第1講§柱、錐、臺、球的結構特征¤學習目標：認識柱、錐、臺、球的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.逐步培養觀察能力和抽象概括能力.¤知識要點：結構特征圖例棱柱〔1〕兩底面相互平行，其余各面都是平行四邊形；〔2〕側棱平行且相等.圓柱〔1〕兩底面相互平行；〔2〕側面的母線平行于圓柱的軸；〔3〕是以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體.棱錐〔1〕底面是多邊形，各側面均是三角形；〔2〕各側面有一個公共頂點.圓錐〔1〕底面是圓；〔2〕是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體.棱臺〔1〕兩底面相互平行；〔2〕是用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的局部.圓臺〔1〕兩底面相互平行；〔2〕是用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的局部.球〔1〕球心到球面上各點的距離相等；〔2〕是以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體.¤例題精講：【例1】請描述以下幾何體的結構特征，并說出它的名稱.〔1〕由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，其它面都是全等的矩形；〔2〕如右圖，一個圓環面繞著過圓心的直線l旋轉180°.解：〔1〕特征：具有棱柱的特征，且側面都是全等的矩形，底面是正五邊形.幾何體為正五棱柱.〔2〕由兩個同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的局部形成的幾何體，即空心球.【例2】假設三棱錐的底面為正三角形，側面為等腰三角形，側棱長為2，底面周長為9，求棱錐的高.解：底面正三角形中，邊長為3，高為，中心到頂點距離為，那么棱錐的高為.【例3】用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1：16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長.解：設圓臺的母線為，截得圓臺的上、下底面半徑分別為，.根據相似三角形的性質得，，解得.所以，圓臺的母線長為9cm點評：用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質〔與底面全等或相似〕，同時結合旋轉體中的軸截面〔經過旋轉軸的截面〕的幾何性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方程組而解得.【例4】長方體的一條對角線與一個頂點處的三條棱所成的角分別為，求與的值.解：設長方體的一個頂點出發的長、寬、高分別為a、b、c，相應對角線長為l，那么.，∴=1.，∴=2.點評：從長方體的一個頂點出發的對角線與三條棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的邊角關系“”、“”而求.關鍵在于找準直角三角形中的三邊，斜邊是長方體的對角線，角的鄰邊是各棱長，角的對邊是相應矩形面的對角線.第1練§柱、錐、臺、球的結構特征※根底達標1．一個棱柱是正四棱柱的條件是〔〕.A.底面是正方形，有兩個側面是矩形B.底面是正方形，有兩個側面垂直于底面C.底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直D.每個側面都是全等矩形的四棱柱2．以下說法中正確的選項是〔〕.A.以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐B.以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺C.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓D.圓錐側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑3．以下說法錯誤的選項是〔〕.A.假設棱柱的底面邊長相等，那么它的各個側面的面積相等B.九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形C.六角螺帽、三棱鏡都是棱柱D.三棱柱的側面為三角形4．用一個平面去截正方體，所得的截面不可能是〔〕.A.六邊形B.菱形C.梯形D.直角三角形5．以下說法正確的選項是〔〕.A.平行于圓錐某一母線的截面是等腰三角形B.平行于圓臺某一母線的截面是等腰梯形C.過圓錐頂點的截面是等腰三角形D.過圓臺上底面中心的截面是等腰梯形6．設圓錐母線長為l，高為，過圓錐的兩條母線作一個截面，那么截面面積的最大值為.7．假設長方體的三個面的面積分別為6,3,2，那么此長方體的對角線長為.