2024屆新高考數學一輪復習配套練習專題8.2空間幾何體的表面積

和體積

練基礎

1.（2021?湖南高一期末）已知圓柱。01及其展開圖如圖所示，則其體積為（）

A.4B.2"C.3汽D.4萬

2.（2021.寧夏大學附屬中學高一月考）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。,。'，過直線O。'的平面截該

圓柱所得的面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12伝?B.12工C.&-!%D.10萬

3.（2021?浙江高二期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

俯視圖

4.（2021?遼寧高一期末）已知一平面截一球得到直徑為2限m的圓面，球心到這個面的距離是辰m,則

該球的體積為（）cm，

A.127rB.36〃C.64A/6^D.108〃

5.（2020?浙江省高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該凡何體的體積（單位：c/）

是（）

33

6.（2018?全國高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為02,過直線GO?的平面截該圓

柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12夜兀B.12nC.8及兀D.lOn

7.（2020?江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的

底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm.

9.（2019?北京高考真題（文））某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果

網格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為

10.（2019?全國高考真題（理））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為

長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體

是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的

半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有

個面，其棱長為

1.（2021?浙江高一期末）我國古代數學名著《九章算術》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，

末廣八尺，無深，袤七尺.問積幾何?”這里的"羨除”，是指由三個等腰梯形和兩個全等的三角形圍成的五面

體.在圖1所示羨除中，AB//CD//EF,A3=10,C￡>=8,EF=6,等腰梯形和等腰梯形A8EE的

高分別為7和3,且這兩個等腰梯形所在的平面互相垂直.按如圖2的分割方式進行體積計算，得該“羨除”

的體積為（）

DD

圖1

A.84B.66

2.（2021.河北巨鹿中學高一月考）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的

含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動，類似今日的足

球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺傳名錄.己知

某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個點S、A、B、C,滿足S-ABC為正三棱錐，M是SC的中點，

且4W丄S8,側棱SA=1,則該蹴鞠的表面積為（）

A.3萬B.6萬C.12%D.16%

3.【多選題】（2021?江蘇高一期末）已知圓臺上、下底面的圓心分別為半徑為2,4,圓臺的母

線與下地面所成角的正切值為3,尸為。Q上一點，則（）

A.圓臺的母線長為6

B.當圓錐的圓錐PO,的體積相等時，PO,=4PO2

C.圓臺的體積為56兀

D.當圓臺上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為807t

4.（2020?全國高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積

為.

5.（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的

四棱錐稱為“陽馬”.現有一“陽馬"P-ABCD,PA丄底面ABC。，PA=AB=2,AD=1,則該'‘陽

馬”的最長棱長等于_____；外接球表面積等于______.

6.（2020?山東省仿真聯考3）在三棱錐產一ABC中，Q4丄平面ABC,ZBAC=—,AP=3,48=26，

3

。是5c上的一動點，且直線PQ與平面ABC所成角的最大值為?，則BC=,三棱錐P-ABC

的外接球的表面積為.

7.（廣東省汕尾市2020-2021學年高一下學期期末數學試題）已知某圓柱的軸截面是一個正方形，且該圓柱

表面積（底面和側面面積之和）為S-其外接球的表面積為邑，則該圓柱的表面積與其外接球的表面積的

S.

比值寸=.

8.（2021.重慶中學高一月考）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為

在一正三棱柱中挖去一個圓柱后的剩余部分（圓柱的上下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切），圓柱底面直

徑為2石cm,高為4cm.打印所用原料密度為lg/cm，,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為

g.（取6=1.73,71=3.14,精確到0.1）.

9.（2021.上海髙二期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國南

北各地的節令食品，因各地風俗不同，粽子的形狀和食材也會不同，有一種各面都是正三角形的正四面體

形粽子，若該正四面體粽子的棱長為8cm,則現有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子個.

10.（2021?浙江高二期末）在四面體A8CD中，AB1BC,CDA.BC,ABLCD,BC=2,若四面體ABC。

的外接球半徑為右，則四面體A8CQ的體積的最大值為.

