2023年中考數學【熱點?重點?難點】專練（江蘇專用）

熱點04.二次函數及綜合問題

【考綱解讀】

L了解：二次函數的概念；二次函數的對稱軸；二次函數圖象與系數的關系.

2.理解：二次函數的性質與圖象；確定二次函數的解析式.

3.會：會判斷一個函數是否為二次函數；會在對稱軸左、右判斷函數的增減性；會用數形結合思想

解決問題.

4.掌握：二次函數的性質；用待定系數法確定函數解析式；利用二次函數來解決實際問題的基本思

路；掌握二次函數圖象與X軸交點的個數與一元二次方程根的關系；掌握二次函數圖象與一元二

次不等式的關系；將實際問題轉化為數學中的二次函數問題.

5.能：用待定系數法確定函數解析式；判別式、拋物線與X軸的交點、二次方程的根的情況三者之

間的聯系；能根據圖象信息解決相應的問題.

【命題形式】

1.從考查的題型來看，涉及本知識點的題目主要以選擇題與解答題的形式考查，也可能在填空題中

出現，題目難度中高檔.

2.從考查內容來看,主要有：二次函數的性質與圖象；用待定系數法確定函數解析式；二次函數的

最值與平移問題；函數與幾何圖形相關的綜合應用等.

3.從考查熱點來看,主要有：二次函數的性質與圖象；通過具體問題情境學會用三種方式表示二次

函數關系；一次函數與二次函數，函數與其他綜合相關的實際問題；通過在實際問題中應用二次

函數的性質，發展應用二次函數解決實際問題的能力.

【限時檢測】

A卷（真題過關卷）

備注：本套試卷所選題目多數為近三年江蘇省各地區中考真題，針對性強，可作為一輪、二

輪復習必刷真題過關訓練.

一、單選題

I.（2022?江蘇泰州?統考中考真題）已知點（-3,%）,（-1,%,。,加在下列某一函數圖像上，且、3<%<利

那么這個函數是（）

33

A.y=3xB.y=3x2oC.y=-D.y=--

【答案】D

【分析】先假設選取各函數，代入自變量求出〃、》，2、”的值，比較大小即可得出答案.

【詳解】解：A.把點（-3,yJ（-l,y2），（1，曠3）代入產3x,解得"=-9,>>2=-3,y?=3,所以y∕<y2<y3,這與已

知條件乃<當<%不符，故選項錯誤，不符合題意；

B.把點（-3,yJ（-1,丁2），（1，丫3）代入）'=3-解得yι=21,y2=3,y3=3,所以y1>y2=y3>這與已知條件曠3<Yi<曠2

不符，故選項錯誤，不符合題意；

C.把點（-3,yD,（1,丫3）代入J=I>解得y∣=-1'”=-3,”=3,所以y2<y∣<yj>這與已知條件為<%<丫2

不符，故選項錯誤，不符合題意；

D.把點（-3,yJ,（1，丫3）代入尸：，解得V=L>'2=3,y?=-3,所以y3<Yi<72>這與已知條件丫3<

yι<y2相符，故選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查了一次函數、反比例函數以及二次函數，解題的關鍵是掌握函數值的大小變化和函數的

性質.

2.（2021.江蘇徐州.統考中考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數y=/的圖像向左平移2個單位長度，

再向上平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（）

A.y=（x-2）2+1B.y=（x+2）2+1C.y=（x+2）2—1D.y=（%—2）2—1

【答案】B

【分析】先求出平移后拋物線的頂點坐標，進而即可得到答案.

【詳解】解：..'y="的頂點坐標為（0,0）

.?.將二次函數y="的圖像向左平移2個單位長度,再向上平移1個單位長度,所得拋物線的頂點坐標為（-2,

1）,

；?所得拋物線對應的函數表達式為y=（χ+2）2+l,

故選B

【點睛】本題主要考查二次函數的平移規律，找出平移后二次函數圖像的頂點坐標或掌握“左加右減，上加

下減”，是解題的關鍵.

3.（2021?江蘇常州?統考中考真題）己知二次函數y=（ɑ-l）/,當χ>0時，），隨X增大而增大，則實數“

的取值范圍是()

A.α>OB.α>1C.α≠1D.α<1

【答案】B

【分析】根據二次函數的性質，可知二次函數的開口向上，進而即可求解.

【詳解】?.?二次函數y=(α-l)χ2的對稱軸為y軸，當％>O時，)，隨X增大而增大，

.?.二次函數y=(α-1)/的圖像開口向上，

Λα-l>O,即：α>1,

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的開口方向與二次項系數的關系，是解題的關鍵.

