專題強化十八動態圓

【目標要求】1.進一步掌握帶電粒子在有界磁場中運動的臨界、極值問題.2.會用“平移

圓”“旋轉圓”“放縮圓”找出對應臨界狀態或極值的軌跡.3.理解“磁聚焦”和“磁發散”

模型.

題型一“平移圓”模型

粒子源發射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的

同種帶電粒子進入勻強磁場時,它們做勻速圓周運動的半徑相同，

若入射速度大小為。0,則半徑R—':稱，如圖所示

適用條件

XXXXXXX

x恢Vxx\x

III

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線

軌跡圓圓心共線

與入射點的連線平行

將半徑為/?=鬻的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種

界定方法

方法叫“平移圓”法

【例11如圖所示，在xOy平面的第I、IV象限內有一圓心為0、半徑為K的半圓形勻強磁場,

線狀粒子源從y軸左側平行于x軸正方向不斷射出質量為機、電荷量為g、速度大小為處的

帶正電粒子.磁場的磁感應強度大小為魏、方向垂直平面xOy向里.不考慮粒子間的相互

作用,不計粒子受到的重力.所有從不同位置進入磁場的粒子中，在磁場中運動的時間最長

為（)

XXx\

XXX

?XXXX

XXx/

.兀Rc冗R-兀R—兀R

A而B麗C獲D與

答案C

解析粒子在磁場中做勻速圓周運動，有qvoB="ry,解得r=2R,如圖所示，當粒子在磁

FE

場中的運動軌跡對應的圓心角最大時，粒子在磁場中運動的時間最長，由于sino=7,要使

圓心角Q最大，FE最長,經分析可知，當粒子從y軸上的。'點射入、從工軸上的0點射

OE'7T

出磁場時，粒子在磁場中運動的時間最長，有sinGm=---,解得而=不從。'點射入磁

匹

場的粒子在磁場中運動的時間最長，且，"尸卷智，解得］崇,故選C.

題型二“旋轉圓”模型

粒子源發射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進入勻強

磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初

速度大小為如則圓周運動軌跡半徑為"蔡如圖所示

適用條件

P

如圖，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P

為圓心、半徑”黃的圓上

x*xx

XX,XQX\XX

軌跡圓圓心共圓

xx\xJyx

XXXX

界定方法將半徑為R-'；犬的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索

出臨界條件，這種方法稱為“旋轉圓”法

【例2】(2023?浙江溫州市英才學校模擬)如圖所示，豎直平面內有一xO.y平面直角坐標系，第

一、四象限中存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小記為8(8未知).坐標原點。

處有一放射源，放射源可以源源不斷向一、四象限180。范圍內均勻地輻射出質量為機、電荷

量為q的正離子.在)，軸上固定一能吸收離子的收集板"點坐標為(0,a),N點坐標為

(0,2a),當輻射的離子速率為。。時離子打在收集板上的位置最遠到N點，最近到M點.不計

離子的重力及離子間的相互作用的影響，求:

y

2al|Nxxxx

仍xxx

,XXXX

~o、XXxxx

XXXX

XXXX

(D恰好打到M點的離子在磁場中運動的時間；

(2)能打到收集板上的離子數占輻射總數的比例.

