數形結合在高中數學解題中的應用摘要:數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；數形結合的解題方法，能使很多問題迎刃而解，且解法簡捷、事半功倍。關鍵詞:數形結合數學思想高中數學一、高中學生用“數形結合”解題的現狀目前，從高中生數形結合解題能力調查可知，高中生數形結合解題意識不強，這主要表達在數學解題中數與形的別離上，即一個問題僅僅是從數的角度求解，或者是僅僅從形的角度考慮。而且學生利用數形結合解題時容易出現問題，不易找到數形結合解題的突破口。因此，高中數學教學如果能有效地引導學生自覺強化運用數形結合的解題意識，善于培養學生尋找數形結合解題突破口的能力，將能大大提高學生解題準確率。二、“數形結合”的思想及重要性“數”與“形”，作為數學中最古老最重要的兩個方面，一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時存在一樣，有“數”必有“形”，有“形”必有“數”。華羅庚先生曾說過：“數與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫別離！”寥寥數語，把數形之妙說得淋漓盡致。可見，所謂數形結合，指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化。“數形結合”作為數學中的一種重要思想，在高中數學中占有極其重要的地位。近年高考數學試卷，就是一個有力的明證。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念及其幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。三、數形結合的具體應用及效果在多年來的高考題中，數形結合應用廣泛，大多是“以形助數”。在解方程和不等式、求函數的最值問題、求復數和三角函數等問題中，如果巧妙運用“數形結合”思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍。數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，應用數形結合的思想，可以解決以下問題：(一)、解決集合問題：在集合運算中常常借助于數軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。應用1：設命題甲：0<x<3，命題乙：|x－1|<4，那么甲是乙成立的〔〕A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.不充分也不必要條件將兩個命題用數軸表示，如圖：A.UAB應用2：設是全集，，那么①，②，UAB③，④。上面結論中不正確的選項是：_______。解：畫出適合條件的韋恩圖即知③不正確。[點評］對于處理集合的問題，可以用數形結合的方法，如果是含字母參數的，可以畫韋恩圖；如果是具體的數集，那么可以畫數軸，都可以使集合間的關系直觀化.(二)、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。應用：設，關于的一元二次方程有兩實根，且，求的取值范圍。12分析：此題告訴我們方程有兩個根，所以可考慮解出兩根，再把兩根帶入求解不等式即可。顯然這樣的思路想來簡單，但求解卻是非常困難的事情，所以我們不得不考慮其他方法。假設我們令:12那么問題就可以轉化為二次函數與軸應有兩個交點，而交點的位置一個在內、一個在內，由圖可列出圖像應滿足的條件并求解：(三〕、解決線性規劃問題：線性規劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題。從圖形上找思路恰好就表達了數形結合思想的應用。應用：某電腦用戶方案用不超過500元的資金購置單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，那么不同的選購方式共有〔〕A5種B．6種C．7種D．8種分析1：該題可用例舉法一一例舉出結果分析2：利用線性規劃知識求解：設需買軟片片、買磁盤盒，由題意知：上述約束條件所表示的平面區域為如右圖所示的陰影三角形上。整點〔，〕共有7個，即為〔3，2〕、〔4，2〕、〔5，2〕、〔6，2〕、〔3，3〕、〔4，3〕、〔3，4〕，共有7種不同的選購方式應選C[點評]顯然前一種方法雖然可以求解該題，但花費時間較長，且容易漏解，第二種方法解該題卻顯得既準確又快捷。(四)、解決三角函數問題：有關三角函數單調區間確實定或比擬三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數圖象來處理，數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法。應用：假設,記，對于函數，給出以下4個命題：⑴該函數的值域是；⑵當且僅當時，該函數取得最大值1；⑶該函數是以為最小正周期的周期函數；⑷當且僅當時，．上述命題中正確的命題是解析：根據題意，可把函數轉譯為，將其簡圖畫出〔見圖1〕，由此圖像可知，該函數值域是；當或時，該函數取得最大值1；該函數是以2為最小正周期的周期函數，所以命題⑴、⑵、⑶都不正確，而命題⑷是正確的。[點評]：此題的特點是給出的函數較為復雜，如果利用以往學過的函數性質不便于解題。這時我們利用的正弦，余弦函數圖像解題，那么簡單，明了，準確。(五〕除以上應用之外，數形結合在解決解析幾何、立體幾何等問題時，同樣可以起到使復雜的問題簡單化、直觀化的效果。從上面數形結合的解題實例中可以看出，充分抓住數與形的內在聯系去探索問題，將會收到事半功倍的效果。總而言之，問題是數學的心臟,提出并解決問題是推動數學開展的動力。而數形結合就是高效解決數學問題的重要方法之一。假設我們的學生能恰當地利用數形結合思想提高解題效率，就更有時機在高考的大軍中突圍而出，搶占一席之地。然而，數與形的結合方式多種多樣，不同的問題往往有不同的方法.因此數形結合這一思想方法,并非通過一兩道例題就能掌握的，數形結合的思想需要滲透在學習新知識和運用知識解決問題的過程之中，這就需要教師在教學過程中把握時機,選擇適當的方法,使學生在潛移默化的過程中逐步領悟并學會運用這一思想方法去解決問題。參考文獻：[1]王君芬.例談數學教學中的數形結合[J].黑