4.(2021?江蘇蘇州?統考中考真題)已知拋物線y=∕+kχ-∕c2的對稱軸在y軸右側，現將該拋物線先向右

平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經過坐標原點，則k的值是()

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規律進行解答即可.

【詳解】解：函數y=/+kχ-卜2向右平移3個單位，得：y=(χ-3)2+k(x-3)-fc2；

再向上平移1個單位，得：y=(x-3)2+k(x-3)-?2+l,

Y得到的拋物線正好經過坐標原點

Λ0=(O-3)2+fc(O-3)-fc2+l即。+3fc-10=O

解得：k=一5或k=2

；拋物線y=x2+kx-/的對稱軸在y軸右側

Λx=-->0

2

Λfc<O

:?k=-5

故選：B.

【點睛】此題主要考查了函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減.

5.(2021?江蘇宿遷?統考中考真題)已知二次函數y=Q∕+bx+c的圖像如圖所示，有下列結論：①a>0；

②〃-4ac>0;③4a+&=0；④不等式a/+⑦-I)%+CVO的解集為l<x<3,正確的結論個數是()

【答案】A

【分析】根據拋物線的開口方向、于X軸的交點情況、對稱軸的知識可判①②③的正誤，再根據函數圖象的

特征確定出函數的解析式，進而確定不等式，最后求解不等式即可判定④.

【詳解】解：???拋物線的開口向上，

Λa>O,故①正確；

：拋物線與X軸沒有交點

'.b2-4αc<0,故②錯誤

C由拋物線可知圖象過（1,1）,且過點（3,3）

（a+b+c=1

（9a+3b+c==3

Λ8a+2b=2

二4a+b=1,故③錯誤；

由拋物線可知頂點坐標為（1,1）,且過點（3,3）

則拋物線與直線y=x交于這兩點

Λax2+（b—I）X+c<0可化為ɑ/+bx+c<x,

根據圖象，解得：l<x<3

故④錯誤.

故選A.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的特征以及解不等式的相關知識，靈活運用二次函數圖象的特征成

為解答本題的關鍵.

6.（2021?江蘇連云港?統考中考真題）關于某個函數表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出了該函數的

一個特征.

甲：函數圖像經過點（一1,1）；

乙：函數圖像經過第四象限；

丙：當%>O時，y隨X的增大而增大.

則這個函數表達式可能是（）

A.y=—XB.y=~C.y=X2D.y=—?

【答案】D

【分析】根據所給函數的性質逐一判斷即可.

【詳解】解：A.對于y=-x,當4-1時，y=l,故函數圖像經過點（一1,1）；函數圖象經過二、四象限；當x>O

時，y隨X的增大而減小.故選項4不符合題意；

8.對于y=[,當4-1時，y=-1,故函數圖像不經過點（-1,1）；函數圖象分布在一、三象限；當x>0時，y

隨X的增大而減小.故選項8不符合題意；

C.對于y=/,當X=-I時，故函數圖像經過點（-1,1）：函數圖象分布在一、二象限；當x>0時1y隨

X的增大而增大.故選項C不符合題意；

D對于y=-：,當X=-I時，y=l,故函數圖像經過點（一1,1）；函數圖象經過二、四象限；當X>0時，y隨X

的增大而增大.故選項。符合題意；

故選：D

【點睛】本題考查的是一次函數、二次函數以及反比例函數的性質，熟知相關函數的性質是解答此題的關

鍵.

7.（2021?江蘇無錫?統考中考真題）設P（X,%），Q（X,y2）分別是函數G，圖象上的點，當αSx≤b時，總

有一l≤yi-y2≤l恒成立，則稱函數G，C?在α≤x≤b上是"逼近函數”，α≤x≤b為"逼近區間則下

列結論：

①函數y=X-5,y-3x+2在1≤x≤2上是"逼近函數”；

②函數y=尤一5,y=x2-4x在3≤x≤4上是"逼近函數”；

③0≤X≤1是函數y=X2-1,y-2x2-X的“逼近區間”；

?2≤X≤3是函數y=X-5,y-X2--4%的"逼近區間

其中，正確的有（）

A.②③B.??C.①③D.②④

【答案】A

【分析】分別求出力-曠2的函數表達式，再在各個X所在的范圍內，求出力-丫2的范圍，逐一判斷各個選

項，即可求解.