※能力提高8．長方體的全面積為11，十二條棱的長度之和為24，求這個長方體的一條對角線長.9．如下圖，長方體.〔1〕這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？〔2〕用平面BCNM把這個長方體分成兩局部，各局部形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示.如果不是，說明理由.※探究創新10．現有一批長方體金屬原料，其長寬高的規格為12×3×3.1(長度單位：米).某車間要用這些原料切割出兩種長方體，其長寬高的規格第一種為3×2.4×1，第二種為4×1.5×0.7．假設這兩種長方體各需900個，假設忽略切割損耗，問至少需多少塊金屬長方體原料？如何切割？此時材料的利用率是多少？(計算到小數點后面3位)第2講§簡單組合體的結構特征¤學習目標：認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.¤知識要點：觀察周圍的物體，大量的幾何體是由柱、錐、臺等組合而成的，這些幾何體稱為組合體.¤例題精講：【例1】在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可有〔〕.A.1個B.2個C.3個D.4個解：在長方體中，取四棱錐，它的四個側面都是直角三角形.選D.【例2】球的外切圓臺上、下底面的半徑分別為，求球的半徑.解：圓臺軸截面為等腰梯形，與球的大圓相切，由此得梯形腰長為R+r，梯形的高即球的直徑為，所以，球的半徑為.【例3】圓錐底面半徑為１cm，高為cm，其中有一個內接正方體，求這個內接正方體的棱長.SDEOC1CFD1解：過圓錐的頂點SSDEOC1CFD1設正方體棱長為x，那么CC1=x，C1D1。作SOEF于O，那么SO，OE=1，，∴，即.∴，即內接正方體棱長為cm.點評：此題也可以利用而求.兩個幾何體相接、相切的問題，關鍵在于發現一些截面之間的圖形關系.常常是通過分析幾個軸截面組合的平面圖形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面圖形中各線段長度的計算.PCAPCADBHOEFG設棱臺上底面面積為S1，下底面面積為S2，平行于底面的截面將棱臺的高分成距上、下兩底的比為m∶n，那么截面面積S滿足以下關系：.當m=n時，那么〔中截面面積公式〕.解：如圖，ABCD是正四棱臺的相對側面正中間的截面，延長兩腰交于P，平行于底面的截面為EF.根據棱臺上下底面與平行于底面的截面相似的性質，上底面、下底面、截面的相似比為.設PH=h，OH=x，那么,.∴，即.當m=n時，那么.點評：利用臺體平行于底面的截面與底面的相似，把面積比轉化為相似比，與對應高之比緊密聯系，還要求具有較強的字母代數運算能力.關于棱臺的平行于底面的截面性質這一結論，也可推廣到圓臺.我們應特別重視中截面的性質，可以結合梯形的中位線對中截面公式進行理解.第2練§簡單組合體的結構特征※根底達標1．右圖的幾何體是由下面哪個平面圖形旋轉得到的〔〕.A.B.C.D.2．以下幾何體的軸截面一定是圓面的是〔〕.A.圓柱B.圓錐C.球D.圓臺3．把直角三角形繞斜邊旋轉一周，所得的幾何體是〔〕.快樂快樂4．水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的外表展開圖，假設圖中“2”A．0B．6C．快D．樂5．圓錐的底面半徑為r，高為h，在此圓錐內有一個內接正方體，那么此正方體的棱長為〔〕.A. B.C.D.6．三棱柱的底面為正三角形，側面是全等的矩形，內有一個內切球，球的半徑為R，那么這個三棱柱的底面邊長為.7．〔07年安徽.理15〕在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是〔寫出所有正確結論的編號〕.①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體.※能力提高8．正四棱錐〔棱錐底面是正方形，側面都是全等等腰三角形〕有一個內接正方體，它的頂點分別在正四棱錐的底面內和側棱上.假設棱錐的底面邊長為a，高為h，求內接正方體的棱長.9．一個四棱臺的上、下底面均為正方形，且面積分別為、，側面是全等的等腰梯形，棱臺的高為h，求此棱臺的側棱長和斜高〔側面等腰梯形的高〕.※探究創新10．如右圖，圖①是正方體木塊，把它截去一塊，可能得到的幾何體有②、③、④、⑤的木塊.〔1〕我們知道，正方體木塊有8個頂點，12條棱，6個面，請你將圖②、③、④、⑤的木塊的頂點數、棱數、面數填入下表：圖號頂點數棱數面數①8126②③④⑤〔2〕觀察你填出的表格，歸納出上述各種木塊的頂點數V、棱數E、面數F之間的關系.〔3〕看圖⑥中正方體的切法，請驗證你所得的數量關系是否正確？第3講§空間幾何體的三視圖¤學習目標：能畫出簡單空間圖形〔長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合〕的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料〔如：紙板〕制作模型.