關(guān)于連續(xù)型隨機變量及其分布用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？?ab第2頁,共32頁，2024年2月25日，星期天1.6

連續(xù)型隨機變量

一、概率密度

1.定義

對于隨機變量X，若存在非負函數(shù)f(x)，(-

<x<+

)，使對任意實數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-

<x<+

)第3頁,共32頁，2024年2月25日，星期天2.密度函數(shù)的性質(zhì)

(1)非負性

f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；

EX設(shè)隨機變量X的概率密度為求常數(shù)a.第4頁,共32頁，2024年2月25日，星期天(3)若x是f(x)的連續(xù)點，則EX設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為求f(x)第5頁,共32頁，2024年2月25日，星期天隨機變量X的分布函數(shù)F(x）于密度函數(shù)的關(guān)系：

如果隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),分布函數(shù)為F(x),

則對任意的a，b（a＜b），有

這一結(jié)果的幾何意義為：X落在（a，b］中的概率恰好等于在區(qū)間（a，b］上由曲線y＝p（x）形成的曲邊梯形的面積（圖中陰影部分）。

而f(x)的基本性質(zhì)(2)表明:整個曲線y＝f(x)以下(x軸以上)的面積為1。第6頁,共32頁，2024年2月25日，星期天注意:對于連續(xù)型r.v.X,P(X=a)=0其中a

是隨機變量

X

的一個可能的取值強調(diào)概率為0的事件未必不發(fā)生第7頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例1.已知隨機變量X的概率密度為(1)求X的分布函數(shù)F(x);(2)求P{0.5<X<1.5)}第8頁,共32頁，2024年2月25日，星期天EX設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為(1)求P{X<2},P{0<X<3},P{2<X<e-0.1}.(2)求概率密度f(x)第9頁,共32頁，2024年2月25日，星期天1.均勻分布若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X~U(a,b)X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布,對任意實數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有二、幾個常用的連續(xù)型分布第10頁,共32頁，2024年2月25日，星期天xf(x)abxF(x)ba第11頁,共32頁，2024年2月25日，星期天1545解：設(shè)A—乘客候車時間超過10分鐘X—乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60)例2.長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率第12頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

進行大量數(shù)值計算時,若在小數(shù)點后第k

位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的r.v.隨機變量其它應(yīng)用場合第13頁,共32頁，2024年2月25日，星期天2.指數(shù)分布若X～則稱X服從參數(shù)為

>0的指數(shù)分布，記作X~Ｅ(

),其分布函數(shù)為第14頁,共32頁，2024年2月25日，星期天1xF(x)0xf(x)0第15頁,共32頁，2024年2月25日，星期天對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命

指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第16頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例3.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解第17頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共32頁，2024年2月25日，星期天若X~Ｅ(

),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上命題第19頁,共32頁，2024年2月25日，星期天正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布

炮彈彈落點距離發(fā)射點O距離X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？大炮發(fā)射點OAB高爾頓釘板試驗第20頁,共32頁，2024年2月25日，星期天其中為實數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機變量第21頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

(1)單峰對稱

密度曲線關(guān)于直線x=

對稱；

f()＝maxf(x)＝

.正態(tài)分布有兩個特性：第22頁,共32頁，2024年2月25日，星期天(2)

的大小直接影響概率的分布。越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布第23頁,共32頁，2024年2月25日，星期天可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學(xué)生的考試成績；第24頁,共32頁，2024年2月25日，星期天4.標準正態(tài)分布

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。第25頁,共32頁，2024年2月25日，星期天分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為第26頁,共32頁，2024年2月25日，星期天一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱

(x)的值。(P318附表2)如，若Z~N（0，1）,

（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066(2)若X～N(,2)，則注：(1)(x)＝1－(－x)；第27頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例4設(shè)X~N(1.2,4)，求：P(X<0.2);P(X>1.5);P(|X|<2);第28頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例5某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓)服從(110,122).在該地區(qū)任選一位18歲女青年,測量她的血壓,(1)求P{X<105},P{100<X<120};(2)確定最小的x,使P{X>x}<0.05第29頁,共32頁，2024年2月25日，星期天注:X~N(110,122).第30頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例6