關于集合的基本運算思考：類比引入

兩個實數除了可以比較大小外，還可以進行加法運算，類比實數的加法運算，兩個集合是否也可以“相加”呢？第2頁,共81頁，2024年2月25日，星期天思考：類比引入

考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A、B之間的關系嗎？（1）A=｛1，3，5｝，B=｛2，4，6｝，

C=｛1，2，3，4，5，6｝．（2）A=｛x|x是有理數｝，B=｛x|x是無理數｝，C=｛x|x是實數｝．

集合C是由所有屬于集合A或屬于B的元素組成的．第3頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Unionset）．記作：A∪B（讀作：“A并B”）即：A∪B={x|x∈A

，()x∈B}Venn圖表示：

A∪BAB

說明：兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合（重復元素只看成一個元素）．并集概念A∪BABA∪BAB或第4頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例1．設A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB．解：例2．設集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}，求AUB．并集例題解：可以在數軸上表示例2中的并集，如下圖：集合運算常用數軸畫圖觀察第5頁,共81頁，2024年2月25日，星期天并集性質①A∪A＝

；②A∪

＝

；③A∪B＝AB____A第6頁,共81頁，2024年2月25日，星期天并集的交換律并集的結合律并集的相關性質：第7頁,共81頁，2024年2月25日，星期天思考：類比引入

考察下面的問題，集合C與集合A、B之間有什么關系嗎？（1）A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛3，5，8，12｝，C=｛8｝．（2）A=｛x|x是新華中學2004年9月入學的女同學｝，

B=｛x|x是新華中學2004年9月入學的高一年級同學｝，

C=｛x|x是新華中學2004年9月入學的高一年級女同學｝．

集合C是由那些既屬于集合A且又屬于集合B的所有元素組成的．第8頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集（intersectionset）．記作：A∩B（讀作：“A交B”）即：A∩B={x|x∈A（）x∈B}Venn圖表示：

說明：兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合．交集概念ABA∩B=

A∩BABA∩BB且第9頁,共81頁，2024年2月25日，星期天交集性質①A

A＝

；②A

＝

；③A

B＝AA____B第10頁,共81頁，2024年2月25日，星期天(1)設A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，則A∩B＝

．(2)設A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，則A∩B＝

.{2}?第11頁,共81頁，2024年2月25日，星期天D

第12頁,共81頁，2024年2月25日，星期天(4)設A＝{1,2}，B＝{a,3}，若A∩B＝{1}，則a＝

；若A∩B≠?，則a＝

.(5)設A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<－2}，則A∩B＝

.11或2?第13頁,共81頁，2024年2月25日，星期天類比并集的相關性質第14頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例題：第15頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例題：解：5A0B第16頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例題：解：0B10C第17頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例題：解：5A0B10C第18頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例題：A∩B

A,B

A∩B，A∪B

AA∪B

B，A∩B

A∪B第19頁,共81頁，2024年2月25日，星期天一些性質（補充）：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．第20頁,共81頁，2024年2月25日，星期天(2010·湖南文，9)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2，3}，則m＝________.[解析]

由題意知m＝3.[答案]

3第21頁,共81頁，2024年2月25日，星期天6．(09·上海)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實數a的取值范圍是________．[答案]

a≤1[解析]

將集合A、B分別表示在數軸上，如圖所示．要使A∪B＝R，則a≤1.第22頁,共81頁，2024年2月25日，星期天7．你會求解下列問題嗎？集合A＝{x|－2≤x<1}．