¤知識要點：1.“視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖.光線自物體的前面向后投影所得的投影圖成為“正視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“側視圖”，自上向下投影所得的圖形稱為“俯視圖”.用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何結構，稱為“三視圖”.2.畫三視圖之前，先把幾何體的結構弄清楚，確定一個正前方，從幾何體的正前方、左側〔和右側〕、正上方三個不同的方向看幾何體，畫出所得到的三個平面圖形，并發揮空間想象能力.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的局部用虛線表示出來.¤例題精講：【例1】畫出以下各幾何體的三視圖：解：這兩個幾何體的三視圖如以下圖所示.【例2】畫出以下三視圖所表示的幾何體.解：先畫幾何體的正面，再側面，然后結合三個視圖完成幾何體的輪廓.如以下圖所示.【例3】如圖，圖〔1〕是常見的六角螺帽，圖〔2〕是一個機器零件〔單位：cm〕，所給的方向為物體的正前方.試分別畫出它們的三視圖.解：圖〔1〕為圓柱和正六棱柱的組合體.圖〔2〕是由長方體切割出來的規那么組合體.從三個方向觀察，得到三個平面圖形，繪制的三視圖如以下圖分別所示.點評：畫三視圖之前，先把幾何體的結構弄清楚，確定一個正前方，從三個不同的角度進行觀察.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的局部用虛線表示出來.繪制三視圖，就是由客觀存在的幾何物體，從觀察的角度，得到反響出物體形象的幾何學知識.【例4】某建筑由相同的假設干個房間組成，該樓的三視圖如右圖所示，問：〔1〕該樓有幾層？從前往后最多要走過幾個房間？〔2〕最高一層的房間在什么位置？畫出此樓的大致形狀.解：〔1〕由主視圖與左視圖可知，該樓有3層.由俯視圖可知，從前往后最多要經過3個房間.〔2〕由主視圖與左視圖可知，最高一層的房間在左側的最后一排的房間.樓房大致形狀如右圖所示.點評：根據三視圖的特征，結合所給的視圖進行逆推，考察我們的想象能力與逆向思維能力.由三視圖得到相應幾何體后，可以驗證所得幾何體的三視圖與所給出的三視圖是否一致.依據三視圖進行逆向分析，就是用幾何知識解決實際問題的一個方面.在工廠中，工人師傅都是根據零件結構設計的三視圖，對零件進行加工制作.第3練§空間幾何體的三視圖※根底達標1．如果一個幾何體的正視圖是矩形，那么這個幾何體不可能是〔〕.A.棱柱B.棱臺C.圓柱D.圓錐2．右圖所示為一簡單組合體的三視圖，它的左部和右局部別是〔〕.A.圓錐，圓柱B.圓柱，圓錐C.圓柱，圓柱D.圓錐，圓錐正視圖左視圖俯視圖正視圖左視圖俯視圖A．B.C．D．4．一個幾何體的某一方向的視圖是圓，那么它不可能是〔〕.A.球體B.圓錐C.圓柱D.長方體5．如圖，一個封閉的立方體，它的六個外表各標有A,B,C,D,E,F這六個字母之一，現放置成如圖的三種不同的位置，那么字母A,B,C對面的字母分別為〔〕.A.D,E,FB.F,D,EC.E,F,DD.E,D,F2030俯視圖正視圖2030俯視圖正視圖左視圖307．右圖是某個圓錐的三視圖，請根據正視圖中所標尺寸，那么俯視圖中圓的面積為__________，圓錐母線長為______.※能力提高8．找出相應的立體圖，并在其下方括號內填寫它的序號9．圖中所示的是一個零件的直觀圖，畫出這個幾何體的三視圖.〔注：Φ表示直徑，圖中為小圓直徑；R表示半徑，圖中為大圓半徑〕※探究創新10．用假設干個正方體搭成一個幾何體，使它的正視圖與左視圖都是如右圖的同一個圖.通過實際操作，并討論解決以下問題：〔1〕所需要的正方體的個數是多少？你能找出幾個？〔2〕畫出所需要個數最少和所需要個數最多的幾何體的俯視圖.第4講§空間幾何體的直觀圖¤學習目標：會用斜二側法畫出簡單空間圖形〔長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合〕的直觀圖.了解空間圖形的不同表示形式.¤知識要點：“直觀圖”最常用的畫法是斜二測畫法，由其規那么能畫出水平放置的直觀圖，其實質就是在坐標系中確定點的位置的畫法.根本步驟如下：〔1〕建系：在圖形中取互相垂直的x軸和y軸，得到直角坐標系，直觀圖中畫成斜坐標系，兩軸夾角為.〔2〕平行不變：圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x’或y’軸的線段.〔3〕長度規那么：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半.¤例題精講：【例1】以下圖形表示水平放置圖形的直觀圖，畫出它們原來的圖形.解：依據斜二測畫法規那么，逆向進行，如下圖.