛使用。滿裝球軸承在某些無人平臺上通過擺動或低速轉動控制平臺的運行狀態,需不斷啟停和加速,此時軸承處于非穩定狀態,球的轉速將在短時間內增加。當球與溝道之間的牽引摩擦力不足以克服滾動阻力、重力、加速度阻力時就會發生打滑。打滑會引起接觸區域的表面磨損,破壞軸承接觸表面間的潤滑狀態，降低軸承的可靠性和壽命。因此，研究此類滿裝球軸承的動態性能具有重要的意義。針對滾動軸承的動態性能,國內外很多學者開展了相關研究,但涉及無保持架滿裝球軸承的研究較少:基于滾動軸承動力學理論建立了頻繁擺動工況下深溝球軸承的動力學微分方程.本文在球軸承動力學和摩擦學的基礎上,建立滿裝球軸承的非線性動力學微分方程,以某無人平臺用擺動工況下的高載荷滿裝球軸承為研究對象,研究結構參數對軸承疲勞壽命的影響,同時采用正交分析法對軸承結構參數進行優化。1滿裝球軸承的動力學分析模型1.1參考坐標系如圖1所示,坐標系{O,x,y,z}在空間固定,稱為慣性標架,原點位于內圈中心,徑向平面為yOz平面,x軸與軸承軸線重合;內圈坐標系為Si={Oi,xi,yi,zi},初始位置、方向與慣性坐標系重合,隨內圈運動;鋼球坐標系Sbj={Obj,xbj,ybj,zbj}為動坐標系;接觸面的局部坐標系為SHi(e)j={H,ξ,η}i(e)j;下標j代表第j個球;下標i,e分別代表內、外圈。圖1軸承坐標系Fig.1Coordinatesystemsofbearing1.2相鄰鋼球之間的接觸模型相鄰2個鋼球之間的相互作用模型如圖2所示,設鋼球之間的法向碰撞力為Fb,鋼球之間的摩擦力為fb,內圈角速度為ωi,鋼球自轉角速度為ωb;外圈靜止,鋼球以公轉角速度ωm勻速轉動,若將鋼球中心固定可將軸承運動等效為內圈角速度ωi-ωm;外圈相對于鋼球的角速度為ωm。圖2相鄰2個鋼球之間的相互作用模型Fig.2Interactionmodelbetweentwoadjacentsteelballs根據剛體之間的接觸碰撞理論得到鋼球之間法向碰撞力Fb的數學表達式[12]。當q≤q1時,Fb1(2)=0;當q>q1時,Fb1(2)為式中:Kn為剛度系數;q1為相鄰2個鋼球的實際測量距離;q為相鄰2個鋼球建模時質心之間的距離,q>q1時,2個鋼球接觸并產生壓力,反之不接觸;e為力的指數;cmax為最大阻尼系數;為相對速度;step(*)為階躍函數;d為阻尼達到最大值時的切入量。相鄰鋼球之間的摩擦力fb為可根據給定的牽引模型確定與鋼球之間滑動速度有關的牽引系數μ。1.3鋼球動力學微分方程組球與套圈間的作用力如圖3所示,

Qi(e)j為球與溝道之間的法向接觸力;Tηij,Tηej,Tξij,Tξej為球與溝道接觸面之間的拖動力;FRηij,FRηej,FRξij,FRξej為球與溝道之間的流體動壓摩擦力。圖3鋼球受力分析Fig.3Stressanalysisofsteelball鋼球的動力學微分方程組為式中:mb為鋼球質量;Dw為鋼球直徑;Gzj為鋼球在zbj方向的慣性力矩;FHηi(e)j為流體阻力的水平分量;Fηj,Fτj為鋼球運動過程中所受的慣性力分量;Jx,Jy,Jz分別為鋼球在xbj,ybj和zbj方向的慣性力矩;分別為鋼球質心在xbj,ybj和zbj方向的加速度;

