2023年江蘇省南京市東華中學高一數學理大聯考試題

含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.在中，sin2A+cos2B=L則cosA+cos5+cosC的最大值為（）

A.B.

C.1D.

參考答案：

D

由sin2A+cos25=l,得cos25=cos2A又A、5為△ABC的內角，所以A=5,則C

2

=兀-2A.cosA+cosB+cosC—2cosA+cos（7i_2A）=2cosA—cos2A=—2cosA+2cosA

+1=—22+,可知當cosA=時，cosA+cosB+cosC取得最大值.

2,若圓一+爐-4x-4，-10=°上至少有三個點到直線＞欠一如=°的距離等于2點,

在直線？的斜率的取值范圍是（）

Ae.2-⑹B.82-看]中+"例）Q（62+同

D[2.62+/]

參考答案：

D

3.（5分）如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是底為1,高為2的矩形，俯

視圖是一個圓，那么這個幾何體的表面積為（）

正猊圖

5-

A.2JiB.2C.4mD.5n

參考答案：

B

考點：由三視圖求面積、體積.

專題：計算題；圖表型.

1

分析：由三視圖知，此幾何體是一個圓柱，其高為2,半徑為2由公式易求得它的表面

積，選出正確選項

1

解答：解：由圖知，此幾何體是一個圓柱，其高為2,半徑為2

2X冗x弓）--

它的表面積為2+2X2JiX2=2

故選B

點評：本題考查由三視圖求面積、體積，解題的關鍵是由三視圖還原出實物圖的幾何特征

及其度量，再由公式求出表面積，本題考查了空間想像能力.

4.過點P(2,1)且被圓C：x2+y2-2x+4y=0截得弦長最長的直線1的方程是

()

(A)3x-y-5=0(B)3x+y-7=0

(C)x-3y+5=0(D)x+3y-5=0

參考答案：

A

略

5.已知a=log20.3b=201,c=0.21,3,則a,b,c的大小關系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

參考答案：

C

【考點】對數值大小的比較.

【分析】看清對數的底數，底數大于1,對數是一個增函數，0.3的對數小于1的對數，

得到a小于0,根據指數函數的性質，得到b大于1,而c小于1,根據三個數字與0,1

之間的關系，得到它們的大小關系.

【解答】解：由對數和指數的性質可知，

Va=log20.3<0

b=201>2°=l

c=0,2L3<°。

/.a<c<b

故選C.

【點評】本題考查對數的性質，考查指數的性質，考查比較大小，在比較大小時，若所給

的數字不具有相同的底數，需要找一個中間量，把要比較大小的數字用不等號連接起來.

1x

,{y|y=(=)，0<Cx<C1}

6.已知集合A={x|y=log2X,y<0},2，貝！JAUB=()

(-,+8)&1)

A.(0,1)B.2C.2D.(-8,i)

參考答案：

A

【考點】并集及其運算.

【專題】集合思想；數形結合法；集合.

【分析】根據指數函數與對數函數的性質，化簡集合A、B,求出AUB即可.

【解答】解：,；A={x|y=log2X,y<0}={x|0<x<l}=(0,1),

B={y|尸(A):O<X<1]]工

2={y|2<y<l)=(2,1),

1

Z.AUB=（0,1）U（2,1）=（0,1）.

故選：A.

【點評】本題考查了集合的運算與應用問題，也考查了函數的性質與應用問題，是基礎題

目.

7.某城市出租車起步價為10元，最長可租乘3km（含3km）,以后每1km為1.6元

（不足1km,按1km計費），若出租車行駛在不需等待的公路上，則出租車的費用

y（元）與行駛的里程x（km）之間的函數圖象大致為（）

參考答案:

C

8.由小到大排列的一組數據：XhXiXj.K,.",其中每個數據都小于-2,則樣本

2「百，的中位數可以表示為（）

勺+/向一x】2+x$X3-X4

A.2B.2C.2D.2

參考答案:

1cosa+sinCL

9.已知=2貝ijcosa-sinCl二（）

A.2B.-2C.3D.-3

參考答案:

C

【考點】同角三角函數基本關系的運用.