【詳解】解：①Tyi=%—5,y2=3x+2,

Λy1一為=(%—5)—(3x÷2)=-2x-7,當1≤x≤2時，-11≤y1-y2≤-9,

???函數y=%-5,y=3、+2在1≤%W2上不是“逼近函數”；

2

(2)Vyi=%—5,y2=X-4x,

22

Λy1—=(%-5)—(x-4x)=-X+5%-5,當3≤x≤4時，-1≤y1一力≤1，

函數y=%-5,y=X2-4%在3≤x≤4上是"逼近函數”；

22

@Vy1=X-1,y2—2x—%,

22

?y1-y2=(%?-1)-(2x-x)=-x÷x-1,當°≤%≤1時，一1≤%-力≤一不

.*.O≤%≤1是函數y=%2—1,y=2x2—%的“逼近區間”；

=χ2-

(J)Vy1=%—5?y24，

Λy一為=(%—5)—(x2-4x)=-x2÷5x-5,當2≤%≤3時，1≤月一％≤*，

14

.?.2≤X≤3不是函數y=X-5,y=X2-4x的“逼近區間

故選A

【點睛】本題主要考查一次函數與二次函數的性質，掌握一次函數與二次函數的增減性，是解題的關鍵.

8.(2021?江蘇蘇州?統考中考真題)如圖，線段AB=Io,點C、。在AB上，AC=BD=1.已知點P從點C出

發，以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點。移動，到達點D后停止移動，在點P移動過程中作如下操作：

先以點P為圓心，PA.PB的長為半徑分別作兩個圓心角均為60。的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的

側面.設點P的移動時間為(秒).兩個圓錐的底面面積之和為S.則S關于t的函數圖像大致是()

【答案】D

【分析】由題意，先求出P4=t+1,PB=9-t,然后利用再求出圓錐的底面積進行計算，即可求出函數

表達式，然后進行判斷即可.

【詳解】解：根據題意，

'.,AB=10,AC=BD=1,且己知點P從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿著力B向點。移動，到達點

D后停止移動，則0≤t≤8,

：.PA=t+l,

ΛPB=10-(t+l)=9-t,

由PA的長為半徑的扇形的弧長為：絲器誓=安義

1803

.?.用P4的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為空

6

.?.其底面的面積為變磬

由PB的長為半徑的扇形的弧長為：竺限=空

.?.用PB的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為9

...其底面的面積為嚶?

36

二兩者的面積和S=+?^=?π(t2-8t+41)

363618

.?.圖像為開后向上的拋物線，且當t=4時有最小值;

故選：D.

【點睛】本題考查了扇形的面積公式，二次函數的最值，二次函數的性質，線段的動點問題，解題的關鍵

是熟練掌握扇所學的知識，正確的求出函數的表達式.

二、填空題

9.（2021.江蘇泰州.統考中考真題）在函數y=（X-1）2中,當尤>1時,y隨X的增大而—.（填“增大”或“減

小”）

【答案】增大

【分析】根據其頂點式函數y=（X-1）2可知，拋物線開口向上，對稱軸為x=l,在對稱軸右側.y隨X的

增大而增大，可得到答案.

【詳解】由題意可知：函數y=（%-I/,開口向上，在對稱軸右側y隨X的增大而增大，又?.?對稱軸為X=1,

.?.當x>1時，y隨的增大而增大，

故答案為：增大.

【點睛】本題主要考查了二次函數的對稱軸及增減性，掌握當二次函數開口向上時，在對稱軸的右側y隨X

的增大而增大，在對稱軸的左側），隨X的增大而減小是解題的關鍵.

10.（2022.江蘇無錫.統考中考真題）把二次函數）=f+4x+機的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3

個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么，〃應滿足條件：.

【答案】，〃>3

【分析】先求得原拋物線的頂點坐標為（-2,W-4）,再求得平移后的頂點坐標為（1,根據題意得到

不等式》3>0,據此即可求解.

【詳解】解：?.?y=∕+4x+m=（x+2）2+叱4,

此時拋物線的頂點坐標為（-2,m-4）,

函數的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標為（-2+3,"i-4+l）,即（l,m-3）,

???平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，

Λzn-3>0,

解得：加>3,

故答案為：e*3.

【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，屬于基礎題，解決本題的關鍵是得到新

拋物線的頂點坐標.

11.(2022.江蘇連云港.統考中考真題)如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y=-0.2x2+%+2.25運行,

然后準確落入籃筐內，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離OH是

【分析】將'=3.05代入37=—0.2萬2+》+2,25中可求出工，結合圖形可知x=4,即可求出OH.

【詳解】解：當y=3.05時，-0.2/+x+2.25=3.05,解得：X=I或x=4,

結合圖形可知：OH=4m,

故答案為：4

【點睛】本題考查二次函數的實際應用：投球問題，解題的關鍵是結合函數圖形確定X的值.

12.(2022.江蘇鹽城.統考中考真題)若點P(Tn,n)在二次函數、=必+2尤+2的圖象上，且點P到y軸的距離

小于2,則n的取值范圍是.