練真題

1.（2021?全國高考真題）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.2。+12石B.28&C.?D.邛

2.（2020?天津高考真題）若棱長為2省的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.12萬B.24萬C.367rD.144萬

3.（2021?全國高考真題（理））己如A,3,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，且AC丄BC,AC=3C=1,

則三棱錐O-ABC的體積為（）

A.正B.亜C.—D.巫

121244

4.（2020?全國高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐,

以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與

底面正方形的邊長的比值為（）

AVs—1RVs-iry/5+1nV5+1

4242

5.（2018?全國高考真題（文））設A，B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，AA5C為等邊三

角形且其面積為9百，則三棱錐O-ABC體積的最大值為（）

A.1273B.18若C.24月D.54百

6.（2019?全國高考真題（理））已知三棱錐人4%的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,比1是邊長

為2的正三角形，E,夕分別是陽，48的中點，/詼90°,則球。的體積為（）

A.8anB.4m兀C.2應兀D.應it

專題8.2空間幾何體的表面積和體積

練基礎

1.（2021.湖南高一期末）已知圓柱。。及其展開圖如圖所示，則其體積為（)

【答案】D

【解析】

結合展開圖求出圓柱的底面半徑與高，進而結合體積公式即可求出結果.

【詳解】

亠，，，亠=4仇=4

設底面半徑為，高為力，根據展開圖得Lc，則｛，所以圓柱的體積為；rr%=;rxl2x4=4/r,

\17ir=271[r=1

故選：D.

2.（2021.寧夏大學附屬屮學高一月考）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。,。'，過直線。0'的平面截該

圓柱所得的面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.120丁B.12萬C.8丘兀D.1（）萬

【答案】B

【解析】

根據圓柱的軸截面面積求出圓柱的底面半徑和母線長，利用圓柱的表面積公式，即可求解.

【詳解】

設圓柱的軸截面的邊長為x,

因為過直線。。'的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，所以1=8,解得x=2夜，

即圓柱的底面半徑為r=&，母線長/=2嫗，

所以圓柱的表面積為S=2染+5惻=2乃，+2"=2萬x（a）2+2萬x&x2血=12萬.

故選：B.

3.（2021?浙江高二期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

俯視圖

【答案】D

【解析】

首先把三視圖轉換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的體積.

【詳解】

解：根據幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為底面為直角梯形，高為1的四棱錐體;

如圖所示：

所以：V=1xlx（l+l）xlxl=l.

故選：D.

4.（2021?遼寧高一期末）已知一平面截一球得到直徑為2限m的圓面，球心到這個面的距離是辰m,則

該球的體積為（）cm3

A.12TTB.36〃C.64"4D.108〃

【答案】B

【解析】

由球的截面性質求得球半徑后可得體積.

【詳解】

由題意截面圓半徑為r=百，所以球半徑為R=J（題尸+（"尸=3,

體積為V=3〃內=8萬x3?=36乃.

33

故選：B.

5.（2020?浙江省高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cn?）

是（）

俯視圖

714

A.—B.—C.3D.6

33

【答案】A

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，

且三棱錐的一個側面垂直于底面，且棱錐的高為1,

棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2,

所以幾何體的體積為：

1（1C八，CCAC1C7

-x—x2x1x1+—x2x1x2=—F2=—.

312丿〔2）33

故選：A

6.（2018?全國高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為。「。2,過直線0Q的平面截該

圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12烏B.12TIC.8在兀D.1071

【答案】B

【解析】

根據題意，可得截面是邊長為2夜的正方形，

結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是0的圓，且高為2也，

所以其表面積為S=2兀（歷+2萬?0?20=124，故選B.

7.（2020?江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的

底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是—cm.

【答案】12V3-J

2

【解析】

正六棱柱體積為6x4^x2?X2=12G

4

圓柱體積為1g）2-2=]

所求幾何體體積為126-三

2

故答案為：1273--

2

9.（2019?北京高考真題（文））某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果

網格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.

'I）'（W網第,樹（空「￥

一廠「I做困....................

..4..A.,.?..k.?.?.??.*i.4.....

【答案】40.