【分析】對所求式分子分母同時除以cosa,轉化成關于tana的關系式即可得到答案.

cosCl+sinCL1+tanCI

［解答］解：?.?cosa_sina1-tanCL

故選C.

…《)=21sIx-—I

10.函數XI的大致圖象為()

參考答案:

D

【考點】函數的圖象；指數函數的圖象與性質.

【分析】觀察題設中的函數表達式，應該以1為界來分段討論去掉絕對值號，化簡之后

再分段研究其圖象.

l…ogx——1——1

【解答】解：由題設條件，當x》l時，f(x)=229-(x-x)=x

-log2x111

當X<1時，f(x)=2-(x-X)=x-(x-X)=x

綜上，應該選D

【點評】本題考查絕對值函數圖象的畫法，一般要先去掉絕對值號轉化成分段函數再分段

做出圖象.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知直線/：審-0與圓一12交于A、8兩點，過A、8分別作/

的垂線與y軸交于C、。兩點，若I公上坤，貝力6|=.

參考答案：

4

【分析】

由題，根據垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長可得答案.

【詳解】因為加1=24，且圓的半徑為r=訪，所以圓心（0-。）到直線

|?.妙3?-抬=0的距離為卜［^^3

則由，解得3

jr=——x4

代入直線I的方程，得3,所以直線?的傾斜角為30。，由平面幾何知識知在

..\AB\

梯形加DC中，i1cosM0

故答案為4

【點睛】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即

幾何問題代數化），把它轉化為代數問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯系得非

常緊密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使

問題較為簡捷地得到解決.

三、解答題（本大題共6道題，其中17題10分，其余每題12分，共計70分，請將準確

的答案寫在答題卡相應的區域內.）

12.如圖，勘探隊員朝一座山行進，在前后兩處觀察山頂的仰角是30度和45度，兩個觀

察點之間的距離是200m,則此山的高度為（用根式表示）.

參考答案：

100（V3+1）

【考點】解三角形的實際應用.

【分析】設CD=X,利用三角形中的邊角關系，建立方程AB=AD-BD,解方程即可得到結

論.

【解答】解：設山高CD為x,

在RtABCD中有：BD=CD=x,

在RtAACD中有：AC=2x,AD-'/3x.

而AB=AD-BD=（V3-1）x=200.

200

解得：x=V3-1=ioo（V3+1）米.

故答案為：100（V3+1）.

13.一個工廠有若干車間，今采用分層抽樣方法從全廠某天生產的1024件產品中

抽取一個容量為64的樣本進行質量檢查.若某車間這一天生產128件產品，則從

該車間抽取的產品件數為.

參考答案:

8

14.已知方程7--U+13）x+JW*-jff-2=0（JW為實數）有兩個實數根且一根在

（Q1）上，一根在（［2）上，川的取值范圍

參考答案：

(-2,-1)u(3,4)

2『x<l]

f(x)=?

10g4X,x>l,滿足f°)Y的x的值是

15.設函數

參考答案:

近

【考點】分段函數的應用；函數的值.

【專題】分類討論；分類法；函數的性質及應用.

q,\X<1,

f(x)-<f()~~

【分析】根據已知中函數logqX，X>1,分類討論滿足X-%的X的值,

進而可得答案.

-X

f(x)=9JL

【解答】解：當X<1時，解-4得：x=2(舍去)，

當x>l時，解￡但)=血4*7得：x=&,.

—

綜上，滿足f(X)一—年的X的值是亞，

故答案為：屈

【點評】本題考查的知識點是分段函數的應用，函數求值，難度中檔.

J4=(X|--<x<2),5={x|xa<1)

16.設集合2則

A\JB=________________________________

參考答案:

[-U)

17.設/(X)是定義在K上的奇函數，當xVO時，=/?若對任意的

xe[j+2],不等式恒成立，則實數：的最大值是▲.