(1)若B＝{x|x>m}，A?B，則m的取值范圍是

.(2)若B＝{x|x<m}，A?B，則m的取值范圍是

.(3)若B＝{x|x<m－5且x≥2m－1}，A∩B＝

?，則m的取值范圍是

.m<－2m≥11≤m≤3第23頁,共81頁，2024年2月25日，星期天2．利用數形結合的思想，將滿足條件的集合用韋恩圖或數軸一一表示出來，從而求集合的交集、并集，這是既簡單又直觀且是最基本、最常見的方法，要注意靈活運用．3．集合元素的互異性在解決集合的相等關系、子集關系、交集等時常遇到，忽視它很多時候會造成結果失誤，解題時要多留意．解決集合問題時，常常要分類討論，要注意劃分標準的掌握，做到不重、不漏，注意檢驗．第24頁,共81頁，2024年2月25日，星期天若已知x∈A∪B，那么它包含三種情形：①x∈A且x?B；②x∈B且x?A；③x∈A且x∈B，這在解決與并集有關問題時應引起注意．第25頁,共81頁，2024年2月25日，星期天在求A∩B時，只要搞清兩集合的公共元素是什么或公共元素具有怎樣的性質即可．反之，若已知a∈A∩B，那么就可以斷定a∈A且a∈B；若A∩B＝?，說明集合A與B沒有公共元素．第26頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[例]

(09·全國Ⅱ)設集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則M∩N＝(

)A．{0,1}

B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]

∵M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}，故選B.B第27頁,共81頁，2024年2月25日，星期天若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，則集合A∩B等于(

)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}[答案]

D[解析]

將集合A、B表示在數軸上，由數軸可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故選D.第28頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[例3]

已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則A∩B＝________.第29頁,共81頁，2024年2月25日，星期天第30頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[例5]已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分別求適合下列條件的a值．

(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.[分析]

9∈A∩B與{9}＝A∩B意義不同，9∈A∩B說明9是A與B的一個公共元素，但A與B中允許有其它公共元素．{9}＝A∩B，說明A與B的公共元素有且只有一個9.第31頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[解析]

(1)∵9∈A∩B，∴9∈A∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.

檢驗知：a＝5或a＝－3滿足題意．(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，∴a＝5或a＝±3.

檢驗知：a＝5時，A∩B＝{－4，9}不合題意，∴a＝－3.第32頁,共81頁，2024年2月25日，星期天已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝{}，求A∪B.第33頁,共81頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[例6]高一(3)班的學生中，參加語文課外小組的有20人，參加數學課外小組的有22人，既參加語文又參加數學小組的有10人，既未參加語文又未參加數學小組的有15人，問高一(3)班共有學生幾人？[分析]

借助Venn圖可直觀地得出有限集元素的個數．用card(A)表示集合A中所含元素的個數，則計數公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－Card(A∩B)第35頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[解析]

設U＝{高一(3)班學生}，A＝{高一(3)班參加語文小組的學生}，B＝{高一(3)班參加數學小組的學生}，則A∩B＝{高一(3)班既參加語文小組又參加數學小組的學生}．有card(U)＝15＋card(A∪B)＝15＋card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝15＋20＋22－10＝47(人)．故高一(3)班有47名學生．第36頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[例7]

設集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，則A∩B＝(

)A．{(0,1)，(1,2)}

B．{(0,1)}C．{(1,2)} D．{y∈R|y≥1}第37頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[辨析]

以上解法不對．集合A，B應該結合代表元素從整體意義上把握，它們是當x取一切實數時所得的y的值的集合，在審題時必須首先弄清集合的本質含義．[正解]

A＝{y∈R|y≥1}，B＝R，故A∩B＝{y∈R|y≥1}，正確答案為D.第38頁,共81頁，2024年2月25日，星期天4．(09·廣東理)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的關系的韋恩(Venn)圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有(

)A．3個 B．2個

C．1個 D．無窮多個B第39頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[答案]

B[解析]

M＝{x|－1≤x≤3}，N為正奇數集，∴M∩N＝{1,3}．第40頁,共81頁，2024年2月25日，星期天8．定義集合運算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，若A＝{1,2}，B＝{0,3}，則集合A*B中所有元素之和為________．[答案]

9[解析]