【例2】〔1〕畫水平放置的一個直角三角形的直觀圖；〔2〕畫棱長為4cm的正方體的直觀圖.解：〔1〕畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在的直角三角形ABC中取直角邊CB所在的直線為x軸，與BC垂直的直線為y軸，畫出對應的軸和軸，使.第二步，在軸上取，過作軸的平行線，取.第三步，連接，即得到該直角三角形的直觀圖.〔2〕畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使.第二步，過A作軸，使.分別過點作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.點評：直觀圖的斜二測畫法的關鍵之處在于將圖中的關鍵點轉化為坐標系中的水平方向與垂直方向的坐標長度，然后運用“水平長不變，垂直長減半”的方法確定出點，最后連線即得直觀圖.注意被遮擋的局部畫成虛線.【例3】如右圖所示，梯形是一平面圖形的直觀圖.假設，，，.請畫出原來的平面幾何圖形的形狀，并求原圖形的面積.解：如圖，建立直角坐標系xOy，在x軸上截取；.在過點D的y軸的平行線上截取.在過點A的x軸的平行線上截取.連接BC，即得到了原圖形.由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為，直角腰長度為，所以面積為.點評：給出直觀圖來研究原圖形，逆向運用斜二測畫法規那么，更要求我們具有逆向思維的能力.畫法關鍵之處同樣是關鍵點確實定，逆向的規那么為“水平長不變，垂直長增倍”，注意平行于y’軸的為垂直.第4練§空間幾何體的直觀圖※根底達標1．以下說法正確的選項是〔〕.A.相等的線段在直觀圖中仍然相等B.假設兩條線段平行，那么在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行C.兩個全等三角形的直觀圖一定也全等D.兩個圖形的直觀圖是全等的三角形，那么這兩個圖形一定是全等三角形4503245032A.2倍B.倍C.倍D.倍3．如下圖的直觀圖，其平面圖形的面積為〔〕.A.3B.6C.D.4．正方形的直觀圖是有一條邊長為4的平行四邊形，那么此正方形的面積是〔〕.A.16B.16或64C.64D.以上都不對5．一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20m、5m、10m，四棱錐的高為8m，假設按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為〔〕.A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．4cm，06．一個平面的斜二測圖形是邊長為2的正方形，那么原圖形的高是.7．利用斜二測畫法得到的圖形，有以下說法：①三角形的直觀圖仍是三角形；②正方形的直觀圖仍是正方形；③平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形；④菱形的直觀圖仍是菱形.其中說法正確的序號依次是.※能力提高8．〔1〕畫棱長為2cm的正方體的直觀圖；〔2〕畫水平放置的直徑為39．如圖，正方形O’A’B’C’的邊長為1cm※探究創新10．某幾何體的三視圖如下.〔1〕畫出該幾何體的直觀圖；〔2〕判別該幾何體是否為棱臺.第5講§柱體、錐體、臺體的外表積¤學習目標：了解棱柱、棱錐、臺的外表積的計算公式〔不要求記憶公式〕；能運用柱、錐、臺的外表積進行計算和解決有關實際問題.¤知識要點：外表積相關公式外表積相關公式棱柱圓柱〔r：底面半徑，h：高〕棱錐圓錐〔r：底面半徑，l：母線長〕棱臺圓臺〔r：下底半徑，r’：上底半徑，l：母線長〕¤例題精講：【例1】圓臺的上下底面半徑分別是2、5，且側面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長.解：設圓臺的母線長為，那么圓臺的上底面面積為，圓臺的上底面面積為，所以圓臺的底面面積為.又圓臺的側面積，于是，即為所求.【例2】一個正三棱柱的三視圖如右圖所示，求這個正三棱柱的外表積.解：由三視圖知正三棱柱的高為2mm由左視圖知正三棱柱的底面三角形的高為.設底面邊長為a，那么，∴.∴正三棱柱的外表積為.【例3】牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體，尺寸如右圖所示，請你幫助算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少平方米的篷布？〔精確到0.01m解：上局部圓錐體的母線長為，其側面積為.下局部圓柱體的側面積為.所以，搭建這樣的一個蒙古包至少需要的篷布為〔m2〕.點評：正確運用錐體和柱體的側面積計算公式，解決制作殼形幾何體時的用料問題.注意區分是面積計算，還是體積計算.【例4】有一根長為10cm，底面半徑是0.5cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞8圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，那么鐵絲的最短長度為多少厘米？