專題4.3平行四邊形的判定【九大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷能否構成平行四邊形】 1【題型2添加條件構成平行四邊形】 2【題型3數圖形中平行四邊形的個數】 3【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數】 4【題型5證明四邊形是平行四邊形】 5【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】 6【題型7利用平行四邊形的判定和性質求解】 8【題型8利用平行四邊形的判定和性質證明】 9【題型9平行四邊形的應用】 11【知識點1平行四邊形的判定】(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【題型1判斷能否構成平行四邊形】【例1】（2021秋·湖南永州·九年級校考階段練習）如圖，為了體驗四邊形的不穩定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向右拉動框架，給出如下的判斷：①四邊形ABCD為平行四邊形；②對角線BD的長度不變；③四邊形ABCD的面積不變；④四邊形ABCD的周長不變，其中所有正確的結論是（

）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【變式1-1】（2022春·北京西城·八年級校考期中）下列∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．1∶2∶3∶4 B．1∶4∶2∶3 C．1∶2∶2∶1 D．3∶2∶3∶2【變式1-2】（2021春·河南新鄉·八年級新鄉市第十中學校考期中）在四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O．給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【變式1-3】（2022春·浙江舟山·八年級統考期末）如圖，已知?ABCD的一組鄰邊AB，BC，用尺規作圖作?ABCD，下列4個作圖中，作法與理論依據都正確的有幾個（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型2添加條件構成平行四邊形】【例2】（2022春·山東棗莊·八年級統考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，如果添加一個條件使四邊形BEDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）A．DE=BF B．AE=FC C．AF=CE D．∠1=∠2【變式2-1】（2022春·河南南陽·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，點D，E，F分別為邊BC，AB，AC上的點，連接FD并延長到點G，已知FG∥AB，則添加下列條件，可以使線段AG，DE互相平分的是（A．AD=EG B．DF=DG C．DE∥AC 【變式2-2】（2022春·黑龍江雙鴨山·八年級統考期末）若O是四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點，且OB＝OD，AC＝24cm，則當OA＝_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形．【變式2-3】（2022春·河南新鄉·八年級統考期末）如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F．(1)請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形DEBF為平行四邊形，你添加的條件是______．(2)添加了條件后，請證明四邊形DEBF為平行四邊形．【題型3數圖形中平行四邊形的個數】【例3】（2021春·內蒙古包頭·八年級統考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC?，???GH∥AB?，????EF與GH相交于點O，圖中共有個平行四邊形(A．4個 B．5個 C．8個 D．9個【變式3-1】（2021春·重慶·八年級期末）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規律組成，其中第①個圖形中一共有10個平行四邊形，第②個圖形中一共有14個平行四邊形，第③個圖形中一共有19個平行四邊形，……按此規律排列下去，則第⑥個圖形中平行四邊形的個數為（）A．39 B．40 C．41 D．42【變式3-2】（2021春·浙江杭州·八年級期末）如圖，點A，B，C在同一直線上，點D，E，F，G在同一直線上，且AC//DG,AD//A．4 B．5 C．3 D．6【變式3-3】（2021春·內蒙古呼倫貝爾·八年級統考期末）如圖，由25個點構成的5×5的正方形點陣中，橫、縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位．定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行四邊形．圖中以A，B為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數為（

）A．6個 B．7個 C．9個 D．11個【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數】【例4】（2020春·四川廣元·八年級統考期末）已知A，B，C三點的坐標分別是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則D點的坐標不可能是（