【答案】1≤n<10

【分析】先判斷一2<m<2,再根據二次函數的性質可得：n=nt?+2m+2=(m+I/+1,再利用二次

函數的性質求解〃的范圍即可.

【詳解】解：點P到y軸的距離小于2,

■.-2<m<2,

,??點P(m,n)在二次函數y=x2+2x+2的圖象上，

.?.n=m2+2m+2=(m+I)2+1,

當m=-l時，H有最小值為1.

當Tn=2時，n=(2+I)2+1=10,

???n的取值范圍為1≤n<10.

故答案為：l≤n<10

【點睛】本題考查的是二次函數的性質，掌握“二次函數的增減性”是解本題的關鍵.

13.(2022?江蘇南通?統考中考真題)根據物理學規律，如果不考慮空氣阻力，以40m∕s的速度將小球沿與地

面成30。角的方向擊出，小球的飛行高度做單位：m）與飛行時間K單位：s）之間的函數關系是九=-5t2+20t,

當飛行時間t為S時，小球達到最高點.

【答案】2

【分析】將函數關系式轉化為頂點式即可求解.

【詳解】根據題意，有fι=-5t2+20t=-5（t-2）2+20,

當t=2時，Zt有最大值.

故答案為：2.

【點睛】本題考查二次函數解析式的相互轉化及應用，解決本題的關鍵是熟練二次函數解析式的特點及應

用.

14.（2022.江蘇徐州.統考中考真題）若二次函數y=x2-2x-3的圖象上有且只有三個點到X軸的距離等于

m,則m的值為.

【答案】4

【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線ml，頂點為（1,-4）,由圖象上恰好只有三個點到X軸

的距離為機可得m=4.

【詳解】解：?.?y=χ2-2x-3=（x—1）2-4,

.??拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線廣1,頂點為（1,-4）,

二頂點到X軸的距離為4,

函數圖象有三個點到X軸的距離為m,

,m=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，能夠理解題意是解題的關鍵.

15.（2021?江蘇連云港?統考中考真題）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣

出份數分別為40份、80份.該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份8種快餐的

利潤.售賣時發現，在一定范圍內，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1

元就少賣2份.如果這兩種快餐每天銷售總份數不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是元.

【答案】1264

【分析】根據題意，總利潤=4快餐的總利潤+B快餐的總利潤，而每種快餐的利潤=單件利潤X對應總數量，

分別對兩份快餐前后利潤和數量分析，代入求解即可.

【詳解】解：設4種快餐的總利潤為名，B種快餐的總利潤為傷，兩種快餐的總利潤為W，設4快餐的份數

為X份，則B種快餐的份數為(120-x)份.

2

據題意：IV1=(12-?)×X=(12-1+20)×X=-∣x+32x,

80χ

IV2=[8+°-^~)](-120-X)=-∣χ2+72X-2400,

22

IV=IV1+MZ2=-%+104x-2400=一(尤-52)+1264,

V-I<0,

當X=52的時候,W取到最大值1264,故最大利潤為1264元，

故答案為：1264.

【點睛】本題考查的是二次函數的應用，正確理解題意、通過具體問題找到變化前后的關系是解題關鍵點.

16.(2021.江蘇無錫.統考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點C為y軸正半軸上的一

個動點，過點C的直線與二次函數y=/的圖象交于A、B兩點，且CB=3AC,尸為CB的中點，設點P的

坐標為P(x,y)(x>O),寫出y關于X的函數表達式為：.

【答案】y=疑2

【分析】過點4作AMLy軸，過點B作8M垂直y軸，則黑=受=；,設A(∕,/),則須3小

'BMCB3

9國，求出C(0,3/),從而得P(Iα,6Q2),進而即可得到答案.

【詳解】解：過點A作AAay軸，過點B作垂直y軸，則〃4V,

：.ACBMFCAN,

VCB=3ACf

...-A-N-=—AC="1,

BMCB3

22

設4-〃，a),則8(3α,9a)f

設直線AB的解析式為：尸履+〃，

則警甘,，解得：朽=為，

(9αz=3ka+bIb=3αz

2

，直線AB的解析式為：y=2ax+3af

ΛC(O,3/,

TP為CB的中點，

ΛP(∣α,6α2),

(3

.??1=咒，BP：y=∣x2,

故答案是：y=?/.

【點睛】本特納主要考查二次函數與一次函數的綜合，相似三角形的判定和性質，掌握函數圖像上點的坐

標特征，是解題的關鍵.

三、解答題

17.(2021?江蘇鹽城?統考中考真題)已知拋物線y=α(x-1α+九經過點(0,-3)和(3,0).