【解析】

如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應的幾何體為正方體去掉棱柱MP'4一NQG4之后余下的

幾何體，

幾何體的體積V=43—g（2+4）x2x4=40.

10。（2019?全國高考真題（理））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為

長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體

是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的

半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有

個面，其棱長為.

圖1圖2

【答案】共26個面.棱長為我-1.

【解析】

由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有18+8=26

個面.

如圖，設該半正多面體的棱長為x，則43=3E=x,延長BC與FE交于點G,延長BC交正方體棱于H,

由半正多面體對稱性可知，ABGE為等腰直角三角形，

BG=GE^CH=—x,G”=2x①x+x=（后+l）x=l,

22

]=0-1,即該半正多面體棱長為夜—1.

五+1

1.（2021?浙江高一期末）我國古代數學名著《九章算術》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺,

末廣八尺，無深，袤七尺.問積幾何?”這里的"羨除”，是指由三個等腰梯形和兩個全等的三角形圍成的五面

體.在圖1所示羨除中，AB//CD//EF,A3=10,C￡>=8,EF=6,等腰梯形和等腰梯形A8EE的

高分別為7和3,且這兩個等腰梯形所在的平面互相垂直.按如圖2的分割方式進行體積計算，得該“羨除”

的體積為（）

A.84B.66C.126D.105

【答案】A

【解析】

由圖可知，中間部分為棱柱，兩側為兩個全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公式可求得結果.

【詳解】

按照圖2中的分割方式，中間為直三棱柱，直三棱柱的底面為直角三角形，

兩條直角邊長分別為7、3,直三棱柱的高為6,

所以，直三棱柱的體積為K=gx7x3x6=63.

兩側為兩個全等的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，

直角梯形的面積為S=（-2）x7=0,四棱錐的高為力=3,

22

121

所以，兩個四棱錐的體積之和為匕=2x3x5x3=21,

因此，該“羨除”的體積為V=K+%=84.

故選：A.

2.（2021?河北巨鹿中學高一月考）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的

含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動，類似今日的足

球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺傳名錄.已知

某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個點S、A、B、C,滿足S-ABC為正三棱錐，M是SC的中點，

且A/丄SB,側棱SA=1,則該蹴鞠的表面積為（）

A.3萬B.6nC.\1nD.16%

【答案】A

【解析】

TT

若N為BC中點、易得AM丄MN,再應用余弦定理、勾股定理求得。=彳，即S-ABC為直三棱

錐，即可求外接球半徑，進而求表面積.

【詳解】

如下圖，若N為BC中點，則用N〃S8,又AM丄SB,

：.AM±MN,又S-ABC為正三棱錐且側棱S4=l,

：.MN=-,AN=—AB,若ZAS3=6,則AM?=*-cos（9,4庁=2—2cos。，

224

33

在中，AM2+MN2=AN2,即5-856=7（2-2cos6?）,可得cos6=0,0<6〈開，

：.8=々,即S-ABC為直三棱錐，易得外接球半徑R=3,

22

.,?該蹴鞠的表面積為4萬7?2=37.

故選：A

3.【多選題】（2021.江蘇高一期末）已知圓臺上、下底面的圓心分別為。0半徑為2,4,圓臺的母

線與下地面所成角的正切值為3,P為。O?上一點，則（）

A.圓臺的母線長為6

B.當圓錐的P。圓錐尸。2的體積相等時，PO『g

C,圓臺的體積為56兀

D.當圓臺上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為80兀

【答案】BCD

【解析】

轉化求解圓臺的母線長判斷Q;利用比例關系判斷B；求解體積判斷C；取得球的表面積判斷D.

【詳解】

解：圓臺上、下底面的圓心分別為a，o2,半徑為2,4,圓臺的母線與下底面所成角的正切值為3,P為

上一點，

A=3X（4-2）=6,

母線/=2而，與圓臺的母線長為6矛盾，所以A錯誤；

r,\PO,厶

一=3,五7二A牝B正確；

r22PO2

V=；x6x（4%+《4兀X16萬+16兀）=56乃,C正確；

設球心到上底面的距離為X,則于+/=（6-x>+4。，解得x=4,r=2后,S=80萬，D正確；

故選：BCD.

