三角函數解法的探討賓川一中王紹培摘要：三角函數局部，由于公式繁多，靈活多變，很多學生都反映這局部知識理解不難，但要能把這么多公式靈活運用就有點難度了，特別是對初學者更是如此。所以，在這里我根據三角函數局部題型的求值、化簡、證明的過程和大家分享一種相對有效的方法———“找構找名找角法”、等價轉化法。關鍵詞：三角函數等價轉化應用解題方法三角函數這一局部的知識在高中數學課程中仍占有極其重要的作用〔歷年的數學高考題中有一道簡答題就是三角函數的化簡，求最值等問題，可見三角函數的重要性〕。高中數學課程中三角函數局部，由于公式繁多，靈活多變，很多學生都反映這局部知識理解不難，但要能把這么多公式靈活運用就有點難度了，特別是對初學者更是如此。所以，在這里我根據三角函數局部題型的求值、化簡、證明的習題總結出一種相對有效的方法———“找構找名找角法”、等價轉化法。一、找構找名找角法所謂的“找構找名找角法”，就是一找出三角函數的式子結構特點，二找各種類角的函數名的特點，三找函數式中角的特點，很多三角函數化簡、求值、證明的題目，大多都是式子結構較為復雜、多個函數名同時存在、角的代換變化多樣，要解決好這類問題我們必須本著數學上的根本思想：化歸、統一思想。從這個角度出發將“找構找名找角法”歸納如下。1、找三角函數的式子結構當看到數學題后，不要急于下手，首先應仔細觀察；分析條件與結論的關系；分析題目隱含著的各種信息；分析它屬于數學中哪局部、要用到什么樣的數學知識點、公式及方法〔要注意的是同一個公式在解題過程中可能會用到屢次〕等。而對于三角函數題來說，第一步就是要先找式子的結構，找出式子結構再思考要運用哪些公式，此時最好就是能回憶起平時曾經做過的題型，以及化簡的方向，在結合實際題型來解題。如看到就聯想到要，看到立即就聯想到等，看例子：例1分析結構：1)左邊比右邊較為繁瑣，所以應該由繁向簡即從左邊入手。2〕觀察左邊是一個分子結構，不同分母的分式化簡一般是通分，所以通分得，左邊=3〕由1第二步得到也是一個分式，先觀察分母，容易看到應該考慮用正弦二倍角公式即，分子從多項式的角度看，可用平方差公式，然后在用可化為到此解決問題。例2：分析：觀察結構，等式左右兩邊都是分式，而且繁簡相當，這時可以是移項在通分.原式====0到此解決問題。2找各種類角的函數名世間萬事萬物皆有名，所謂“物以類聚，人以群分”，因此在解決數學問題時就要使被解決的問題在表現形式上趨于和諧，在數量關系方面趨于統一的方向進行，使問題的條件與結論表現得更對稱，統一。這就要求我們在解決一個三角函數的化簡`求值`證明問題時，如果三角函數的名稱、種類太多，應該利用各種關系式轉化函數種類，力達統一為目的。經常運用的有“切割化弦”、“弦化切”、“化1”等例3求證：分析：觀察題目可見，題目中函數種類有正弦、余弦、正切、余切，這種情況下將切化弦，就極易解決問題：左邊====得證。例4分析：由題目條件容易得到利用兩角和的正切公式得到，再來觀察要求解的全是弦函數，我們利用平方和等于一的關系式求解，必定會遇到開方的麻煩，所以，為了避開這一大麻煩，這里采用“弦化切”的方法，如下：原式=====33找函數式中角的特點仍然本著統一的原那么，如果某些三角函數式子不統一的時候，我們將努力使其角向著和諧統一的方向開展，題目往往就能迎刃而解。例5=分析：觀察題目得知：條件中的角分別為，并且等號的左邊比右邊繁瑣，故先從等號左邊入手，然后根據等號右邊的單角來化簡即把，解題如下：左邊======得證。再如求的值，很容易得到，本來比擬難處理的問題也就變得明了了。二、等價轉化法等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不標準、復雜的問題轉化為熟悉、標準甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題”。數學的解題過程，就是從未知向、從復雜到簡單的化歸轉換過程。例6.求值：ctg10°－4cos10°【分析】分析所求值的式子，估計兩條途徑：一是將函數名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角?！窘庖弧縞tg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→拆項→差化積→化同名→差化積〕【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積〕【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式〕【注】無條件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換過程是等價轉化思想的表達。此種題型屬于三角變換型。一般對于三角恒等變換，需要靈活運用的是同角三角函數的關系式、誘導公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關。等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化。此類題目要求考生對三角函數知識的掌握比擬高，且具有較強的知識遷移能力和數學建模能力，要注意數形結合思想在解題中的應用例7設z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，z1=2z2，求λ的取值范圍此題主要考查三角函數的性質，考查考生的綜合分析問題的能力和等價轉化思想的運用解法一∵z1=2z2，∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－)2－當sinθ=時λ取最小值－，當sinθ=－1時，λ取最大值2解法二∵z1=2z2∴∴,∴=1∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,設t=m2,那么0≤t≤4,令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,那么或f(0)·f(4)≤0∴∴－≤λ≤0或0≤λ≤2∴λ的取值范圍是［－，2］美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫穿時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法。我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光。以上是我對三角函