分別為鋼球質心在xbj,ybj和zbj方向的角速度;αij,αej為球與溝道之間的工作接觸角;Ai(e)為內(外)圈接觸面坐標系與鋼球質心坐標系間的旋轉矩陣。1.4內圈動力學微分方程組內圈主要受外載荷以及鋼球、潤滑劑在接觸區產生的力,內圈的動力學微分方程組為式中:Fx,Fy,Fz為內圈在慣性坐標系下x,y和z方向受到的外載荷;mi為內圈質量;

My,Mz為內圈在慣性坐標系下y和z方向受到的額外力矩;為內溝曲率半徑中心軌跡的圓半徑;φj為鋼球在全局坐標系下的方位角;fi為內溝曲率半徑系數;C為在慣性坐標系下內圈接觸面坐標系與鋼球質心坐標系間的旋轉矩陣。1.5動力學方程組計算流程由上述分析可知,軸承動力學模型主要由非線性方程組組成,利用GSTIFF變步長積分算法對方程組進行求解計算,主要計算流程如圖4所示。圖4非線性方程組的計算流程Fig.4Solutionprocedureofnonlinearequations首先,輸入滿裝球軸承的結構參數和工況參數,因軸承采用脂潤滑,還需輸入潤滑脂基礎油參數、軸承零件的材料參數;然后,由初始約束條件(外載荷、內圈轉速、接觸參數等)計算軸承零件位置和運動向量;最后,根據滾動軸承動力學理論、剛體接觸模型,利用GSTIFF變步長積分算法對(1)—(7)式進行求解,并判斷求解誤差是否滿足收斂要求(總誤差<10-3),滿足要求則輸出軸承零件的位置和運動向量,并作為下一步長的初始值求解。求解一個擺動周期內各個時刻的非線性方程組,并改變初始參數可得到軸承的接觸載荷、額定壽命、徑向剛度和摩擦力矩等動態性能的變化規律。2擺動工況下軸承疲勞壽命計算模型2.1擺動工況擺動指軸承套圈從一個極限位置運轉到另一個極限位置的往復運動。即從0°位置開始,到最大擺動角Ai經歷的時間是1/4次循環或T/4,T為擺動周期。可以對套圈運動的輸入采用余弦形式,如圖5所示。圖5擺動工況曲線Fig.5Curveofswingcondition內圈轉速為式中:fi為擺動頻率;t為擺動時間。2.2擺動工況下軸承疲勞壽命的修正套圈額定壽命L10i(e)計算公式為(9)式中:Qc為額定球載荷;Qe為當量球載荷;點接觸時ε=3。額定球載荷的計算公式為Qci(e)=(10)γ=(Dwcos

α)/Dpw,式中:對于普通軸承鋼,A=98.1;Ri(e)為溝曲率半徑;R為球素線的曲率半徑;γ為量綱一的參數;Dpw為球組節圓直徑;Z為鋼球數;內圈取“-”,外圈取“+”。相對載荷方向旋轉的套圈的當量球載荷為(11)式中:Qj為第j個鋼球與套圈間的接觸載荷;點接觸時s=3;下標u表示套圈相對載荷方向旋轉。相對載荷方向靜止套圈的當量球載荷為(12)式中:點接觸時w=10/3;下標v表示套圈相對載荷方向靜止。軸承的額定壽命為(13)式中:點接觸時e=10/9。擺動軸承只在部分圓周上運動,如果擺動頻率為每分鐘n次,則以頻率n擺動的軸承疲勞壽命要比相同載荷下以轉速n

r/min旋轉軸承的長。為確定擺動軸承的疲勞壽命,需把作用載荷換算成旋轉運動時軸承的當量載荷,因此需考慮所減少的應力循環次,即(14)式中:QRE為等效旋轉軸承疲勞壽命為L(×106