4.（2020?全國高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積

為.

【答案】工

3

【解析】

易知半徑最大球為圓錐的內切球，球與圓錐內切時的軸截面如圖所示，

其中8C=2,A8=AC=3,且點M為比邊上的中點，

設內切圓的圓心為O,

BMC

由十AM=V32—I2=2V2，故S4ABC=5X2X2V2=2V2?

設內切圓半徑為r,則：

+S&Boc+=^xxr+5XBCX〃+5xACxr

=-x(3+3+2)xr=2>/2,

立

其

解得

體積V4

2=—7tr=—7t?

33

故答案為：——n.

3

5.（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的

四棱錐稱為“陽馬現有一"陽馬”P-ABCD,PA丄底面ABC。，PA=AB=2,AD=\,則該“陽

馬”的最長棱長等于；外接球表面積等于.

【答案】39兀

【解析】

如圖，PA丄底面ABCD,底面ABCD為長方形，且卩4=A5=2，AD=\.

所以PB=2g,PD=下,pc=y/PA2+AB2+BC2=>/22+22+l2=3?

最長棱為：3.

13

該幾何體可以通過補體得長方體，所以其外接球的半徑為「PC==.

22

則其外接球的表面積為4乃=9兀,故答案為：3；9兀.

6.（2020?山東省仿真聯考3）在三棱錐P—ABC中，PA丄平面ABC,/84。=二，AP=3,AB=2g,

3

。是8c上的一動點，且直線PQ與平面ABC所成角的最大值為?，則BC=,三棱錐P-ABC

的外接球的表面積為.

【答案】6574

【解析】

設直線PQ與平面ABC所成的角為。，三棱錐P-A5C外接球的球心為0,半徑為R,

如圖所示，則0<sin6=以且，

PQPQ2

所以PQ22百，則PQ的最小值為26，AQ的最小值是J5,即點A到的距離為出，所以

71

乙BAQ".

因為/B4c=■

3

71

所以NCAQ=],

所以AB=AC=26，

所以8c2=AB2+AC2-2AB-AC-cosg=(2>/3)2+(2省產—2x2&x26=36,

所以8C=6.

「=丄x_____=2J

取.ABC的外接圓的圓心為O',則圓O'的半徑一2.2兀-

sin

3

連接00'，作QW丄Q4于點M，

則點”為P4的中點，所以戸=Q42=op2=06)2+一=一，

(2丿4

故三棱錐P-ABC的外接球。的表面積S=4%/?2=57萬.

故答案為：6；57%.

p

7,（廣東省汕尾市2020-2021學年高一下學期期末數學試題）已知某圓柱的軸截面是一個正方形，且該圓柱

表面積（底面和側面面積之和）為與,其外接球的表面積為S?,則該圓柱的表面積與其外接球的表面積的

S.

比值寸二.

【答案亠】43

【解析】

設圓柱的底面半徑為r,高為〃，則/?=2r,上下底面圓圓心連線的中點即為該圓柱外接球的球心，可得外

接球的半徑R=J77戸=應宀再由圓柱的表面積公式和球的表面積公式分別計算「、邑即可得比值.

【詳解】

設圓柱的底面半徑為r,高為人，

因為圓柱的軸截面是一個正方形，

所以/?=2r,

所以圓柱表面積5,=2兀,+2n/-h=2口2+2口.2r=6nr2,

其外接球的球心在上下底面圓圓心連線的中點位置，

可知球心到上底面圓的距離為:人=r,

由勾股定理可得：外接球的半徑/?="工7=應r，

所以外接球的表面積S2=4兀*=4兀（后廠）=8兀/,

所以該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值m1,

S28兀產4

3

故答案為：.

8.（2021.重慶市中學高一月考）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為

在一正三棱柱中挖去一個圓柱后的剩余部分（圓柱的上下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切），圓柱底面直

徑為26cm,高為4cm.打印所用原料密度為lg/cn?,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為

S.（取百=1.73,71=3.14,精確到0.1）.