〔精確到解：如圖，把圓柱外表及纏繞其上的鐵絲展開在平面上，得到矩形ABCD.由題意知，BC=10cm,,點A與點C就是鐵絲的起止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.∴. 所以，鐵絲的最短長度約為27.05cm點評：此題關鍵是把圓柱沿這條母線展開，將問題轉化為平面幾何問題.探究幾何體外表上最短距離，常將幾何體的外表或側面展開，化折〔曲〕為直，使空間圖形問題轉化為平面圖形問題.空間問題平面化，是解決立體幾何問題根本的、常用的方法.第5練§柱體、錐體、臺體的外表積※根底達標1．用長為4，寬為2的矩形做側面圍成一個圓柱，此圓柱軸截面面積為〔〕.A.8B.C.D.2．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為，那么圓臺較小底面的半徑為〔〕.A.7B.6C.5D.33．一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是〔〕.A. B. C. D.4．一個直棱柱〔側棱垂直于底面的棱柱〕的底面是菱形，棱柱的對角線長分別是9cm和15cm，高是5cm，那么這個直棱柱的側面積是〔〕.A.160cm2B.320cm2C.cm2D.5．〔04年湖北卷.文6〕四面體ABCD四個面的重心分別為E、F、G、H，那么四面體EFGH的外表積與四面體ABCD的外表積的比值是〔〕. A． B． C． D．6．如圖，圓柱體底面圓的半徑為，高為2，分別是兩底面的直徑，是母線．假設一只小蟲從A點出發，從側面爬行到點，那么小蟲爬行的最短路線的長度是〔結果保存根式〕．7．兩個母線長相等的圓錐的側面展開圖恰能拼成一個圓，且它們的側面積之比為1：2，那么它們的高之比為.※能力提高8．六棱臺的上、下底面均是正六邊形，邊長分別是8cm和18cm，側面是全等的等腰梯形，側棱長為9．一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在這個圓錐內部有一個高為x的內接圓柱.當x為何值時，圓柱的外表積最大？最大值是多少？※探究創新10.現有一個長方體水箱，從水箱里面量得它的深是30cm，底面的長是25cm，寬是20cm．設水箱里盛有深為cm的水，假設往水箱里放入棱長為10cm的立方體鐵塊，第6講§柱體、錐體、臺體的體積¤學習目標：了解棱柱、棱錐、臺體的體積的計算公式〔不要求記憶公式〕；能運用柱、錐、臺的體積公式進行計算和解決有關實際問題.¤知識要點：1.體積公式：體積公式體積公式棱柱圓柱棱錐圓錐棱臺圓臺2.柱、椎、臺之間，可以看成一個臺體進行變化，當臺體的上底面逐漸收縮為一個點時，它就成了錐體；當臺體的上底面逐漸擴展到與下底面全等時，它就成了柱體.因而體積會有以下的關系：.¤例題精講：【例1】一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2、3、6，那么長方體的體積是.解：設長方體的長寬高分別為，那么，三式相乘得.所以，長方體的體積為6.【例2】一塊邊長為10的正方形鐵片按如下圖的陰影局部裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,試建立容器的容積V與x的函數關系式,并求出函數的定義域.解：如圖，設所截等腰三角形的底邊邊長為.在中，,所以,于是.依題意函數的定義域為.【例3】一個無蓋的圓柱形容器的底面半徑為，母線長為6，現將該容器盛滿水，然后平穩緩慢地將容器傾斜讓水流出，當容器中的水是原來的時，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為.解：容器中水的體積為.流出水的體積為，如圖，.設圓柱的母線與水平面所成的角為α，那么，解得.所以，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為60°.點評：抓住流水之后空出局部的特征，它恰好是用一個平面去平分了一個短圓柱.從而由等體積法可計算出高度，解直角三角形而得所求角.【例4】在邊長為a的正方形中，剪下一個扇形和一個圓，分別作為圓錐的側面和底面，求所圍成的圓錐的體積.hr解：剪下的扇形的弧長與剪下的圓的周長是相等的.設扇形半徑為x，圓半徑為rhr，∴x=4r，.又AB=，∴，解得.圓錐的高，∴.點評：求的平面圖形圍成的旋轉體的面積或體積的關鍵是正確分析平面圖形與其圍成的旋轉體中有關量間的關系.搞清平面圖形上的哪些量在旋轉體中不變，哪些發生了變化.第6練§柱體、錐體、臺體的體積※根底達標1．圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，那么〔〕.A.B.C.D.2．三棱錐V—ABC的底面ABC的面積為12，頂點V到底面ABC的距離為3，側面VAB的面積為9，那么點C到側面VAB的距離為〔〕.A.3B.4C.5D.63．