答案(1)詈或浮(2)1

JVOJVQJ

解析(1)由題意可知，沿x軸正方向出射的離子,經半圓到達N點,

由此可得/?=〃，可知通過M點的離子有兩個出射方向，如圖甲，一個軌跡轉過的圓心角為

60°,即另一個軌跡轉過的圓心角為300。，即以=，離子做勻速圓周運動，周期T

智，即T，解得L7UI5兀。

3。0’’2-3%

(2)如圖乙所示，由動態圓分析結果可知，能打到收集板上的離子分布在速度方向與x軸正方

向成60。角的范圍內，因為放射源均勻打出離子，因此打到收集板上的離子數占輻射總數的

41200_2

比例為］80。-W

乙

題型三“放縮圓”模型

粒子源發射速度方向一定，大小不同的同種帶電粒子進入勻強

適用條件磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨

速度的變化而變化

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度。越大，運動半

徑也越大.可以發現這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡

的圓心在垂直初速度方向的直線PP'上

軌跡圓圓心共線XXP'XXXX

Xx^xxX

XXXXXX

以入射點P為定點，圓心位于PP直線上，將半徑放縮作軌跡

界定方法

圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

【例31（2020?全國卷HI48）真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸

圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示.一速率為。的電子從圓心沿半徑

方向進入磁場.已知電子質量為膽，電荷量為e,忽略重力.為使該電子的運動被限制在圖

中實線圓圍成的區域內，磁場的磁感應強度最小為（）

3mvmv3mv3mv

Aq2—aeB.—aeC.-4;—aeD.Tja—e

答案c

解析磁感應強度取最小值時對應的臨界狀態如圖所示，設電子在磁場中做圓周運動的半徑

7}

為r,由幾何關系得/=（3〃-r）2,根據牛頓第二定律和圓周運動知識得的3=加7，聯立

解得8=力，故選《

I例4］（多選）如圖所示，正方形46cd區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，。點是C"邊的

中點.若一個帶正電的粒子（重力忽略不計）從。點沿紙面以垂直于cd邊的某一速度射入正方

形內，經過時間剛好從c點射出磁場.現設法使該帶電粒子從。點沿紙面以與0"成30。

角的方向，以各種不同的速率射入正方形內，那么下列說法正確的是（）

A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點射出磁場

B.若該帶電粒子從湖邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間可能是fo

C.若該帶電粒子從曲邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間可能是會。

D.若該帶電粒子從cd邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間一定是*o

答案AD

解析帶電粒子以垂直于C0邊的某一速度射入正方形內，經過時間to剛好從C點射出磁場，

則知帶電粒子的運動周期T=2f0.該粒子從。點以與。"成30。角的方向射入磁場，隨著粒子

速度逐漸增大，軌跡由①一②一③一④依次漸變，由圖可知粒子在四個邊射出時，射出范圍

分別為OG、FE、DC、BA之間，不可能從四個頂點射出，故A正確.由上述分析知粒子運

動周期為2而，由圖分析可知，從他邊射出的粒子所用時間不可能為伍從歷邊射出的粒子

所用時間不超過,7=粵，所有從cd邊射出的粒子圓心角都是300。，所用時間為寵=竽，故

B、C錯誤，D正確.

題型四“磁聚焦”與“磁發散”模型

1.帶電粒子的會聚

如圖甲所示，大量同種帶正電的粒子，速度大小相等，平行入射到圓形磁場區域，如果軌跡

圓半徑與磁場圓半徑相等&=，)，則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點8點射出.(會聚)

證明：四邊形040'2為菱形，必是平行四邊形，對邊平行，08必平行于A0'(即豎直方

向)，可知從4點發出的帶電粒子必然經過B點.

2.帶電粒子的發散

如圖乙所示，有界圓形磁場的磁感應強度為8,圓心為0,從P點有大量質量為加、電荷量

為q的正粒子，以大小相等的速度。沿不同方向射入有界磁場，不計粒子的重力，如果正粒

子軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等，則所有粒子射出磁場的方向平行.(發散)

證明：所有粒子運動軌跡的圓心與有界圓圓心0、入射點、出射點的連線為菱形，也是平行

四邊形，ON、028、03c均平行于尸0,即出射速度方向相同(即水平方向).

1例51(2021.湖南卷?13)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關鍵技術之一.帶電

粒子流(每個粒子的質量為加、電荷量為+q)以初速度。垂直進入磁場，不計重力及帶電粒子

之間的相互作用.對處在xOy平面內的粒子，求解以下問題.

(1)如圖(a),寬度為2n的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0,川、半徑為打的圓形勻

強磁場中，若帶電粒子流經過磁場后都匯聚到坐標原點0,求該磁場磁感應強度Bi的大??；

(2)如圖(a),虛線框為邊長等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0,-r2).在虛線框內設計

一個區域面積最小的勻強磁場，使匯聚到0點的帶電粒子流經過該區域后寬度變為2r2,并

沿x軸正方向射出.求該磁場磁感應強度治的大小和方向，以及該磁場區域的面積(無需寫

出面積最小的證明過程)；

(3)如圖(b),虛線框I和H均為邊長等于/'3的正方形，虛線框HI和IV均為邊長等于冷的正方

形.在I、II、1H和W中分別設計一個區域面積最小的勻強磁場，使寬度為2r3的帶電粒子

流沿x軸正方向射入I和II后匯聚到坐標原點。，再經過山和【V后寬度變為2r4,并沿X軸正

方向射出，從而實現帶電粒子流的同軸控束.求I和ni中磁場磁感應強度的大小，以及n和

【V中勻強磁場區域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）.