【答案】24.6

【解析】

由正三棱柱的性質，結合已知求其底面面積，再由棱柱的體積公式求其體積V,并求圓柱的體積為V',則

模型體積為V-V',即可求制作該模型所需原料的質量.

【詳解】

由題意,正三棱柱底面（等邊三角形）如上圖有第=器且==AO=*4C,OE=e'

—f==—?則AC=6,故底面面積S='x6x6x立=9后,

6AC22

正三棱柱的體積V=S/?=973X4=366=62.3.

而圓柱的體積為V'=萬/〃=[2]x37.7,

,制作該模型所需原料的質量為（V-V'）x1=24.6克.

故答案為：24.6

9.（2021?上海高二期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國南

北各地的節令食品，因各地風俗不同，粽子的形狀和食材也會不同，有一種各面都是正三角形的正四面體

形粽子，若該正四面體粽子的棱長為8cm,則現有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子個.

【答案】16572

【解析】

根據題意，利用棱錐的體積公式求得正四面體粽子的體積，進而求得答案.

【詳解】

如圖所示，正四面體A8C。的棱長為8cm,設底面正三角形BCD的中心為

連接A。，則A0丄平面88,

連接8。，則80=gx必不=苧，所以40=/82-（苧>=半，

所以一個粽子的體積為：丄x8x8x3x見曰=幽2（。加），

32233

1000000，公…

-------i=-?16572.8

由1〃?3=100000053,又由128,2

3

所以1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子16572個.

故答案為：16572.

10.（2021?浙江高二期末）在四面體ABC。中，ABkBC,CD^BC,ABVCD,BC=2,若四面體ABC￡>

的外接球半徑為右，則四面體A8CD的體積的最大值為.

【答案w

【解析】

根據題意可以將此四面體放入一個長方體中，則易求四面體高與底面長的關系，再根據體積公式寫出其體

積表達式，最后利用基本不等式即可.

【詳解】

如圖所示，不妨將四面體A5CO放入下圖中的長方體中，則長方體的寬為2,設長方體的長為“，高為〃.

因為四面體A8CO的外接球半徑為石，

所以此長方體外接球半徑為逐,

則r=二+力=6，解得/+力2=]6,

2

所以四面體ABCQ的體積丫=；5加8工8=:〃〃＜：.《愛=g,當且僅當〃=〃=2五時等號成立，所以四

Q

面體ABCO的體積最大值為3.

故答案為:g

1.（2021?全國高考真題）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+12百B.28夜C.—D.當也

33

【答案】D

【解析】

由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】

作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，

因為該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側棱長為2,

所以該棱臺的高〃=j2?-（2夜=◎，

下底面面積S1=16,上底面面積邑=4,

所以該棱臺的體積V=g/?（S1+S2+斥'）=gx&x（16+4+病)=丁血.

故選：D.

2.（2020?天津高考真題）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.127rB.247rC.36〃D.1444

【答案】C

【解析】

【分析】

求岀正方體的體對角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.

【詳解】

這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半,

即“2可+（2可+（2可

IX.—=3'

2

所以，這個球的表面積為S=4?R2=4%x3?=36乃.

故選：C.

3.（2021.全國高考真題（理））已如A,8,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，且AC丄BC,AC=BC=1,

則三棱錐O-ABC的體積為（)

7B,正D,走

124

【答案】A

並斤】

由題可得，ABC為等腰直角三角形，得出，43。外接圓的半徑，則可求得。到平面ABC的距離，進而求得

體積.

【詳解】

AC丄8C,AC=3C=1,.;4?C為等腰直角三角形，二/^二血，

則;A4C外接圓的半徑為正，又球的半徑為1,

2

設。到平面A8C的距離為",

2

貝d-

所以%-ABC=；SMc,d=；x；xlxlx￡=卷.

故選：A.