(1)求a、九的值;

(2)將該拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到新的拋物線，直接寫出新的拋物

線相應的函數表達式.

【答案】(l)a=l,h=—4：(2)y=X2—4x+2

【分析】(1)將點(0,-3)和(3,0),代入解析式求解即可；

(2)將y=(x—1)2—4,按題目要求平移即可.

【詳解】(1)將點(0,-3)和(3,0)代入拋物線y=α(x-I)2+八得:

rɑ(θ-I)2+/1=-3

Ia(3-I)2+Λ=0

解得：LQ=I4

m=-4

?,.a=1>h=—4

(2)：原函數的表達式為:y=(x-I)2-4,

向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得：

???平移后的新函數表達式為:y=(X-I-I￥-4+2=X2-4X+2

即y=X2—4x+2

【點睛】本題考查了待定系數法確定解析式，頂點式的函數平移，口訣：“左加右減，上加下減“，正確的計

算和牢記口訣是解題的關鍵.

18.(2022?江蘇常州.統考中考真題)在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數表達式為y=抬②函

數表達式為V=久2；③函數的圖像關于原點對稱；④函數的圖像關于y軸對稱；⑤函數值y隨自變量X增大而

增大.將這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子力中攪勻，③、④、⑤放在不透明的盒子B中

攪勻.

(1)從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是；

(2)先從盒子4中任意抽出1支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙條上的語句對函數的描

述相符合的概率.

【答案】(IE

卷

【分析】(1)直接由概率公式求解即可：

(2)畫出樹狀圖，再由概率計算公式求解即可.

【詳解】(1)解：從盒子4中任意抽出1支簽，抽到①的概率是點

故答案為：?;

(2)解：畫出樹狀圖:

開始

共有6種結果，抽到的2張小紙條上的語句對函數的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3種，

???抽到的2張小紙條上的語句對函數的描述相符合的概率為:=?

62

【點睛】本題主要考查了列表法或樹狀圖求概率，一次函數與二次函數的性質，解題的關鍵是會列出表或

樹狀圖以及一次函數與二次函數的性質.

19.（2022.江蘇淮安?統考中考真題）端午節前夕，某超市從廠家分兩次購進4、B兩種品牌的粽子，兩次進

貨時，兩種品牌粽子的進價不變.第一次購進4品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第

二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元.

（1）求4、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；

（2）當B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷

售.經市場調研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當B品牌粽子每袋的銷售價降

低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）4種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元

（2）當B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元

【分析】（1）根據已知數量關系列二元一次方程組，即可求解；

（2）設B品牌粽子每袋的銷售價降低α元，利潤為W元，列出W關于α的函數關系式，求出函數的最值即可.

【詳解】（1）解：設4種品牌粽子每袋的進價是X元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，

根據題意得，?:-θ-z.

?g：30

故4種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；

（2）解：設B品牌粽子每袋的銷售價降低α元，利潤為W元，

根據題意得,

W=(54-α-30)(20+5α)=-Sa2+IOOa+480=-5(α-IO)2+980,

V-5<0,

.?.當8品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元.

【點睛】本題考查二次函數和二元一次方程的實際應用，根據已知數量關系列出函數解析式和二元一次方

程組是解題的關鍵.

20.(2022?江蘇無錫?統考中考真題)某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖

場一面靠墻(墻的長度為Iom),另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已

知柵欄的總長度為24m,設較小矩形的寬為Xm(如圖).

(1)若矩形養殖場的總面積為36n√,求此時X的值；

(2)當X為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？

【答案】(I)X的值為2m；

(2)當X=T時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為詈m2

【分析】(1)由BC=X,求得8f>=3x,AB=S-x,利用矩形養殖場的總面積為36m2,列一元二次方程，解方

程即可求解；

(2)設矩形養殖場的總面積為S,列出矩形的面積公式可得S關于X的函數關系式，再根據二次函數的性

質求解即可.

【詳解】(I)解：?.?8C=x,矩形CQE尸的面積是矩形8C7?面積的2倍，

：?CD=2x,

.?BD=3χfAB=CF=DE=^(24-BD)=S-χ9

依題意得：3Λ(8-X)=36,

解得：x∕=2,x2=6(不合題意，舍去),

此時x的值為2m；

(2)解：設矩形養殖場的總面積為S,

由(1)得：S=3X(8-X)=-3(X-4)2+48,

:墻的長度為10,

Λ0<3x<10,

Λ0<%<-,

3

V-3<0,

.?.∕V4時，S隨著X的增大而增大，

...當4T時，S有最大值，最大值為一3X(與一4)2+48=等，

即當X=￡時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為券H?.