答案（1）就（2）就垂直于紙面向里兀？2

mvmv1,1.

⑶記而（呼T"（尹一1"

解析（1）粒子垂直），軸進入圓形磁場，在坐標原點0匯聚，滿足磁聚焦的條件，即粒子在磁

場中運動的半徑等于圓形磁場的半徑ri,粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，qvB\=

v2

解得功=”

qr\

（2）粒子從。點進入下方虛線區域，若要從聚焦的0點飛入然后沿x軸正方向飛出，為磁發

散的過程，即粒子在下方圓形磁場運動的軌跡半徑等于磁場半徑，粒子軌跡最大的邊界如圖

甲中所示，圖中圓形磁場即為最小的勻強磁場區域

磁場半徑為/"2,根據卯82=，仁，

可知磁感應強度為8,=處

qn

2

根據左手定則可知磁場的方向為垂直紙面向里，圓形磁場的面積為S2=Hr2

（3）畫出磁場區域面積最小時的情形，如圖乙所示.

在I、II區域的磁場中，由幾何關系可知帶電粒子運動的軌跡半徑尺3=小，由洛倫茲力提供

向心力有解得&=黑，II中磁場區域的面積S1=2X（；7V32一;廠32）=0—1）匚32.

在m、w區域的磁場中，由幾何關系可知帶電粒子運動的軌跡半徑&=%,由洛倫茲力提供

向心力有qvB&=解得&暇IV中磁場區域的面積s=2X

后4

課時精練

過基礎落實練

1.（多選）如圖所示，在I、n兩個區域內存在磁感應強度大小均為3的勻強磁場，磁場方向

分別垂直于紙面向外和向里，AD.AC邊界的夾角NDAC=30。，邊界AC與邊界MN平行，

II區域寬度為d.質量為m,電荷量為+q的粒子可在邊界AD上的不同點射入，入射速度垂

直且垂直磁場，若入射速度大小為嚕，不計粒子重力，則（）

A.粒子在磁場中運動的半徑為苧

B.粒子在距A點0.5d處射入，不會進入II區域

C.粒子在距A點1.5d處射入，在I區域內運動的時間為黨

qB

D.能夠進入ii區域的粒子，在n區域內運動的最短時間為瑞

答案CD

解析帶電粒子在磁場中的運動半徑r=-^=4選項A錯誤；設從某處E進入磁場的粒子，

qB

其軌跡恰好與AC相切（如圖所示），則E點與A點、的距離為A0-E0=2d-d=d,粒子在距4

點0.5d處射入，會進入H區域，選項B錯誤；粒子在距A點1.54處射入，不會進入H區域，

Tuni

在I區域內的軌跡為半圓，運動的時間為[=]=%,選項c正確；進入n區域的粒子，弦長

最短時的運動時間最短，且最短弦長為d,與半徑相同，故對應圓心角為60°,最短時間為fmin

=（=魏,選項D正確?

2.如圖，虛線所示的圓形區域內存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點，大

量相同的帶電粒子以相同的速率經過P點，在紙面內沿不同的方向射入磁場，若粒子射入速

率為S，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為。2,相應

的出射點分布在三分之一圓周上.不計重力及帶電粒子之間的相互作用，則。2：。1為（）

?---

\、?/

、Z

A.?。?B.巾：1

C.y[3：1D.3：也

答案C

解析根據作圖分析可知，當粒子在磁場中運動半個圓周時，打到圓形磁場邊界的位置距P

點最遠，則粒子射入的速率為軌跡如圖甲所示，設圓形磁場半徑為K,由幾何知識可知，

粒子運動的軌跡半徑為n=Rcos60°=；/?;若粒子射入的速率為02,軌跡如圖乙所示，由幾

何知識可知，粒子運動的軌跡半徑為f2=Rcos30°=坐K;根據軌跡半徑公式/=詈可知，

也：Vi=r2:「=?。?,故選項C正確.

