第第頁專題05三角函數任意角的三角函數1．（2024·遼寧沈陽·統考一模）的一個充分不必要條件是.【答案】（答案不唯一）【分析】根據三角函數的性質結合充分不必要條件即可求解.【詳解】因為時，由可得,故的一個充分不必要條件是，故答案為：（答案不唯一）2．（2024·重慶·統考一模）英國著名數學家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學中將函數展開成無窮級數的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數的泰勒級數，泰勒級數用無限連加式來表示一個函數，如：，其中．根據該展開式可知，與的值最接近的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】觀察題目將其轉化為三角函數值，再將弧度制與角度制互化，結合誘導公式判斷即可.【詳解】原式，故選：C.3．（2024·福建廈門·統考一模）若，則．【答案】/【分析】應用誘導公式有，即可求值.【詳解】.故答案為：4．（2024·山東濟南·山東省實驗中學校考一模）下列說法正確的是（

）A．B．若圓心角為的扇形的弧長為，則扇形的面積為C．終邊落在直線上的角的集合是D．函數的定義域為，為該函數的一個周期【答案】ABD【分析】根據三角函數在各象限內的符號可判斷出A正確；根據扇形弧長和面積公式可知B正確；由終邊相同的角的集合表示方法可知C錯誤；根據正切型函數定義域和周期的判斷方法可知D正確.【詳解】對于A，均為第二象限角，，，，A正確；對于B，設扇形的半徑為，則，解得：，扇形的面積，B正確；對于C，終邊落在直線上的角的集合為，C錯誤；對于D，由得：，的定義域為；又，是的一個周期，D正確.故選：ABD.5．（2024·山東濟南·山東省實驗中學校考一模）已知函數，若，是銳角的兩個內角，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，根據余弦函數的單調性，得出，由的單調性即可判斷選項.【詳解】因為，所以，當時，，所以，即，所以在上單調遞減.因為，是銳角的兩個內角，所以，則，因為在上單調遞減，所以，故，故D正確.同理可得，C錯誤；而的大小不確定，故與，與的大小關系均不確定，所以與，與的大小關系也均不確定，AB不能判斷.故選：D6．（2024·河北·校聯考一模）在中，若，則（

）A．對任意的，都有B．對任意的，都有C．存在，使成立D．存在，使成立【答案】AD【分析】根據給定條件，舉例說明判斷BD；構造函數，借助導數探討單調性判斷AC.【詳解】在中，當時，，取，則，，，，則，B錯，D對；顯然，即，則，令，，，因此函數在上單調遞減，則，即，從而，A對，C錯.故選：AD【點睛】思路點睛：涉及不同變量的數式大小比較，細心挖掘問題的內在聯系，構造函數，分析并運用函數的單調性求解作答.兩角和與差的三角函數7．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯考一模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二倍角的余弦公式和誘導公式即可.【詳解】,所以，故選：A.8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用換元法，結合誘導公式、二倍角公式等知識求得正確答案.【詳解】設，則.故選：A9．（2024·遼寧沈陽·統考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據和差角公式以及誘導公式可得，由輔助角公式以及二倍角公式即可求解.【詳解】由得，進而可得，結合輔助角公式得，則，故選：B.10．（2024·浙江·校聯考一模）已知是第二象限角，，現將角的終邊逆時針旋轉后得到角，若，則．【答案】/【分析】由兩角和的正切公式先得，進一步由兩角差的正切公式即可求解.【詳解】由題意，且，，解得，所以.故答案為：.11．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學校考一模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由已知條件求出的值，再利用三角函數恒等變換公式求出的值，然后對利用兩角和的正弦公式化簡計算即可【詳解】由，得，所以，，所以，故選：A12．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）已知，且，則可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得，化簡后可求出，再利用同角三角函數的關系可求出.【詳解】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當時，，，因為，所以，所以，因為，所以，②當時，，因為，所以，由于，所以解得，③當時，，因為，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B13．（2024·吉林延邊·統考一模）已知函數的最小正周期為．(1)求的值，并寫出的對稱軸方程；(2)在中角的對邊分別是滿足，求函數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數，再根據周期求出的值,利用整體法即可求解對稱軸.（2）把已知的等式變形并利用正弦定理可得，故，故，根據正弦函數的定義域和值域求出的取值范圍．【詳解】（1）．，．故令，解得，故對稱軸方程為：（2）由得，．，，,．，，，三角函數的圖象與性質14．（2024·福建廈門·統考一模）已知函數，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于點成中心對稱C．在區間上單調遞增D．若的圖象關于直線對稱，則【答案】BC【分析】根據正弦型函數的性質，結合代入法、整體法逐一判斷各項正誤.【詳解】由，最小正周期，A錯；由，即是對稱中心，B對；由，則，顯然在區間上單調遞增，C對；由題意，故，D錯.故選：BC15．（2024·吉林延邊·統考一模）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關于軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】得出平移后的方程后，再根據正弦型函數的性質即可得到答案.【詳解】結合題意可得，因為曲線關于軸對稱，所以，解得,因為，所以當時，有最小值.故選：B.16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）已知函數，則下列說法正確的有（