參考答案:

_2

~3

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(本小題滿分12分)在銳角三角形,必。中，&瓦c分別是所對應

的邊，向量u=(/+1-火鳥c).v=(cos瓦sin3),且工

(I)求角3；

(II)求m.4+sm匚'的取值范圍。

參考答案：

解：(I)'：u!lv,.?/『：，？+，-6)sin8-々laccosB=U

cosB=-----------------.su=—.Be((),-),：,B=-.

又2ac

分

.._2兀

<+C=—,c---------A,

(II)由(I)知33

2x“S1d3A忑.

$m4+sinC=$mj4+$m(--4)=$mA+--cos4+-sinA——smA+—cosA

2222

6sm(4+當

=6.....8分

0"<曰且0<絲-人產

：2所以

又23

n▲兀北n2n

一<A<一.—</A+—<—

62363????""10分

<sin(A+—)S1

/.26smA1+smC\2J..........

分

略

19.如圖,某大風車的半徑為2米，每12秒旋轉一周，它的最低點0離地面0.5米.風車圓周

上一點A從最低點0開始,運動t秒后與地面的距離為h米.以0為原點,過點0的圓的切

線為x軸，建立直角坐標系.

①假設和的夾角為6,求。關于t的關系式；

②當t=4秒時,求扇形口口出的面積見平；

③求函數h=f(t)的關系式.

參考答案:

22.⑴當f=4,3=30*4=30*?4=120?

,、?120?開火24…八，

(2)S=-------=一“a4189m

360"3

(3)0("2h=2.5-2cos6

2

A=2.5+2smf^-^

2

3a

7r<e<-^h

—<e<i7ih2.5-2cos(2^-^Ih=2.5-2cos8

略

20.根據下列條件，求圓的方程：

(1)過點A(1,1),B(-1,3)且面積最小；

(2)圓心在直線2x-y-7=0上且與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2).

參考答案：

【考點】直線與圓相交的性質；圓的標準方程.

【分析】(1)過A、B兩點面積最小的圓即為以線段AB為直徑的圓，由A與B的坐標，

利用兩點間的距離公式求出⑻的長，確定出圓的半徑，即可求出面積最小圓的面積；

(2)由圓與y軸交于A與B兩點，得到圓心在直線y=-3上，與已知直線聯立求出圓心

坐標，及圓的半徑，寫出圓的標準方程即可.

【解答】解：(1)過A、B兩點且面積最小的圓就是以線段AB為直徑的圓，

圓心坐標為(0,2),半徑r=2|AB|=27(-1+1)2+(1-3)2=2x遂二次，

...所求圓的方程為Y+(y-2)z=2；

(2)由圓與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2)可知，圓心在直線y=-3上，

"2x-y-7=0(x=2

由1尸-3,解得［廠f

...圓心坐標為(2,-3),半徑「加，

...所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)J5.

21.某工廠家具車間造A、8型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已

知木工做一張A、8型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張A、8型桌子

分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小

時，而工廠造一張A、8型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應生產

A、8型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？

參考答案:

x+2y58

胡，設母無生產4型*子x張,B型*子,條.ffl3x+>S9……2分

xZO.”O

目標國R為，J*2r*3>......Y分

作出可行簸，分

eai?/t2r+3戶o向右上方平移至r的位■時,i

蛀經逅可行域上的點M'且與原點距題最大，此時

A2x+3y取最大0L一?€分

X+2v=8

,溥M的坐標為(23》.

{3x+y=9

答，妗天龍生產4型桌子2張.B型虛子3張才能驍事

侵大田斌.……12分

22.過點P(2,1)的直線1與x軸正半軸交于點A,與y軸正半軸交于點B.

(1)求u=|OA|+|OB|的最小值，并寫出取最小值時直線1的方程;

(2)求v=|PA|?|PB|的最小值，并寫出取最小值時直線1的方程.

參考答案:

考直線和圓的方程的應用.

點：

專直線與圓.

題：

分(1)設出直線方程的截距式，用含有一個字母的代數式表示出U,然后利用