3.（多選）如圖所示，紙面內有寬為L、水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質量為〃八電荷量為

一虱4>0）、速率為優，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用，要使粒子都會聚到一點，可

以在粒子流的右側虛線框內設計一勻強磁場區域，則磁場區域的形狀及對應的磁感應強度可

以是下列選項中的（其中氏=胃，A、C、D選項中曲線均為半徑為心的〃圓弧，B選項中曲

線為半徑為亨的圓）（）

L

帶電粒子流

B=B°8=2幾

AB

B=B。8=2%

XXXXX

%XXXX

\xXXX

L7:

CD

答案AB

4.如圖所示，在x軸的上方。）0）存在著垂直于紙面向里的勻強磁場（未畫出），磁感應強度大

小為股在原點。有一個離子源向x軸上方的各個方向發射出質量為〃八帶電荷量為q的正離

子，速率都為。.對那些在xOy平面內運動的離子，在磁場中可能到達的位置中離x軸及y軸

最遠距離分別為（）

2mv2/nvmv2nw

A.-0B.—

qBqB

2mvmvmvmv

r—

1，qB不D.TqB不

答案A

解析若讓沿x軸正方向射出的離子的軌跡圓繞。點緩慢轉動（如圖所示），不難得出離y軸

5.（多選）如圖所示，平行線MN、尸。間有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小

為B,MN、P。間的距離為L.在MN上的。點有一粒子源，可以沿垂直于磁場的各個方向射

入質量為加、電荷量為q的帶負電的粒子，且這些粒子的速度大小相等.這些粒子經磁場偏

轉后，穿過P。邊界線的最低點為6點.已知。是尸Q上的一點，ac垂直于PQ,c、〃間的

距離為則下列說法正確的是（）

M

r

\b

NQ

A.粒子在磁場中做圓周運動的半徑為夕;

B.粒子在磁場中運動的速度大小為鬻

C.粒子從PQ邊射出的區域長為A

D.沿斜向下與MN夾角為30。方向射入的粒子恰好從。點射出磁場

答案BC

解析作出一些粒子的運動軌跡如圖所示，根據幾何關系有夫2=（乙一/?）2+（馬\求得/?="

LO

A項錯誤；由而得粒子做圓周運動的速度大小。=簪=*磬，B項正確；設粒子從

PQ射出區域的上端d點到c點的距離為s,根據幾何關系有R2=（—R）2+S2,求得S=與，因

此C項正確；從c點射出磁場的粒子，在“點時速度與MN的夾南。滿足2RcosJ=

L,可得cos0=0.8,則6#30°,D項錯誤.

立能力綜合練

6.（2020?全國卷I-18）—■勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外，其邊界如

圖中虛線所示，怎為半圓，ac,人/與直徑曲共線，ac間的距離等于半圓的半徑.一束質量

為通電荷量為虱4>0）的粒子，在紙面內從c點垂直于砒射入磁場，這些粒子具有各種速率.不

計粒子之間的相互作用.在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（）

'、：?：：?：?：，'

,7Tmi-5兀m-4兀加-3兀/九

c，6qB?4M_C3，Tq^B52M

答案c

解析粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關，由在磁場中的運動軌跡對應的圓心角決

定.設軌跡交半圓于e點，ce中垂線交機?于。點，則0點為軌跡圓的圓心，如圖所示.圓

心角6=兀+2￡,當夕最大時，。有最大值，由幾何知識分析可知，當ce與耳相切時，￡最大,

494冗〃7

此時￡=30°,可得。=乎，則/=五7=拓^，故選C.