）A．當時，的最小正周期為B．當時，的最小值為C．當時，在區間上有4個零點D．若在上單調遞減，則【答案】AB【分析】根據三角函數的周期性、含的二次項函數的值域、三角函數的零點、單調性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】當時，，所以的最小正周期為，A選項正確；當時，，所以的最小值為，B選項正確；當時，，令，解得或，此時或或，在區間上有3個零點，C選項錯誤；，設，在上單調遞減，則，根據復合函數的單調性，在上單調遞增，所以，解得，D選項錯誤.故選：AB17．（2024·湖南長沙·雅禮中學校考一模）已知函數f(x)=sin(>0)滿足:f()=2,f()=0,則(

)A．曲線y=f(x)關于直線對稱 B．函數y=f()是奇函數C．函數y=f(x)在(,)單調遞減 D．函數y=f(x)的值域為[-2,2]【答案】ABD【分析】用輔助角公式化簡,再利用,得出的取值集合,再結合三角函數性質逐項判斷即可.【詳解】,所以函數的值域為,故D正確；因為,所以,所以，因為,所以,所以，所以,即，所以，因為，所以曲線關于直線對稱,故A正確；因為即，所以函數是奇函數,故B正確；取,則最小正周期,故C錯誤.故選：ABD18．（2024·遼寧沈陽·統考一模）如圖，點是函數的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（

）A．B．C．函數在上單調遞減D．若將函數的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數的圖像，則的最小值為【答案】ACD【分析】令求得根據求得，根據求得的解析式，再逐項驗證BCD選項.【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯誤.當時，，因為在為減函數，故在上單調遞減，故C正確；將函數的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），為偶函數得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.19．（2024·重慶·統考一模）已知的部分圖象如圖所示，當時，的最大值為．

【答案】【分析】由圖象求出函數的解析式，然后利用正弦型函數的基本性質可求得函數在上的最大值.【詳解】因為，設，由圖可知，函數的最小正周期為，則，又因為，則，因為，可得，所以，，則，則，當時，，故.故答案為：.20．（2024·云南曲靖·統考一模）函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．函數的最小正周期是C．函數的圖象關于直線對稱D．將函數的圖象向左平移個單位長度以后，所得的函數圖象關于原點對稱【答案】AC【分析】利用圖象求出函數的解析式，代值計算可判斷A選項；利用正弦型函數的周期性可判斷B選項；利用正弦型函數的對稱性可判斷C選項；利用三角函數圖象變換可判斷D選項.【詳解】由圖可知，，函數的最小正周期滿足，則，，B錯；所以，，，可得，因為，所以，，則，可得，所以，，則，A對；，所以，函數的圖象關于直線對稱，C對；將函數的圖象向左平移個單位長度以后，得到函數的圖象，所得函數為非奇非偶函數，D錯.故選：AC.21．（2024·浙江·校聯考一模）已知函數，該圖象上最高點與最低點的最近距離為5，且點是函數的一個對稱點，則和的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意首先得，進一步由，對比選項即可得解.【詳解】由題意函數的周期滿足，，所以，又點是函數的一個對稱點，所以，所以或，對比選項可知，只有當時滿足題意.故選：D.22．（2024·廣東深圳·校考一模）已知函數的最小正周期為，則在區間上的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由周期公式求得，結合換元法即可求得最大值.【詳解】由題意，解得，所以，當時，，所以在區間上的最大值為，當且僅當時等號成立.故選：C.23．（2024·山西晉城·統考一模）若函數在上至少有兩個極大值點和兩個零點，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求出極大值點表達式，利用題干條件列不等式賦值求解.【詳解】令，，得的極大值點為，，則存在整數，使得，解得．因為函數在兩個相鄰的極大值點之間有兩個零點，所以．當時，．當時，．當時，．又，所以的取值范圍為．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數的圖象及其性質，求出并賦值計算是解決問題關鍵.24．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯考一模）在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”．在適當的直角坐標系下，某個簡諧運動可以用函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）