4.（2020?全國高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，

以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與

底面正方形的邊長的比值為（）

A石-1R\/5—1r>/5+1八6+1

4242

【答案】C

【解析】

如圖，設CD=a,PE=b,則PO=近2—OE?=卜?,

由題意產。2=丄姉，^ib2--=-ab,化簡得4（纟）-2丄—1=0,

242aa

解得纟=1±好（負值舍去）.

a4

故選：C.

E

8C

5.（2018?全國高考真題（文））設A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，AABC為等邊三

角形且其面積為96，則三棱錐ABC體積的最大值為（）

A.1273B.18>/3C.246D.54G

【答案】B

【解析】

如圖所示，

?o

點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，

當DM丄平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大

此時，OD=OB=R=4

SABC=?AB』也

二.AB=6,

,點M為三角形ABC的中心

/.BM=2BE=2百

3

-'RtOMB中,有OM=J。庁-=2

.-.DM=OD+OM=4+2=6

???(V?.AfiC)nm=1x9V3x6=18^

故選B.

6.（2019?全國高考真題（理））已知三棱錐人/寬的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,是邊長

為2的正三角形，E,尸分別是為，的中點，NQ戶90°,則球。的體積為（）

A.8A/6TCB.4瓜兀C.2瓜兀D.V6TC

【答案】D

【解析】

解法一：PA=PB=PC,A45c為邊長為2的等邊三角形，ABC為正三棱錐，

：.PB±AC,又E,F分別為24、AB中點，

:.EF//PB,..EFLAC,又EF丄CE,CEAC=C,.?.瓦'丄平面外。，必丄平面P4C,

NAP8=90。,.?.PA=P3=PC=0,ABC為正方體一部分，2R=丿2+2+2=壇即

R=^~,二V=3兀A21=纟萬*￡5=，故選D.

設P4=PB=PC=2JC,E,尸分別為PAA5中點，

：.EF//PB,且EF=1P8=x,AABC為邊長為2的等邊三角形,

2

:.CF=6又/CEF=90°...CE=13-d,AE=^PA=x

AAEC中余弦定理cosZEAC='+4-），作丄厶。于。，PA=PC,

2x2xx

An

iX2+4-3+X2_1

QO為AC中點，cosZEAC=——=—

PA2x4x2x

/.2X2+1=2AX2=-x=2,：.PA=PB=PC=日又AB=BC=Ag，:.PA,PB,PC兩兩

22

垂直，2R—丿2+2+2=>/6，：.R二——/.V=—TIR3=—Kx°a=V6K，故選D.

338

專題83空間點、直線、平面之間的位置關系

練基礎

I■

1.（廣東高考真題）若直線4和，2是異面直線，4在平面a內，,2在平面夕內，1是平面a與平面夕的交

線，則下列命題正確的是（）

A./與4,/2者B相交B./與乙，/2都不相交

C./至少與4，4中的一條相交D./至多與4,4中的一條相交

2.（2019?全國高考真題（理））設。，￡為兩個平面，則。〃￡的充要條件是（）

A.a內有無數條直線與B平行

B.。內有兩條相交直線與￡平行

C.。，力平行于同一條直線

D.a,￡垂直于同一平面

3.（2020?武威第六中學高三其他（理））已知。，〃為兩條不同直線，a,（3,7為三個不同平面，下列

命題：①若c〃6，ally,則耳〃人②若。〃a,all13,則c〃尸；③若a丄y,夕丄y,則。丄，；④

若a丄。，b±a,則。〃6.其中正確命題序號為（）

A.②③B.②③④C.①④D.①②③

4.（2021?嘉禾縣第一中學高一月考?）若I,拼，〃是互不相同的直線，a,4是不重合的平面，則下列說法

正確的是（)

A.若M/力，lua,〃u￡,則///〃

B.若a〃汽，lua,則/丄￡

C.若/丄〃，〃2丄"，則〃/%

D.若/丄a,U/p,則c丄/?

5.（2019?北京高考真題（文））已知厶勿是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

①/丄例②而〃a；③/丄a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：.

6.（全國高考真題（文））已知正方體A6CO—AAG2中，E為G。的中點，則異面直線AE與BC所成

角的余弦值為.