【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數在幾何圖形問題中的應用，數形結合并熟練掌握二次函數的

性質是解題的關鍵.

21.(2022.江蘇泰州.統考中考真題)如圖，二次函數yι=/+皿+1的圖像與丫軸相交于點4與反比例函

數曠2=：O>0)的圖像相交于點8(3，1).

(1)求這兩個函數的表達式；

(2)當月隨X的增大而增大且yι<'2時，直接寫出X的取值范圍；

(3)平行于X軸的直線/與函數yι的圖像相交于點C、。(點C在點。的左邊)，與函數丫2的圖像相交于點E

若AACE與△BOE的面積相等，求點E的坐標.

【答案】(l)yι=/一3x+1：y2=I(?>θ)

(2)∣≤%<3

(3)E(∣,2)

【分析】(1)用待定系數法求出解析式即可：

(2)由圖像直接得出結論即可；

(3)根據4點和B點的坐標得出兩三角形等高，再根據面積相等得HICE=DE,進而確定E點是拋物線對稱

軸和反比例函數的交點，求出E點的坐標即可.

【詳解】(1)解：：二次函數yι=/+THX+1的圖像與y軸相交于點A,與反比例函數=：(X>0)的圖像

相交于點8(3,1),

.?.32+3m+l=l,鋁1,

解得m=-3,k=3,

二二次函數的解析式為yι=X2-3X+1,反比例函數的解析式為y2=：(%>°)；

(2)解：???二次函數的解析式為yι=∕-3χ+l,

???對稱軸為直線X=|，

由圖像知，當月隨X的增大而增大且乃<曠2時，∣<x<3；

(3)解：由題意作圖如下：

當X=0時，y1=1,

???4(0,1),

???B(3,1),

.??44CE的CE邊上的高與ABZ)E的DE邊上的高相等,

?.?∕L4CE與ABDE的面積相等，

?CE=DE,

即E點是二次函數的對稱軸與反比例函數的交點，

當X=I時，y2=2,

【點睛】本題主要考查二次函數和反比例函數的綜合題，熟練掌握二次函數和反比例函數的圖像及性質,

三角形的面積，待定系數法求解析式等知識是解題的關鍵.

22.(2022?江蘇連云港?統考中考真題)已知二次函數y=∕+(rn-2)χ+m-4,其中m>2.

(1)當該函數的圖像經過原點。(0,0),求此時函數圖像的頂點A的坐標；

(2)求證：二次函數y=X2+(τn-2)X+m-4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數的圖像，使其頂點在直線y=-X-2上運動，平移后所得函

數的圖像與y軸的負半軸的交點為B,求44。B面積的最大值.

【答案】(1)4(一1,一D

(2)見解析

(3)最大值為:

O

【分析】(I)先利用待定系數法求出二次函數解析式，再將二次函數解析式化為頂點式即可得到答案;

-m2+8m-20

(2)先根據頂點坐標公式求出頂點坐標為(號?,然后分別證明頂點坐標的橫縱坐標都小于O

4

即可;

(3)設平移后圖像對應的二次函數表達式為y=/+入+c,則其頂點坐標為(-發蘭盧)，然后求出點B

的坐標，根據平移后的二次函數頂點在直線y=2上推出C=號不，過點4作AHLOB,垂足為

可以推出S-OB=-∣(fe+l)2+［由此即可求解.

OO

【詳解】(1)解：將O(0,0)代入y=久2+(7n—2)%+TH—4,

解得Zn=4.

由m>2,則？n=4符合題意，

.?.y=%2÷2%=(%+I)2—1,

?*?√4(—1,-1).

(2)解：由拋物線頂點坐標公式得頂點坐標為(號二條誓史).

Vm>2,

/.m—2>0,

/.2—m<0,

Λ-<0.

2

??—τn2+8τn-201八2-ι)<ι,c

?=--(m-4)z-f1≤-1<0,

44

,二次函數y=X2+(m-2)x+m-4的頂點在第三象限.

(3)解：設平移后圖像對應的二次函數表達式為y=∕+bχ+c,則其頂點坐標為(一17)

當％=0時，y=c,

???B(0,c).

將(一1欠盧)代入y=r_2,

?.?B(0,c)在y軸的負半軸上,

Λc<0.

過點4作AH_LOB,垂足為H,

VΛ(-1,-1),

.'.AH=1.

在△40B中，SΔΛOB=∣0B?ΛH=i×(-^^)×l

1,1

=~Sb4b+1

=Tb+I/+*

.?.當b=-l時，此時c<0,ZkAOB面積有最大值，最大值為:

O

【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數的平移，二次函數的

最值問題，正確理解題意，熟練掌握二次函數的相關知識是解題的關鍵.