由A*B的定義知，A*B＝{0,3,6}，所有元素的和為9.第41頁,共81頁，2024年2月25日，星期天三、解答題9．已知：A＝{x||x－a|＜4}，B＝{x|x＜－1或x≥5}，且A∪B＝R，求實數a的范圍．第42頁,共81頁，2024年2月25日，星期天實例引入請看下例：A={班上所有參加足球隊同學}B={班上沒有參加足球隊同學}U={全班同學}那么S、A、B三個集合之間有什么關系？第43頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集（Universeset）．通常記作U．全集概念U第44頁,共81頁，2024年2月25日，星期天實例引入請看下例：A={班上所有參加足球隊同學}B={班上沒有參加足球隊同學}U={全班同學}那么U、A、B三個集合之間有什么關系？A={1,2,3,4}B={5,6,7,8}U={1,2,3,4,5,6,7,8}那么U、A、B三個集合之間有什么關系？全集1,2,5,63,47,8U1,23,4第45頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

對于一個集合A

，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集（complementaryset）,簡稱為集合A的補集．補集概念記作：A

即：A={x|x∈U

且x

A}第46頁,共81頁，2024年2月25日，星期天UAA

說明：補集是與全集同時存在的。補集的概念必須要有全集的限制．第47頁,共81頁，2024年2月25日，星期天Venn圖表示：

AUA補集的性質

(1)、A∪(A)=.(2)、A∩(A)=

第48頁,共81頁，2024年2月25日，星期天問題：

在下面的范圍內求方程的解集：（1）有理數范圍；（2）實數范圍．

并回答不同的范圍對問題結果有什么影響？

解：（1）在有理數范圍內只有一個解2，即：（2）在實數范圍內有三個解2，，，即：第49頁,共81頁，2024年2月25日，星期天補集例題

例．設U={x|x是小于9的正整數}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A，B．

解：根據題意可知：

U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以：A={4，5，6，7，8}，

B={1，2，7，8}．說明：可以結合Venn圖來解決此問題．第50頁,共81頁，2024年2月25日，星期天補集例題

例6．設全集U={x|x是三角形}，A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}.

求A∩B，（A∪B）

解：根據三角形的分類可知A∩B＝，A∪B＝{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}，（A∪B）＝{x|x是直角三角形}．第51頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例.設全集為R,求A,B解：A5AAA第52頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例設U={x|x是小于9的正整數},A={1,2,3}B={3,4,5,6},求CUA,CUB.解:根據題意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CUA={4,5,6,7,8}CUB={1,2,7,8}.第53頁,共81頁，2024年2月25日，星期天例.設全集為R,求A,B解：B3BB小結說明:(1)涉及不等式,常用數軸法.注意標明實心,空心第54頁,共81頁，2024年2月25日，星期天1.已知x∈R，集合A={-3,x2,x＋1},B={x－3,2x－1,x2＋1}如果A∩B={-3}，求A∪B。

第55頁,共81頁，2024年2月25日，星期天2.

已知集合A={x|－2≤x≤4},B={x|x＞a}①若A∩B=φ,求實數a的取值范圍;②若A∩B=A,求實數a的取值范圍．3，A＝{x|－2≤x≤5},B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求m的取值范圍.第56頁,共81頁，2024年2月25日，星期天練習：1.判斷正誤（1）若U={四邊形}，A={梯形}，則CUA={平行四邊形}（2）若U是全集，且A

B，則CUA

CUB（3）若U={1，2，3}，A=U，則CUA=

錯錯如圖利用數軸

對第57頁,共81頁，2024年2月25日，星期天2.如果全集U＝N，那么N*的補集?UN*＝

．{0}3．已知U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，則?UA＝________.{2，4，6}第58頁,共81頁，2024年2月25日，星期天4．已知U＝R，A＝{x|x>15}，則?UA＝

．{x|x≤15}第59頁,共81頁，2024年2月25日，星期天5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則?U(A∩B)＝(