7.（2021.石家莊市第十七中學高一月考）以下命題中：（1）若直線。，分和平面a滿足：a//b,bua,那

么alia；

（2）若直線”和平面a平行，那么o與a內的任何直線平行；

（3）平行于同一條直線的兩個平面平行；

（4）若直線a,6和平面a滿足a/必，alia,則6〃a,正確的是.

8.（2021?重慶市第七中學校高一期中）如圖，在圓錐S°中，AB、為底面圓的兩條直徑，AB交CD于

點。，且厶8丄8,P為跖的中點，SO=OB=2.

（1）求證：&V/平面PC。；

（2）求圓錐的表面積和體積.

9.（2021.江門市第二中學高二月考）如圖，在長方體ABCO-AgGR中，AO=M=1,A8=2,點E在棱

AB的中點.

（1）證明：RE丄A。；

（2）求直線CE與A。所成角的大小.

10.（2021?揭陽第一中學高一期末）已知F4丄矩形ABCO所在的平面，且卩4=AQ,M、N分別為A3、

PC的中點.

求證：（1）MM/平面AOP；

（2）MN丄PC.

練提升

1.（2020?浙江高三開學考試）四面體A8CD中，A6=C￡>=3,其余棱長均為4,E,尸分別為AB，CD

上的點（不含端點），則（）

A.不存在E,使得所丄C。

B.存在E,使得QE丄CQ

C.存在E,使得OE丄平面A8C

D.存在E,F,使得平面CDE丄平面A5E

2.【多選題】（2020.長沙市湖南師大第二附屬中學有限公司月考）（多選題）如圖1,點E為正方形ABCQ

邊上異于點民C的動點，將AA5E沿AE翻折，得到如圖2所示的四棱錐AECD,且平面84E丄

平面AECD，點/為線段B力上異于點仇。的動點，則在四棱錐8-A￡CD中，下列說法正確的有（）

A.直線破與直線CQ必不在同一平面上

B.存在點￡使得直線鴕丄平面。CE

C.存在點尸使得直線CE與平面84E平行

D.存在點E使得直線8E與直線CO垂直

3.【多選題】（2020?全國高三月考）（多選題）在四棱錐P-ABCD中，側面Q4￡＞丄平面ABC。，PD=AB，

四邊形ABCQ是正方形，點E是棱依的中點，則（）

A.PD丄平面ABC。B.PD〃平面ACE

C.PB=2AED.PCLAE

4.（2019?浙江高考真題）設三棱錐V-MC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點（不含

端點），記直線PB與直線AC所成角為。，直線PB與平面ABC所成角為￡,二面角P-AC-B的平面

角為7,則（）

A.(3</B.P<a,f3<y

C./3<a,y<aD.a<P，y<P

5.（2021?齊齊哈爾市第八中學校高二期中（文））在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=?，AB=AA,=2,

E是棱CG的中點.

(1)求證：AE1BC

(2)求點A到平面相E的距離.

6.(2021?石家莊市第十七中學高一月考)如圖，在四棱錐O-A8C￡＞中，底面A8CD是矩形，OM=2MA,

CN=2NB,OE=2ED.

(1)求證：MN"平面OCD.

(2)試問：在。。上是否存在一點尸，使5尸〃平面ACE成立？若存在，請予以證明；若不存在，說明理

由.

7.(2021.嘉禾縣第一中學高一月考)在①使三棱錐P-A8C體積取得最大值，②使灑.泥=3這兩個條件

中任選一個，補充在下面問題中，并作答.

如圖1,是邊長為2的等邊三角形，P是8c的中點，將以BP沿AP翻折形成圖2中的三棱錐,

動點M在棱AC上.

(1)證明：平面P4C丄平面PWB；

(2)求直線MB與平面PAC所成角的正切值的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

8.(2021.河北巨鹿中學高一月考)如圖(1),平面四邊形ABOC中，NABC=N￡)=90。，AB^BC=2,CD^l,

將，ABC沿BC邊折起如圖(2),使，點M,N分別為AC,中點.在題目橫線上選擇下述其中一

個條件，然后解答此題.①AD二幣.②AC為四面體A