23.（2021.江蘇泰州?統考中考真題）農技人員對培育的某一品種桃樹進行研究，發現桃子成熟后一棵樹上

每個桃子質量大致相同.以每棵樹上桃子的數量X（個）為橫坐標、桃子的平均質量y（克/個）為縱坐標,

在平面直角坐標系中描出對應的點，發現這些點大致分布在直線AB附近（如圖所示）.

（1）求直線AB的函數關系式；

（2）市場調研發現:這個品種每個桃子的平均價格w（元）與平均質量y（克/個）滿足函數表達式卬=擊），+2.在

（1）的情形下，求一棵樹上桃子數量為多少時，該樹上的桃子銷售額最大？

【答案】(1)y=-∣x+500;(2)210.

【分析】⑴將4(120,300),8(240,100)代入到y=kx+b,得到方程組｛湍;端O解得上與匕的

值，即可求出直線43的解析式：

(2)將y=-∣x+500代入W=京y+2中，得到新的二次函數解析式，再表示出總銷售額，配方成頂點

式，求出最值即可.

【詳解】解：(1)設直線AB的函數關系式為y=kx+b,

將A(120,300),8(240,100)代入可得:[?θɑ=券器甘，

IlUO=24。/C+b

解得：?=一1,

3=500

...直線AB的函數關系式y=-∣x+500.

故答案為：y=-∣x+500.

(2)將y=-∣x+500代入W=擊y+2中，

口J得：w—-X+500^+2ι

IOO\3)

化簡得：W=-??+7,

60

設總銷售額為z,則Z=wx=(-??+7)%

1

z=——X7+7%

11

=--(x2-420x+2102)+—×2102

6060

=一2(x-210)2+735

"?"ɑ=-----<0?

60

??.z有最大值,當X=210時，Z取到最大值,最大值為735.

故答案為：210.

【點睛】本題考查了一次函數解析式的求解，二次函數的應用，能理解題意，并表示出其解析式是解題關

鍵.

24.(2021?江蘇連云港?統考中考真題)如圖，拋物線y=nt/+(巾2+3)萬—gm+9)與X軸交于點A、B,

與y軸交于點C,已知B(3,0).

(1)求，”的值和直線BC對應的函數表達式;

(2)P為拋物線上一點，若SNBC=S“BC，請直接寫出點P的坐標;

(3)Q為拋物線上一點，若NACQ=45。，求點。的坐標.

【答案】⑴Zn=-Ly=x-3?,⑵P(2,l),P(手,乎)，。(手,子)；(3)QC)

【分析】(1)求出A，8的坐標，用待定系數法計算即可；

(2)做點A關于8C的平行線4Pi，聯立直線4Pι與拋物線的表達式可求出Pl的坐標，設出直線AP1與y軸

的交點為G,將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線P3P2,聯立方程組即可求出P；

(3)取點Q,連接CQ,過點4作4。ICQ于點。，過點。作。FIX軸于點F,過點C作CE_L。F于點E,得直

線CD對應的表達式為y=3,即可求出結果；

【詳解】(1)將8(3,0)代入y=mx2+(m2+3)%—(6m+9),

化簡得r∏2+m=0,則Zn=O(舍)或τn=-1,

.,.m=一1,

得：y=--+4^-3,則C(O,-3).

設直線BC對應的函數表達式為y=kx+b,

將8(3,0)、C(O,-3)代入可得｛0;；匕/,解得k=l,

則直線Be對應的函數表達式為y=X—3.

(2)如圖，過點A作4Pi〃8C,設直線4Pl與y軸的交點為G,將直線BC向下平移GC個單位，得到直線

P3P2,

由(1)得直線BC的解析式為y=%—3,4(L0),

直線AG的表達式為y=x-l,

聯立（V

（y=-χz+4X-3

解得:g:j（舍），或U

APi（2,1）,

由直線AG的表達式可得G(-l,0),

：.GC=2,CH=2,

，直線P3P2的表達式為y=%-5,

聯立二二3，

3+√17（3-√17

—,卜2二二

-7+√17,J-7-√17，

?y2=

..嗎―,七（三￥）,

.”（2,1）,P—,「（手￥）.

(3)如圖，取點Q,連接CQ,過點4作AC_LCQ于點D,

過點。作DF1X軸于點尸，過點C作CE1DF于點E,

9∕?ACQ=45o,

：.AD=CDt

又???乙4。C=90。,

???Z√1DF+4CDE=90。，

VzCDF+ZDCF=90°,

，乙DCE=Z.ADF,

XVzE=?AFD=90°,

.?ΔCDE=ΔDAFf則AF=DE,CE=DF.