A．，頻率為，初相為B．函數的圖象關于直線對稱C．函數在上的值域為D．若把圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再向左平移個單位，則所得函數是【答案】BCD【分析】根據圖象求出三角函數解析式，再根據正弦函數圖象與性質以及函數平移的原則即可判斷.【詳解】由圖象可得，頻率是，即，，對于A，，初相是，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，在上的值域為，故C正確；對于D，把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數為，又向左平移個單位，得到的函數為，故D正確；故選：BCD.解三角形25．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實驗學校校考一模）如圖，為了測量某濕地A，B兩點間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點C，D，E．從D點測得∠ADC＝67.5°，從C點測得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，從E點測得∠BEC＝60°．若測得DC＝2，CE＝(單位：百米)，則A，B兩點的距離為（

）A． B．2C．3 D．2【答案】C【分析】在中，求得；在中，利用正弦定理求得；再在中，利用余弦定理即可求得結果.【詳解】根據題意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，則∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，則AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，則∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，則有＝，變形可得BC＝＝＝，在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，則AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，則AB＝3．故選：.【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，涉及距離的求解，屬基礎題.26．（2024·廣東深圳·校考一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，則cosA＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知結合余弦定理進行化簡即可求解.【詳解】解：因為c＝2acosA，由余弦定理可得，將a＝3，b＝5代入整理得，所以.故選：D.27．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實驗學校校考一模）在銳角中，角所對的邊分別為，且，則下列結論正確的有（

）A．B．的取值范圍為C．的取值范圍為D．的最小值為【答案】AC【分析】用正弦定理可判斷A項，由銳角三角形可判斷B項，用倍角公式可判斷C項，切化弦后用取等條件即可判斷D項.【詳解】在中，由正弦定理可將式子化為，把代入整理得，，解得或，即或（舍去），所以，選項正確；選項：因為為銳角三角形，，所以，由解得，故選項B錯誤；選項C：，因為，所以，，即的取值范圍為，故選項C正確；選項D：，當且僅當即時取等，但因為，所以，無法取到等號，故D錯.故選：AC.28．（2024·福建廈門·統考一模）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，且的周長為，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）應用正弦邊角關系及和角正弦公式有，再由三角形內角性質即可求邊長；（2）應用余弦定理及已知得且，進而求得，最后應用面積公式求面積.【詳解】（1）由題設，由正弦定理有，所以，而，故，又，所以.（2）由（1）及已知，有，可得，又，即，所以，故.29．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯考一模）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求角的大小；(2)若，求周長的最大值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據題意利用正、余弦定理進行邊角轉化，進而可得結果；（2）根據，結合基本不等式運算求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由（1）可知：，整理得，即，因為，當且僅當時，等號成立，則，可得，即，所以周長的最大值為.30．（2024·山東濟南·山東省實驗中學校考一模）在中，內角的對邊分別是，且.(1)求的值；(2)若的周長為18，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角結合同角三角函數關系求解;（2）由余弦定理解方程得邊長，再利用面積公式求解.【詳解】（1）因為，，所以因為，所以，則.（2）因為，所以.因為，所以，解得.因為的周長為18，所以，解得，則.故的面積為.31．（2024·浙江·校聯考一模）在中，內角所對的邊分別是，已知．(1)求角；(2)設邊的中點為，若，且的面積為，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理和題中所給式子化簡計算得到，再結合余弦定理即可求出角；（2）根據三角形面積公式得到和，再結合中線向量公式計算即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，因為，所以，化簡得，，在中，由余弦定理得，，又因為，所以（2）由，得，由，得，所以．又因為邊的中點為，所以，所以32．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實驗學校校考一模）已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC與∠ABC的內角平分線交于點Ⅰ，△ABC的外接圓半徑為2，求△ABI周長的最大值．【答案】（1）；（2）4+2．【分析】（1）利用降冪公式、兩角和的正弦公式變形可得sin（C+）＝1，再根據角的范圍可得解；（2）利用正弦定理求出，求出，設出，將用表示，根據三角函數知識求出的最大值可得解.【詳解】（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即sinC+cosC＝2，∴sin（C+）＝1．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圓半徑為2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC與∠ABC的內角平分線交于點Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，設∠ABI＝θ，則∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周長為2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴當θ+＝，即時，△ABI的周長取得最大值，最大值為4+2，故△ABI的周長的最大值為4+2．【點睛】關鍵點點睛：將用表示，根據三角函數知識求出的最大值是解題關鍵.33．（2024·遼寧沈陽·統考一模）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求證：；(2)當取最小值時，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理并結合正弦函數兩角和差公式化簡即可求解.（2）利用基本不等式求得的最小值時的取等條件，再結合余弦定理從而求解.【詳解】（1）證明：由余弦定理知，又因為，所以，化簡得，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以或（舍），所以.（