專題6.4立方根（知識講解）【學習目標】1.了解立方根的含義；2.會表示、計算一個數的立方根，會用計算器求立方根.【要點梳理】要點一、立方根的定義如果一個數的立方等于，那么這個數叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數的立方根的運算，叫做開立方.特別說明：一個數的立方根，用表示，其中是被開方數，3是根指數.開立方和立方互為逆運算.要點二、立方根的特征立方根的特征：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.特別說明：任何數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數的符號相同.兩個互為相反數的數的立方根也互為相反數.要點三、立方根的性質特別說明：第一個公式可以將求負數的立方根的問題轉化為求正數的立方根的問題.要點四、立方根小數點位數移動規律被開方數的小數點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【典型例題】類型一、立方根??概念的理解??平方根??立方根 1．已知的算術平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，則和分別是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用算術平方根和平方根，立方根的性質，可得到的值，由此可得到與和與的關系解：∵的算術平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，∴，∴．故選：C．【點撥】本題考查了算術平方根和平方根，立方根的性質，得出與和與的關系是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．的平方根是C．一定有平方根 D．表示的算術平方根【答案】C【分析】根據平方根，立方根，算術平方根的概念解答即可解：A、64的立方根是，故本選項不合題意；B、的平方根是，故本選項不合題意；C、因為，所以一定有平方根，故本選項符合題意；D、的算術平方根是，故本選項不合題意；故選：C【點撥】本題考查了平方根，立方根以及算術平方根，熟記相關定義是解答本題的關鍵．【變式2】下列說法中，不正確的是（）A．是的平方根 B．的平方根和立方根都是C．負數沒有立方根 D．的算術平方根和立方根都是它本身【答案】C【分析】根據平方根、算術平方根、立方根的定義，即可一一判定．解：A.，是的平方根，故該選項正確，不符合題意；B.的平方根和立方根都是，故該選項正確，不符合題意；C.負數有立方根，故該選項不正確，符合題意；D.的算術平方根和立方根都是它本身，故該選項正確，不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了平方根、算術平方根、立方根的定義，若一個數的平方等于，則這個數叫做a的平方根，其中正的平方根叫做a的算術平方根，0的算術平方根為0；若一個數的立方等于，則這個數叫做a的立方根．類型二、立方根??求一個數的立（平）方根??已知立（平）方根求原數2．求下列各式中x的值：； (2)．【答案】(1)或5(2)【分析】（1）利用平方根的性質解答，即可求解；（2）利用立方根的性質解答，即可求解．（1）解：∴，即，解得：或5；（2）解：，∴，解得：．【點撥】本題主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟練掌握平方根和立方根的性質是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】求下列各式中的x的值． (2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用平方根解方程；（2）利用立方根解方程．（1）解：∵，∴，∵，∴，解得：或；（2）解：∵，∴，∵，∴，解得：．【點撥】本題考查利用平方根和立方根解方程．熟練掌握平方根和立方根的概念，是解題的關鍵．【變式2】求下列各式中的值：【答案】（1）x=4；（2）【分析】（1）根據立方根的定義解答；（2）根據平方根定義解答．解：（1）x+2=6，x=4；（2）．【點撥】此題考查了利用立方根定義及平方根定義解方程，正確求一個數的立方根及平方根是解題的關鍵．類型三、立方根??平方根??立方根??綜合應用3．已知a是2的平方根，b是（﹣13）2的平方根，c的立方根是﹣3，d的算術平方根是，回答下列問題．分別求出a，b，c，d的值；d的另外一個平方根落在圖中的．（填“段①”“段②”“段③”“段④”）【答案】(1)a=±，b=±13；c=-27，d=2(2)段②【分析】（1）根據平方根和立方根的知識可求得此題結果；（2）先求得d的另外一個平方根為，再比較出它在數軸中所在的位置．解：（1）∵（±）2==，（±13）2=（13）2，（3）3=27，（）2=2，∴±是的平方根，±13是（13）2的平方根，27的立方根是3，2的算術平方根是，∴，b=±13，c=27，d=2；（2）解：∵2的平方根是±，而，∴d的另外一個平方根落在圖中的“段②”，故答案為：“段②”．【點撥】此題考查了運用平方根和立方根解決問題的能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識．舉一反三：【變式1】已知正數的兩個平方根分別是和，的立方根為-2．