設DE=AF=Q,

VOA=1,OF=CE,

?二CE=DF=Q+1.

由OC=3,貝IjDF=3一m即Q+1=3-Q,解之得，Q=L

所以。(2,—2),又C(0,-3),

可得直線CD對應的表達式為y=∣x-3,

設QOnJrn-3)，代入y=-/+4x-3,

得—3=—nr2+4m—3,?m=-m2÷4m,m2—?m=0,

又m≠0,則m=￡所以Qg—：).

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合題，結合一元二次方程求解是解題的關鍵.

25.(2022.江蘇鎮江?統考中考真題)一次函數y=1%+1的圖像與％軸交于點4,二次函數y=Q/+b%+

e(ɑ≠0)的圖像經過點4、原點。和一次函數y=??÷1圖像上的點8(mJ).

Z4

(1)求這個二次函數的表達式；

2

(2)如圖?,一次函數y=??+n(n>--^-ln≠1)與二次函數y=ax+hx+c(α≠0)的圖像交于點C(%i，yi)、

2Io

D(X2,力)(Xl<%2)，過點C作直線El1X軸于點E,過點D作直線％1X軸，過點B作BF1%于點產?

①與=，X2=(分別用含般的代數式表示)；

②證明：AE=BF-,

(3)如圖2,二次函數y=α(x-t)2+2的圖像是由二次函數y=ax2+bx+c(α≠0)的圖像平移后得到的，

且與一次函數y=∣x+1的圖像交于點P、Q(點P在點Q的左側)，過點P作直線b?X軸，過點Q作直線，4?%

軸，設平移后點A、B的對應點分別為4、B',過點4'作4M1。于點M,過點夕作"NJ.%于點N.

①AM與夕N相等嗎？請說明你的理由；

②若AM+3B'N=2,求t的值.

【答案】(l)y=/+2x

(3)①4M=BW,理由見解析；②3

【分析】(1)通過一次函數表達式可以求出A、B兩點坐標，將A、B、C三點坐標代入二次函數表達式即

可求解；

(2)①通過聯立關系式可得：∣x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到匕,亞

的值；

②通過A(-2,0),E(-379+i6n,0)即可求出AE的長度;

4

通過聯，)「(衛誓乳》即可求出所的長度；

（3）①通過二次函數平移前后的表達式可以確定新二次函數的圖像是由原二次函數的圖像向右平移（t+l）

個單位，向上平移3個單位得到的，從而可以得到：4（t—1,3）,B'（t+1，?）.通過聯立關系式可得：（x-t）2+

2=∣x+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點尸、點。的橫坐標，通過坐標即可表示

出AM、BW的長度.

②由①可得乂號求解即可.

42

【詳解】（I）令y=0,則）+1=0,解得X=-2,

.M(—2,0),

將點B（m,｝代入y=1x+1中，解得m=去

.?.點B的坐標為

將4(-2,0),B(∣,∣),C(0,0)代入y=α∕+故+C(Q≠0)可得:

4α—2h+c=0a=1

^?α+^b÷c=∣,解得：｛b=2,

c=0C=O

.?.二次函數的表達式為y=%2+2x.

2

(2)①:一次函數y=，+n(n>-Jn豐1)與二次函數y=ax+bx+c(α≠0)的圖像交于點C(XLyI)、

216

D（X2，丫2）（X1<%2），

，聯立關系式得：??+n=X2+2x,

整理得：%2+∣x-n=0,

_3等1+軌_3+際而

解得：Xl=N

2424

—3—V9÷16∏—3+V9÷16∏

故答案為：X=：X

1J'24

②當?τ>l時，CD位于AB的上方，?.?A(-2,0)?BGt)，

2±JΞ_±JΞβr_±JEΞι.±JΞ

??/1C-—一"二一,Dr—,

22222

?ME=BF,

當一2Cn<1時，CD位于48的下方，同理可證.

16

故可得：AE=BF；

(3)方法一：

①T二次函數y=x2+2x圖像的頂點為(一L-1)，

二次函數y=(x—t>+2的圖像的頂點為(t,2),

二新二次函數的圖像是由原二次函數的圖像向右平移(t+l)個單位，向上平移3個單位得到的.

.M(-2,0)的對應點為4(t-1,3),3(靖)的對應點為9(￡+：,約，

2424

聯立關系式可得：(x-t)2+2=3%+l,

整理得：X2-(2t+^)x+t+l=0,

8t-15

Δ=---------

4

4t+l-√8t-154t+l+√8t-15

當t>蔡時，解得:XP=，x

4