假設干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm，假設將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，那么水面的高度是〔俯視圖主視圖左視圖A. B. C. D.俯視圖主視圖左視圖4．矩形兩鄰邊的長為a、b，當它分別繞邊a、b旋轉一周時,所形成的幾何體的體積之比為〔〕.A.B.C.D.5．如圖，一個簡單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖是邊長為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形，那么其體積是〔〕.A．B.C.D.6．三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為1cm，2cm，7．〔04年廣東卷.15〕由圖(1)有面積關系:那么由(2)有體積關系:※能力提高8．有一個正四棱臺形狀的油槽，可以裝油190L，假設它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm353517h129．用上口直徑為34cm、底面直徑為24cm、深為35cm的水桶盛得的雨水正好為桶深的，問此次降雨量為多少？〔精確到※探究創新10．養路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽〔供融化高速公路上的積雪之用〕，已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m.養路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽.現有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m〔1〕分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；〔2〕分別計算按這兩種方案所建的倉庫的外表積；〔3〕哪個方案更經濟些？第7講§球的體積和外表積¤學習目標：了解球的外表積和體積的計算公式〔不要求記憶公式〕；能運用球的外表積和體積公式進行計算和解決有關實際問題.¤知識要點：1.外表積：〔R：球的半徑〕.2.體積：.¤例題精講：【例1】有一種空心鋼球，質量為，測得外徑等于，求它的內徑〔鋼的密度為，精確到〕．解：設空心球內徑(直徑)為，那么鋼球質量為，∴，∴，∴直徑，即空心鋼球的內徑約為.【例2】外表積為的球，其內接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的外表積.解：設球半徑為，正四棱柱底面邊長為，那么作軸截面如圖，，，又∵，∴，∴，∴，∴.【例3】〔04年遼寧卷.10〕設A、B、C、D是球面上的四個點，且在同一平面內，AB=BC=CD=DA=3，球心到該平面的距離是球半徑的一半，那么球的體積是〔〕.A． B． C． D．【解】由可得，A、B、C、D在球的一個小圓上.∵AB=BC=CD=DA=3，∴四邊形為正方形.∴小圓半徑.由得，解得.∴球的體積.所以選A.點評：解答球體中相關計算，一定要牢記球的截面性質，體積和外表積公式.【例4】推導球的外表積公式.解：設球的半徑為，我們把球面任意分割為一些“小球面片”，它們的面積分別用表示，那么球的外表積.以這些“小球面片”為底，球心為頂點的“小錐體”的體積和等于求的體積，這些“小錐體”可近似地看成棱錐，“小錐體”的底面積可近似地等于“小錐體”的底面積，球的半徑近似地等于小棱錐的高.因此，第個小棱錐的體積，當“小錐體”的底面非常小時，“小錐體”的底面幾乎是“平的”，于是球的體積為：，又∵，且，∴可得.又∵，∴，∴即為球的外表積公式點評：我們也可以類似以上極限分割，利用球的外表積公式推導球的體積公式.假設把半球中垂直于底面的半徑作等分，經過這些等分點，用一組平行于底面的平面把半球切割成層，每一層都近似于一個圓柱形的“薄圓片”，這些“薄圓片”的體積之和就是半球的體積.由于“薄圓片”近似于圓柱形狀，它的體積近似于相應的圓柱的體積，從而把半球的體積化歸為無限個圓柱的體積之和.探究的關鍵都是先極限分割，然后求和.第7練§球的體積和外表積※根底達標1．正方體的內切球和外接球的半徑之比為〔〕.A.B.C.D.2．設正方體的全面積為，一個球內切于該正方體，那么這個球的體積是〔〕.A. B. C. D.3．，棱長都相等的正三棱錐內接于一個球，某學生畫出四個過球心的平面截球與正三棱錐所得的圖形，如以下圖所示，那么〔〕.A.以上四個圖形都是正確的B.只有(2)(4)是正確的C.只有(4)是錯誤的D.只有(1)(2)是正確的4．長方體的一個頂點上三條棱長分別是3、4、5，且它的8個頂點都在同一球面上，那么這個球的外表積是〔〕.A.B.C.D.都不對5．一個圓錐與一個球的體積相等，圓錐的底面半徑是球的半徑的3倍，圓錐的高與底面半徑之比為〔〕.A.B.C.D.6．