r)時的接觸載荷;Qosc為擺動軸承疲勞壽命為L(×106

r)時的接觸載荷;uosc為擺動軸承一個周期的應力循環次數;uR為旋轉軸承一個周期的應力循環次數。旋轉軸承轉動一周的弧長為2πr,r為溝道半徑。擺動軸承一個周期的弧長為4Air,擺幅為可得因此(15)對于承受QRE的擺動軸承,相同額定動載荷和當量載荷時擺動軸承的額定壽命Losc與旋轉軸承的額定壽命LR關系為(16)2.3驗證為驗證本文算法、模型以及程序的正確性,在ROMAX分析軟件中建立滿裝球軸承的擬靜力學模型(理論模型)進行對比計算。由前文分析可知,軸承動態性能分析主要基于球接觸載荷計算,因此可以分別計算軸承最大球接觸載荷、最大溝道接觸應力和承載鋼球數,其中軸承結構參數見表1,軸承徑向載荷2500N,恒定轉速100r/min,計算結果見表2。表1某型號滿裝球軸承的主要結構參數Tab.1Mainstructuralparametersoffullcomplementballbearing表2計算結果對比Tab.2Comparisonofcalculationresults由表2可知:本文計算模型與理論計算結果基本一致,計算誤差小于5%,在允許范圍內,從而驗證了本文計算模型的正確性。3滿裝球軸承疲勞壽命分析以擺動工況下滿裝球軸承(表1)為例,研究溝底直徑、尺寸偏差、溝曲率半徑和徑向游隙對軸承疲勞壽命的影響。軸承零件材料為G95Cr18軸承鋼,采用7014潤滑脂。軸承只受徑向載荷(2500N),外圈固定,內圈擺動,擺動角度為20°,擺動頻率為1Hz。3.1溝底直徑對軸承疲勞壽命的影響在滿足工程圖紙要求的徑向游隙范圍(12～26μm)內,外圈溝底直徑為48.125mm時內圈溝底直徑對軸承疲勞壽命的影響和內圈溝底直徑為41.775mm時外圈溝底直徑對軸承疲勞壽命的影響如圖6所示:隨內圈溝底直徑增大,軸承疲勞壽命提高,這是因為增大內圈溝底直徑會使徑向游隙減小,增大鋼球與套圈之間的接觸承載區,提高軸承的承載能力,從而提高疲勞壽命;相反,僅增大外圈溝底直徑會使徑向游隙增大,從而使疲勞壽命降低。

圖6溝底直徑對軸承疲勞壽命的影響Fig.6Effectofgroovebottomdiameteronfatiguelifeofbearing3.2內圈溝底直徑偏差對軸承疲勞壽命的影響在內、外圈溝底直徑分別為41.775,48.125mm,徑向游隙為0時,當內圈溝底直徑減小δi和外圈溝底直徑增加δe時,得到徑向游隙Gr=δi+δe(取δi=δe),其中δi(e)在溝底直徑公差內選值。定義內圈溝底直徑偏差為-δi,則同時改變內、外圈溝底直徑,可得到圖7所示的內圈溝底直徑偏差對軸承疲勞壽命的影響,隨內圈溝底直徑偏差逐漸增大,軸承疲勞壽命逐漸提高。圖7內圈溝底直徑偏差對軸承疲勞壽命的影響Fig.7Effectofinnerringgroovebottomdiameterdeviationonfatiguelifeofbearing3.3溝曲率半徑對軸承疲勞壽命的影響由ISO281:2010“Rollingbearings—Dynamicloadratingsandratinglife”和ZYB28—1998《軸承設計方法》可知溝曲率半徑系數fi(e)推薦值為:內溝曲率半徑系數0.512～0.520,外溝曲率半徑系數0.523～0.530,由fi(e)和Ri(e)=fi(e)Dw可確定溝曲率半徑Ri(e)。外溝曲率半徑為1.670mm時內溝曲率半徑對軸承疲勞壽命的影響和內溝曲率半徑為1.638mm時外溝曲率半徑對軸承疲勞壽命的影響如圖8所示,軸承疲勞壽命隨內、外溝曲率半徑的增大呈下降趨勢。由軸承密合度計算公式φ=Dw/2Ri(e)可知,在鋼球直徑不變的情況下,隨內、外溝曲率半徑增大,鋼球與溝道的密合度變小。當軸承受到的載荷一定時,接觸面積減小,接觸應力升高,從而使軸承承載能力降低,因此軸承疲勞壽命降低。

