第三講分式及其運算

命題點1分式的有關概念及性質

類型一分式有意義及值為O的條件

1.（2021?江津區）下列式子是分式的是（）

A.?B.?

2x+1

【解答】解：Y三，三+y,三的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式.

22-π

上分母中含有字母，因此是分式.

x+1

故選：B.

2.（2021?寧波）要使分式」」有意義，X的取值應滿足（）

x+2

A.x≠0B.x≠-2C.x2-2D.%>-2

【解答】解：要使分式」一有意義，則x+2≠0,

x+2

解得：x≠-2.

故選：B.

2

3.（2021?慶陽）分式X-16有意義的條件是（）

χ-4

A.X=-4B.x≠-4C.x=4D.x≠4

2

【解答】解：由分式三二Ig有意義，得

X-4

χ-4≠0,

解得x≠4,

故選：D.

4.（2021?雅安）若分式kkL的值等于0,則X的值為（）

χ-l

A.-1B.0C.1D.±1

【解答】解：由題意得：W-I=O,且x-1≠0,

解得：X=-I,

故選：A.

類型二分式的基本性質

5.（2020?河北）若aWb,則下列分式化簡正確的是（）

I

1

a+22a

A.=J-Ba-2=aC.-2—=AD.~2a

z

b+2b.b2^bb2bIbb

【解答】解：?.ZKb,

.?.?^-≠A,故選項A錯誤;

b+2Lb

至2W包，故選項8錯誤；

b-2b

2

至-W至，故選項C錯誤；

b2b

1

yaa

--=~，故選項。正確；

1b

7bκ

故選：D.

6.（2021?萊蕪）若尤，），（x,y均為正）的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不

變的是（）

A.2≤2y

2

χ-yX

32

C.2∑1D.22

3X2（χ-y）2

【解答】解：根據分式的基本性質，可知若X,y的值均擴大為原來的3倍,

4、Zt迎產生，錯誤；

3χ-3yχ-y

B、-?≠?錯誤；

9x2X2

54yj,2yj科停

Cr、-----≠---M，珀吠；

O72n2

27X3X

。、品2=2y22,正確；

9（χ-y）2（χ-y）2

故選：D.

7.（2021?欽州）如果把豆的X與y（x,y均為正）都擴大10倍,那么這個代數式的值（）

x÷y

A.不變B.擴大50倍

C.擴大10倍D.縮小到原來的-L

10

【解答】解：分別用IoX和IOy去代換原分式中的X和y,得

2

5X10XX=IOX5x=5x可見新分式與原分式的值相等;

10x+10y10(x+y)^x+y

故選：A.

命題點2分式化簡求值

類型一分式的簡單運算

8.(2021?濟南)計算國生匚L的結果是（)

m-1m-1

A.m+1B.tn-1C.m-2D.-m-2

原式=ιrι2-(2m-l)?m2-2m÷l-(m-1)2

【解答】解：=m-1.

m-lm-lm-l

故選：B.

9.(2021?貴陽)計VIzr算rXLJ'l-H的-J結/1果、AC是L（?)

x+1x+1

A.?B.-L-.C.1D.-1

x+1x+1

【解答】解：原式=χ+ι=ι,

x+1

故選：C.

10.（2021?濟南）化簡義紅辿÷金的結果是

()

a-ba-b

2

A.a2B.?-c.azkD.a+b

a-bb

【解答】解：原式=a(a+b)?a-b=a+b,

a-babb

故選：D.

11.（2021?南昌）下列運算正確的是（）

A.(2tz2)3=6tz6B.-a2b2?3ab3=-3a2b5

ra2-l.

1=-1D.b4.a=-?

aa+1a-bb-a

【解答】解：A、原式=8〃6,錯誤；

B、原式=-：3α%5,錯誤；

C、原式=Q1,錯誤；

a

D、原式=^Σl=-Q-b）=-1,正確;

a-ba-b

故選：D.

3

類型二分式化簡

2

12.(2021?包頭)化簡W-ga-4.史2,其結果是()

a2+4a+42a+4a+4

A.-2B.2C.-————D.——2——

(a+2)2(a+2)2

[解答]解：原式=-(a+4)(a-4).2(a+2).史2=.2.

(a+2)2a-4a+4

故選：A.

13.(2021?濱州)計算：(一玄m--x+2)÷2二生

X2-4X+4X2-2Xx-2

【解答】解：(XT÷上i

X2-4X+4X2-2Xx-2

=[x—l_x+2].χ-2

(x-2)2x(x-2)x-4

=X(X-I)-(X+2)(χ-2)?χ-2

X(χ-2)2，-4

22上41

=Xrr+4.1

x(χ-2)χ-4

=-(χ-4).1

x(χ-2)χ-4

=.1

x(x-2)

=__1

2

X-29x

2

14.(2021?大連)計算：a+3a--?-

2

aTa+6a+9a-3

原式=a+3.a(a+3)__3

【解答】解:l2

^a-3(a+3)a-3

=a3

a-3a-3

=a-3

IΞ3

=ι.

15.(2021?重慶)計算：

(1)a(2α+3?)+(a-h)2；

4

22

(2)-?o?÷(^+q??).

X2+2X+1X+1

【解答】解：⑴原式=2/+3"+(-2"+2

=3a2+ah+b2;

22

(2)原式=5至(X+X+3-X)

(x+1)2x+1x+1

=(x+3)(χ-3)=x+3

(x+1)2x+1

(x+3)(χ-3).x+1

(x+1)2x+3

—χ-3

x+1

16.(2020?陜西)化簡：々T—(I-Wm).

a2-4a+2

【解答】解：原式=&ΞL÷(國隹-Im)

42—4a+2a+2

=2a-l,2a-l

a2-4a+2

=2a-lXa+2

(a+2)(a-2)2a-l

=1

IΞ2^

類型三分式化簡求值

17.(2021?阿壩州)先化簡，再求值：-A-÷(1+—?-),其中“=√5.

a-1a2-l

【解答】解:≡式=&上［ar?_____1____∣

、TT(a÷l)(a-l)(a÷l)(a-l)

2

=a?a

a-1(a+l)(a-1)

=a.(a+l)(a-1)

ao-?*1a2

-—-a-+1-，

a

當“=加時，原式=理X=返超.

√22

2

18.(2021?西藏)先化簡，再求值：且上空L?±N(―?-+1),其中α=10.

-

a-2a2-ial

5

2

a

［解答］解：+2a+1.^2-.(」+］)

a-2MTa-l

=(a+l)2.a-2_l+a-1

a-2(a+l)(a-l)a-l

_a÷l_a

a-la-l

=a+l-a

a-l

=1

ττ,

當〃=IO時，原式=---=A.

10-19

19.(2021?通遼)先化簡，再求值：(2x+l+χ-1)÷—x+2,其中X滿足/-χ-2=0.

x+1X2+2X+1

［解答］解：原式=2χ+i+χ"i.(χ+i)2

x+1x+2

=x(x+2).(x+1)2

x+1x+2

=x(x+1)

=x2+x,

解方程/-X-2=O,得無ι=2,X2=-1,

Vx+l≠0,

.e.x≠-1,

當x=2時，原式=22+2=6.

20.(2021?婁底)先化簡