假設三個球的外表積之比是，那么它們的體積之比是.7．一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為2cm，那么這個球的外表積為，體積為.※能力提高8．過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的外表積.9．半球內有一個內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，假設正方體棱長為，求球的外表積和體積.※探究創新10．祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數學家、祖沖之的兒子祖暅首先提出來的.祖暅原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.可以用詩句“兩個胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面積，兩人必然同樣胖”形象表示其內涵.利用祖暅原理可以推導幾何體的體積公式，關鍵是要構造一個參照體.試用祖暅原理推導球的體積公式.第8講第一章空間幾何體復習¤學習目標：認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；能畫出簡單空間圖形〔長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合〕的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖；會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；會畫某些建筑物的視圖與直觀圖〔在不影響圖形特征的根底上，尺寸、線條等不作嚴格要求〕；了解球、棱柱、棱錐、臺的外表積和體積的計算公式〔不要求記憶公式〕.¤例題精講：【例1】〔06年四川卷〕如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，那么球的外表積是A.B.C.D.解：如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，解得R=2，那么球的外表積是，選D.【例2】如圖〔單位：cm〕，求圖中陰影局部繞AB旋轉一周所形成的幾何體的外表積和體積.BCABCAD452圓臺下底面、側面和一半球面.S半球=8π，S圓臺側=35π，S圓臺底=25π.故所求幾何體的外表積為68π.由，.所以，旋轉體的體積為.【例3】如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側棱=8.假設水平放置時，液面恰好過的中點，那么當底面ABC水平放置時，液面的高為多少？解：當水平放置時，縱截面中水液面積占，所以水液體積與三棱柱體積比為.當底面ABC水平放置時，液面高度為.點評：容器中水的體積不會減少，無論是豎著還是橫著，正是由于這種等積思想，才能尋找到不用計算體積，而通過體積比進而化為高度比.我們可以練習這樣一個題：三棱錐V—ABC的底面ABC的面積為12，頂點V到底面ABC的距離為3，側面VAB的面積為9，那么點C到側面VAB的距離為.〔答案：4〕【例4】如圖是一個獎杯的三視圖.求這個獎杯的體積.〔精確到0.01cm3〕解：由三視圖可以得到獎杯的結構，底座是一個正四棱臺，杯身是一個長方體，頂部是球體.由所以，這個獎杯的體積為.點評：由三視圖研究幾何體的外表積和體積，需先發揮空間想象力，按正視圖、側視圖、俯視圖順序，逐步構造出幾何體形狀，分析清楚組合體的結構特征，按相應外表積或體積公式進行計算.第8練第一章空間幾何體復習※根底達標1．〔06年福建卷〕正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于〔〕. A.B.C.D..2．〔06年全國卷II〕過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，那么所得截面的面積與球的外表積的比為〔〕. A.B.C.D.3．有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下〔單位：cm〕，那么該幾何體的外表積及體積為〔〕. A.24πcm2，12πcm3B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3D.以上都不正確4．〔04年廣東卷.7〕在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體,那么截去8個三棱錐后,剩下的凸多面體的體積是〔〕. A.B.C.D.5．向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數關系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是〔〕. 