圖8溝曲率半徑對軸承疲勞壽命的影響Fig.8Effectofgroovecurvatureradiusonfatiguelifeofbearing3.4徑向游隙對軸承疲勞壽命的影響當外溝曲率半徑為1.667mm,內溝曲率半徑為1.635mm時,徑向游隙對軸承疲勞壽命的影響如圖9所示,隨著徑向游隙的增加,軸承疲勞壽命逐漸降低,這是因為徑向游隙增加,會使承載區變小,球載荷變大,從而使軸承疲勞壽命降低。圖9徑向游隙對軸承疲勞壽命的影響Fig.9Effectofradialclearanceonfatiguelifeofbearing4軸承動態性能的正交分析4.1目標函數由以上單因素分析可知,在相關圖紙設計尺寸范圍內,改變軸承溝底直徑、溝曲率半徑以及徑向游隙對軸承疲勞壽命的影響一般為單調變化。為優化軸承基本參數,以軸承的徑向游隙、內外溝曲率半徑為優化因素,采用加權組合法將各個目標函數(疲勞壽命、摩擦力矩和徑向剛度)按重要性進行加權,建立的優化函數為min

f=λ1Mb+λ2/L10+λ3/Kr

,(17)式中:λ1,λ2,λ3為權重因子;Mb為軸承摩擦力矩;

Kr為軸承徑向剛度。4.2因素與水平設置優化因素為徑向游隙、外溝曲率半徑、內溝曲率半徑。因此采用3因素5水平的正交試驗,因素水平表見表3。表3正交試驗因素水平表Tab.3Factorleveltableoforthogonaltestmm4.3試驗組別設置及試驗結果正交試驗組別設置及試驗結果分別見表4。表4正交試驗組別設置和試驗結果Tab.4Groupsettingandresultsoforthogonaltest主要以軸承疲勞壽命為考核指標,取權重因子λ1,λ2,λ3分別為0.15,0.70,0.15對計算結果進行分析。首先,計算出各個試驗下的均值,然后,由疲勞壽命的試驗值與其均值的比值得到新的試驗結果,代入(17)式得到優化函數值,從而可以得到表5的極差。表中I1,I2,I3,I4,I5表示每個因素下水平數相同時優化函數值的總和;K1,K2,K3,K4,K5表示每個因素下水平數相同時各個試驗結果優化函數值之和的平均值;R表示不同水平試驗組的最大值與最小值之差,從而可以對影響因素進行排序。表5正交試驗結果的極差Tab.5Rangeoforthogonaltestresults通過對R值的分析可知,對優化函數影響的程度從大到小依次為內溝曲率半徑、徑向游隙、外溝曲率半徑。通過對表5的分析可知每個因素中使K最小的水平就是該因素的最優解,主要以軸承疲勞壽命為考核指標時,可得到一組最優解,將其與軸承原始參數進行比較(表6),計算可得軸承疲勞壽命提高13.6%。表6疲勞壽命優化結果對比Tab.6Comparisonofoptimizationresultsforfatiguelife對于其他指標,如當徑向剛度為考核指標時,可以采用同樣的方法,使徑向剛度的權重因子為0.7,其余權重因子為0.15,得到對應的優化值見表7,同理可得到摩擦力矩的優化值(表8),徑向剛度提高了4.3%,摩擦力矩變化不大。表7徑向剛度優化結果對比Tab.7Comparisonofoptimizationresultsforradialstiffness表8摩擦力矩優化結果對比Tab.8Comparisonofoptimizationresultsforfrictiontorque由正交優化結果可知,在選取的影響因素(徑向游隙、內溝曲率半徑、外溝曲率半徑)和不同水平下設計的正交表中可確定最優結構參數。然而試驗過程中結構參數和水平的選取,試驗組別的數量都決定最優值的選取,因此,研究結果具有一定的局限性。而優化后的軸承疲勞壽命和徑向剛度提高,這對特殊要求的應用場合下軸承加工制造具