）A．(?1，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0，?6)【變式4-1】（2019秋·江蘇南通·八年級校考期末）以不在同一直線上的三個點為頂點作平行四邊形最多能作()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式4-2】（2022春·湖南邵陽·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系內，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三點為頂點畫平行四邊形．(1)可以畫多少個平行四邊形？(2)寫出每個平行四邊形第四個頂點D的坐標．【變式4-3】（2020春·山東濟南·八年級統考期末）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(3，2)．（1）如圖1，在y軸上是否存在－點P，使PA＋PB最小，若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）如圖2，點C坐標為(4，1)，點D由原點O沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，求點D運動幾秒時，四邊形ABCD是平行四邊形；（3）點P在x軸上，點Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點P以及對應的點Q的坐標．【題型5證明四邊形是平行四邊形】【例5】（2023秋·山東泰安·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，BC＝AC，點E，F分別是邊AB，AC的中點，連接EF并延長，交△ABC外角∠ACD的平分線于點G．求證：四邊形【變式5-1】（2022春·湖北恩施·八年級統考期末）如圖，BE是△ABC的中線，延長BE到D，使ED＝BE，連接AD，CD，補全圖形．判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論．【變式5-2】（2022春·寧夏中衛·八年級校考期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B，C重合)，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點F，G，連接BE．(1)求證：△AEB≌△ADC．(2)當點D在線段BC上時．探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并寫出證明過程．【變式5-3】（2022春·江西九江·八年級統考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC邊上的點，且DE=CF，連接BE和AF的交點為M，CE和DF的交點為N，連接(1)求證：四邊形ABFE為平行四邊形；(2)若AD=6cm，求MN【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】【例6】（2022春·福建廈門·八年級統考期中）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1．(1)請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上．要求：①所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；②畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡．(2)請證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）．【變式6-1】（2021·全國·九年級專題練習）如圖，有兩塊全等的含30°角的直角三角板，將它們拼成形狀不同的平行四邊形，則最多可以拼成（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【變式6-2】（2021·河南周口·三模）把三角形形狀的紙片放在方框紙上，使其每一個頂點都在格點上，如圖1所示（方格邊長均為∠）．對這個三角形進剪切、拼接后，可以得到一個平行四邊形，如圖2中陰影部分所示．剪切、拼接的方案如下：如圖2，取BC的中點M，連接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四邊形AEBM．我們約定：剪切、拼接時，紙片的每一部分都要被用到，而且不得用所給紙片以外的紙片．(1)請你采用不同于圖2的剪切、拼接方案，也得到一個平行四邊形，在圖3中用陰影表示出你得到的平行四邊形，并補充已知和求證，寫出證明過程．(2)對這個三角形進行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．試在圖4中，用陰影表示出你得到的梯形（不必說明剪切、拼接方案，但必須保留作圖痕跡）．【變式6-3】（2020秋·河北石家莊·九年級校考期中）如圖所示，ΔABC的頂點在8×8的網格中的格點上．(1)畫出ΔABC繞點A逆時針旋轉90°得到的ΔA(2)在圖中確定格點D，并畫出一個以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形．【題型7利用平行四邊形的判定和性質求解】【例7】（2022秋·山東淄博·八年級校考期末）如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【變式7-1】（2021秋·湖北十堰·八年級統考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，AC為腰向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接DE，CA的延長線交DE于點F，則與線段AF相等的是（

A．12BC B．12AB C．12AC D．【變式7-2】（2022春·廣東深圳·八年級校考期末）如圖，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為__．【變式7-3】（2022秋·江蘇·八年級期末）【情境】某校數學興趣小組嘗試自制數學學具進行自主合作探究．圖①是一塊邊長為12cm的等邊三角形學具，P是邊AC上一個動點，由點A向點C運動，速度為1cm/s，Q是邊CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由點B向CB延長線方向運動，連接PQ，交AB于點D，設點P運動的時間為t((1)【問題】填空：CP+CQ=cm；(2)當∠DQB=30°時，求t的值；(3)【探究】如圖②，過點P作PE⊥AB，垂足為E，在點P，點Q運動過程中，線段DE的長度是否發生變化？若不變，請求出DE的長度；若變化，請說明理由．【題型8利用平行四邊形的判定和性質證明】【例8】（2022春·吉林長春·八年級統考期末）如圖，以?ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【變式8-1】（2022春·四川成都·八年級校考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=2AB，點E為線段OC的中點．(1)求證：∠ABO=2∠ODE；(2)若F，G分別是OB，AD的中點．①判斷△EFG的形狀并證明你的結論；②當EF⊥EG，且AB=25時，求平行四邊形ABCD【變式8-2】（2022春·四川成都·八年級統考期末）已知，在△ABC中，點M是BC的中點，點D是線段AM上一點（不與點A重合）．過點D作AB的平行線，過點C作AM的平行線，兩線交于點E，連結AE．(1)如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度數．【變式8-3】（2022春·江西吉安·八年級統考期末）如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，將△ABC繞頂點A逆時針旋轉得到△ADE．設旋轉角度為α度0°≤α<120°，AD交BC于點F，DE分別交BC、AC于點G、H．試探究以下問題：(1)當α=_______時，△ABF為直角三角形；(2)當△ADH且為等腰三角形時，求BF的值；(3)連接BD，是否存在角α，使得四邊形ABDH為平行四邊形?如果存在，直接寫出α的大小：如果不存在，請說明理由．【題型9平行四邊形的應用】【例9】（2022春·八年級課時練習）如圖，一塊草地的中間有一條彎路，AC∥BD，CE∥DF．請給出一種方案，把道路改直，且草地的種植面積保持不變．【變式9-1】（2022·全國·九年級專題練習）村莊A和村莊B位于一條小河的兩側，若河岸彼此平行，要架設一座與河岸垂直的橋，橋址應如何選擇，才使A與B之間的距離最短？【變式9-2】（2021春·八年級課時練習）如圖，田村有一口四邊形的池塘，在它的四角A、B、C、D處均有