6．一個邊長為2cm的正三角形繞它的邊旋轉一周，所得旋轉體的外表積為，體積為.7．關于“斜二測”直觀圖的畫法，有如下說法：①原圖形中平行于y軸的線段，其對應線段平行于y’軸，長度變為原來的；②畫與直角坐標系xoy對應的x’o’y’時，∠x’o’y’必須是45°；③在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同；④等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形；⑤梯形的直觀圖仍然是梯形；⑥正三角形的直觀圖一定為等腰三角形.其中說法正確的序號依次是.※能力提高8．設計一個正四棱錐形冷水塔塔頂，高是0.85m，底面的邊長是1.59．一個幾何體的三視圖如右，試求它的外表積和體積.〔單位：cm〕※探究創新10．〔1〕給出兩塊相同的正三角形紙片〔如圖1、圖2〕，要求用其中一塊剪拼成正三棱錐模型,另一塊剪拼成正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等.請設計一個剪拼方法,分別用虛線標示在圖1、圖2中,并作簡要說明；〔2〕試比擬你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；〔3〕如果給出的是一塊任意三角形的紙片〔如圖3〕,要求剪拼成一個直三棱柱模型,使它的全面積與給出的三角形的面積相等,請設計一個剪拼方法,用虛線標示在圖3中,并作簡要說明.第1練§柱、錐、臺、球的結構特征【第1練】1～5DCDDC；6.；7..8.解：設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，那么，而對角線長.9.解：〔1〕是棱柱，并且是四棱柱.因為以長方體相對的兩個面作底面都是全等的四邊形，其余各面都是矩形，且四條側棱互相平行，符合棱柱定義.〔2〕截面BCNM的上方局部是三棱柱，下方局部是四棱柱.10.解：把原料切割出所需的兩種長方體而沒有余料，只有兩種切法，見圖(Ⅰ)和(Ⅱ).切法(Ⅰ)切割出12個第一種長方體和6個第二種長方體，切法(Ⅱ)切割出5個第一種長方體和18個第二種長方體.取3塊原料，2塊按切法(Ⅰ)切割，1塊按切法(Ⅱ)切割．得到29個第一種長方體和30個第二種長方體．因此，取90塊原料，其中60塊按切法(Ⅰ)切割，30塊按切法(Ⅱ)切割，共得到870個第一種長方體和900個第二種長方體．至此，沒產生任何余料，但還差30個第一種長方體．再取2塊原料，按切法(Ⅲ)切割(見圖)，得30個第一種長方體．每塊原料剩下12×3×0.1的余料．因此，為了得到這兩種長方體各900個，至少需90＋2＝92塊原料.此時，材料的利用率為第2練§簡單組合體的結構特征【第2練】1～5ACDBC；6.；7.①③④⑤.8.解：作截面，利用相似三角形知識，設正方體的棱長為x，那么，解得9.解：上、下底面正方形的邊長為、，此棱臺對角面、過兩相對斜高的截面都是等腰梯形，那么側棱長為=；斜高為=.10.解：〔1〕通過觀察各幾何體后，得到下表：圖號頂點數棱數面數①8126②695③8126④8137⑤10157〔2〕由特殊到一般，歸納猜測得到：頂點數V＋面數F－棱數E=2；〔3〕該木塊的頂點數為10，面數為7,棱數為15，有10+7—15=2，與〔2〕中歸納的數量關系式“V+F—E=2”第3練§空間幾何體的三視圖【第3練】1～5DADDD；6.球、圓柱、圓錐等；7.100π，8.解：依次從每個幾何體的三個方向得到三視圖，再與三視圖比擬，所以依次為C、A、D、B.9.解：該零件由一個長方體和一個半圓柱體拼接而成，并挖去了一個與該半圓柱同心的圓柱，這個幾何體的三視圖如下圖.在視圖中，被擋住的輪廓線畫成虛線，尺寸線用細實線標出；Φ表示直徑，R表示半徑；單位不注明時按mm計10.解：〔1〕所要正方體個數為7、8、9、10、11都行.〔2〕最少7個，其俯視圖樣子不唯一，如以下圖.111111111331111111113最多11個，其俯視圖如右圖.〔圖中數字表示在該處的小正方體的個數〕第4練§空間幾何體的直觀圖【第4練】1～5BCBBB；6.4；7.①③8.解：〔1〕畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使.第二步，過A作軸，使.分別過點作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.〔2〕畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在的圓O中取直徑AB所在的直線為x軸，與AB垂直的半徑OD所在的直線為y軸，畫出對應的軸和軸，使.第二步，在軸上取，在軸上取，.第三步，圓的直觀圖是橢圓，把連成橢圓，即得到圓O的直觀圖.9.解：如圖，建立直角坐標系xoy，在x軸上取；在y軸上取；在過點B的x軸的平行線上取.連接O,A,B,C各點，即得到了原圖形.由作法可知，OABC為平行四邊形，,∴平行四邊形OABC的周長為，面積為.10.