計算：_________；_________；_________；求的算術平方根．【答案】(1)1；-1；25(2)1【分析】（1）根據一個正數的兩個平方根互為相反數以及立方根的定義進行求解即可；（2）先求出，然后根據算術平方根的定義求解即可．(1)解：∵正數的兩個平方根分別是和，的立方根為-2，∴，∴，∴，故答案為：1；-1；25；(2)解：∵，∴，∴的算術平方根為1．【點撥】本題主要考查了平方根，立方根，算術平方根，熟知三者的定義是解題的關鍵．【變式2】己知的立方根是4，的算術平方根是5，c是9的算術平方根，求a，b，c的值求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據立方根的概念和算術平方根的概念進行求解即可；（2）先代值計算，再根據平方根的定義進行求解即可．（1）解：∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴；（2）把：代入得：，∵，∴的平方根是：．【點撥】本題考查平方根，算術平方根和立方根，熟練掌握平方根：一個數的平方是，叫做的平方根；算術平方根：一個非負數的平方是，叫做的算術平方根；立方根：一個數的立方是，叫做的立方根，是解題的關鍵．類型四、立方根??生產生活中的應用4．在一個長、寬、高分別為8，4，2的長方體容器中裝滿水，將容器中的水全部倒入一個正方體容器中，恰好倒滿（兩容器的厚度忽略不計），求此正方體容器的棱長．【答案】4cm【分析】根據長方體的體積計算可得結論；根據正方體的體積等于棱長的立方進行開立方計算可得結論．解：由于裝滿水的長方體容器中的水，全部倒入正方體容器中，恰好倒滿，所以它們的體積相等，而長方體容器的體積，所以正方體容器的體積為64，所以此正方體容器的棱長為．【點撥】本題主要考查了立方根的概念的運用以及應用，解決本題的關鍵是熟練掌握立方根的應用．舉一反三：【變式1】一個正方體的體積是，另一正方體的體積是這個正方體體積的4倍，求另一個正方體的邊長及其表面積．【答案】邊長，表面積【分析】根據題意知大正方體的體積為，則其邊長為體積的立方根，可求得表面積．解：正方體的體積為：，即正方體的邊長為：，則正方體的表面積為：，答：邊長，體積．【點撥】本題主要考查了有理數的乘法運算以及立方根的知識，掌握正方體的體積公式和表面積公式是解答本題的關鍵．【變式2】李叔叔將8個正方體魔方，放入到一個容積為的正方體紙箱中，恰好填滿．求這個魔方的棱長．【答案】【分析】先算出1個魔方的體積，然后根據體積公式算出魔方的棱長即可．解：1個魔方的體積為：．則這個魔方的棱長為．答：這個魔方的棱長為．【點撥】本題主要考查了立方根的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握正方體的體積公式，準確進行計算．類型五、立方根??能力拓展5．小明在學完立方根后研究了如下問題：如何求出的立方根？他進行了如下步驟：①首先進行了估算：因為，，所以是兩位數；②其次觀察了立方數：；猜想的個位數字是7；③接著將往前移動3位小數點后約為50，因為，，所以的十位數字應為3，于是猜想，驗證得：的立方根是；④最后再依據“負數的立方根是負數”得到，同時發現結論：若兩個數互為相反數，則這兩個數的立方根也互為相反數；反之也成立．請你根據小明的方法和結論，完成下列問題：=；若，則；已知，且與互為相反數，求的值．【答案】(1)(2)3(3)，；，；，【分析】（1）根據題目中給定的方法進行求解即可；（2）根據兩個數互為相反數，則這兩個數的立方根也互為相反數，進行計算即可；（3）根據立方根的性質，立方根是本身的數為，進行分類討論，再根據兩個數互為相反數，則這兩個數的立方根也互為相反數，進行計算即可．（1）解：因為，，所以是兩位數，因為；猜想的個位數字是9，接著將往前移動3位小數點后約為117，因為，所以的十位數字應為4，于是猜想，驗證得：的立方根是；最后再依據“負數的立方根是負數”得到；（2）解：∵，∴和互為相反數，∴，∴；故答案為：3．（3）解：，即，∴或1或解得：或3或1∵與互為相反數，即，∴，即，∴時，；當時，；當時，．【點撥】本題考查求一個負數的立方根，以及互為相反數的兩個數的立方根也互為相反數．熟練掌握題目中給定的立方根的計算方法是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】觀察求算術平方根的規律，并利用這個規律解決下列問題：，，，，，已知，求的值；已知，，求的值；根據上述探究方法，嘗試解決問題：已知，，用含的代數式表示．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據算術平方根的規律，根號內擴大100倍，結果擴大10倍，將式子變形即可求解；（2）根據算術平方根規律，根號內擴大100倍，結果擴大10倍，將式子變形即可求解；（3）根據立方根的規律，根號內擴大1000倍，結果擴大10倍，將式子變形即可求解；解：（1），．（2），．．（3），．．，即．【點撥】本題主要考查算術平方根、立方根、二次根式的乘法運算，熟練掌握算術平方根、平方根的定義以及二次根式的乘法運算法則是解決本題的關鍵．【變式2】類比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定義可給出四次方根、五次方根的定義：①如果，那么x叫做a的四次方根；②如果，那么x叫做a的五次方根；請根據以上兩個定義并結合有關數學知識回答問題：81的四次方根為____________；-32的五次方根為____________；若有意義，則a