7.如圖所示，真空中垂直于紙面向里的勻強磁場只在兩個同心圓所夾的環狀區域存在（含邊

界），兩圓的半徑分別為R、3R,圓心為O.一重力不計的帶正電粒子從大圓邊緣的P點沿PO

方向以速度力射入磁場，其運動軌跡如圖，軌跡所對的圓心角為120。.當將該帶電粒子從P

點射入的速度大小變為S時，不論其入射方向如何，都不可能進入小圓內部區域，則。|：。2

至少為（）

B.小D.2小

答案B

解析粒子在磁場中做勻速圓周運動，由幾何知識得門=盛心=小凡洛倫茲力提供向心

力,由牛頓第二定律得9。歸=/端j解得Vi=^fK,粒子豎直向上射入磁場，恰好不能進

入小圓區域時粒子的軌跡半徑j-2=R，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得卯28="噌，

解■得S=喈,則0|：3=小，B項正確.

8.（2023?廣東佛山市模擬）如圖所示，寬為d的混合粒子束由速率為364”5。的三種帶正

電的離子組成.所有離子的電荷量均為q、質量均為m,當三種速率的離子水平向右進入勻

強磁場，磁場方向垂直紙面向外.在入口處，緊靠粒子束的下邊緣豎直放置一個長度為2d

的薄吞噬板忽略離子重力及離子間相互作用，若使這些離子都能打到吞噬板MN上，則

磁感應強度大小的取值范圍是（）

混合粒卜-——...

子束4三4..??

吞噬七板,二???

N????

5mv]Otnv6mvSmv

5mv6mvSmv\Omv

答案C

解析由分析可知，粒子束上邊緣進入速率為功=3。的離子到達吞噬板上邊緣時，半徑最小,

磁感應強度最大，根據q0i8i=〃片-,由幾何關系得凡=弓，可得囪=母:；粒子束下邊緣進

AI乙qa

入速率為02=5D的離子到達吞噬板下邊緣時，半徑最大，磁感應強度最小，此時施,

StTivhnw

R2=d,得82=京,所以磁感應強度大小的取值范圍為方-<8<三八故C正確，A、B、D

錯誤.

9.（多選）（2023?湖南省模擬）在電子技術中，科研人員經常通過在適當的區域施加磁場控制帶

電粒子的運動.如圖所示，圓心為0、半徑為R的圓形區域內存在垂直紙面的勻強磁場（圖中

未畫出），PQ、E尸是兩條相互垂直的直徑，圓形區域左側有一平行EF、關于PQ對稱放置的

線狀粒子源，可以沿平行于PQ的方向發射質量為，〃、電荷量為外速率均為。。的帶正電的

粒子，粒子源的長度為小R,從粒子源上邊緣發射的粒子經磁場偏轉后從F點射出磁場.不

計粒子重力及粒子間的相互作用.下列說法正確的是（）

A.勻強磁場的方向垂直紙面向里

B.粒子源發射的粒子均從尸點射出磁場

c.勻強磁場的磁感應強度大小為斗嚓

D.粒子在磁場中運動的最短時間為罌

答案BD

解析帶正電的粒子向下偏轉，根據左手定則可知勻強磁場的方向垂直紙面向外，故A錯誤;

如圖甲所示，設粒子的運動半徑為r,根據幾何關系可得［”(r—乎R)}+(f)2=戶,

2

解得r=R,根據洛倫茲力提供向心力，有g超="券7,解得2=需，故C錯誤；所有粒子

在磁場中運動半徑都相等，運動的圓弧越短，在磁場中運動的時間越短，如圖乙所示，

1zjrr

由幾何關系可得sinN”OF=7,解得N”QF=30。，粒子在磁場中運動的周期丁=丁，則粒

ZVo

子在磁場中運動的最短時間fmin=弓審7=翳，故D正確：

JOUOvo

任意一點射入磁場，粒子的運動半徑等于R,如圖丙所示，由幾何關系可知四邊形?！ㄊ銥?/p>

一個菱形，。尸〃〃，所以所有的粒子都從F點射出，故B正確.

丙

10.如圖所示，正方形區域浦cd內(含邊界)有垂直紙面向里的勻強磁場，成=/,Oa=OAI,大

量帶正電的粒子從O點沿與ab邊成37。角的方向以不同的初速度°。射入磁場，不計粒子重

力和粒子間的相互作用，己知帶電粒子的質量為通電荷量為q,磁場的磁感應強度大小為B,

sin37°=0.6,cos37°=0.8.

a?------------H