)A．{2,3}

B．{1,4,5}C．{4,5} D．{1,5}[答案]

B[解析]

∵A∩B＝{2,3}，∴?U(A∩B)＝{1,4,5}．第60頁,共81頁，2024年2月25日，星期天6．(09·浙江理)設U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，則A∩?UB＝(

)A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}[答案]

B[解析]

∵B＝{x|x>1}，∴?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．故選B.第61頁,共81頁，2024年2月25日，星期天2.設集合A={|2a－1|，2}，B={2，3，a2+2a－3}且CBA={5}，求實數a的值。解：易得集合A中沒有5，集合B中一定有5.∴a2+2a－3＝5.∴a＝2or－4.接下來驗證是否滿足題意要求。此步驟一般不可少！當a＝2時，|2a－1|＝3.此時，滿足CBA＝{5}.當a＝－4時，|2a－1|＝9.此時，顯然不滿足.綜上所述，a＝2.第62頁,共81頁，2024年2月25日，星期天幾點說明（1）補集是相對全集而言，離開全集談補集沒有意義；（2）若B＝?

UA，則A＝?

UB，即?

U(?UA)＝A；（3）?

UU＝

，?

U

＝U．

(4)?

U(A∪B)=(?

UA)∩(?

UB)

?

U(A∩B)=(?

UA)∪(?

UB)第63頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[例2]設全集U≠?，已知集合M、P、S之間滿足關系：M＝?UP，P＝?US，則集合M與S之間的正確關系是(

)A．M＝?US

B．M＝SC．S

M D．M

S第64頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[分析]

研究抽象集合的關系問題，可以利用集合的Venn圖去分析，在作圖的時候要設法將所有可能的情況都考慮進去，以防因思慮不全面和由局部圖形的先入為主而導致解題的失誤．[解析]

由圖形可得正確選項為B.第65頁,共81頁，2024年2月25日，星期天[例3]已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}(1)若A?B，問?RB??RA是否成立？(2)若?RA??RB，求a的取值范圍．[解析]

(1)∵A?B，如圖(1)．∴a≥3，而?RB＝{x|x≥a}，?RA＝{x|x≥3}∴?RB??RA.即?RB??RA成立．第66頁,共81頁，2024年2月25日，星期天(2)如圖(2)，∵?RA＝{x|x≥3}，?RB＝{x|x≥a}∵?RA??RB，∴a≤3.故所求a的取值范圍為

{a|a≤3}． 總結評述：解決這類問題一要注意數形結合，以形定數，才能相得益彰，二要注意驗證端點值，做到準確無誤，不然功虧一簣．第67頁,共81頁，2024年2月25日，星期天已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，則實數a＝________.[答案]

2[解析]

由P∪?UP＝U知，第68頁,共81頁，2024年2月25日，星期天已知全集U={1，2，3，4，5}，非空集

A={x

U|x2－5x+q=0}，求CUA及q的值。解：集合A非空，則x2－5x+q=0一定有解.由根及韋達定理知：x1＋x2＝5，25－4q≥0，q＝x1·x2.∴x1，x2的組合可以是：1和4，2和3.即A＝{1，4}，{2，3}.∴CUA＝{2，3，5}，q＝4；or

CUA＝{1，4，5}，q＝6.第69頁,共81頁，2024年2月25日，星期天第70頁,共81頁，2024年2月25日，星期天第71頁,共81頁，2024年2月25日，星期天第72頁,共81頁，2024年2月25日，星期天解：不等關系一般都會借助于數軸。前面幾個例題都是等式關系，接下來我們來思考不等關系。在數軸上畫出集合A的區域如下所示：第73頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

[例]

已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠?，求實數m的取值范圍．[分析]

集合A是由方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的實根組成的集合，A∩B≠?說明方程①的根可能為：(1)兩負根；(2)一負根一零根；(3)一負根一正根三種情況，分別求解十分麻煩，這時我們從求解問題的反面考慮，采用