2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔全國卷Ⅱ〕數(shù)學(xué)本試卷分第一卷(選擇題)和第二卷〔非選擇題〕兩局部第一卷1至2頁，第二卷3至4頁。考試結(jié)束后，將本試卷降答題卡一同交回，總分值150分，考試用時(shí)120分鐘考前須知：答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號答題卡上填寫清楚，并認(rèn)真找準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號，姓名、考、誰座位號填寫在規(guī)定的位置貼好條形碼。每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，答在試卷的答案無效。第一卷〔選擇題共50分〕選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分。在，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，參考公式：如果事件A、B互斥，那么球的外表積公式P〔A+B〕=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P〔A-B〕=P(A)-P(B)選擇題〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】C：此題考查了集合的根本運(yùn)算.屬于根底知識、根本運(yùn)算的考查.∵A={1,3}。B={3,5}，∴，∴應(yīng)選C.〔2〕不等式＜0的解集為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】A：此題考查了不等式的解法∵，∴，應(yīng)選A〔3〕，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】B：此題考查了二倍角公式及誘導(dǎo)公式，∵sina=2/3，∴〔4〕函數(shù)y=1+ln(x-1)(x>1)的反函數(shù)是〔A〕y=-1(x>0)(B)y=+1(x>0)(C)y=-1(xR)(D〕y=+1(xR)【解析】D：此題考查了函數(shù)的反函數(shù)及指數(shù)對數(shù)的互化，∵函數(shù)y=1+ln〔x-1〕(x>1)，∴(5)假設(shè)變量x,y滿足約束條件那么z=2x+y的最大值為〔A〕1(B)2(C)3(D)4【解析】C：此題考查了線性規(guī)劃的知識?！咦鞒隹尚杏颍鞒瞿繕?biāo)函數(shù)線，可得直線與與的交點(diǎn)為最優(yōu)解點(diǎn)，∴即為〔1，1〕，當(dāng)時(shí)(6)如果等差數(shù)列中，++=12，那么++???…+=〔A〕14(B)21(C)28(D)35【解析】C：此題考查了數(shù)列的根底知識?！撸唷?〕假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程是，那么〔A〕(B)(C)(D)【解析】A：此題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意思即求曲線上一點(diǎn)處的切線方程∵，∴，在切線，∴〔8〕三棱錐中，底面為邊長等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為〔A〕(B)(C)(D)【解析】D：此題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角。ABCSEF過A作AE垂直于BC交BC于E，連結(jié)SE，過A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，∵正三角形ABC，∴E為BC中點(diǎn)，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長3，∴ABCSEF〔9〕將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，假設(shè)每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有〔A〕12種(B)18種(C)36種(D)54種【解析】B：此題考查了排列組合的知識∵先從3個(gè)信封中選一個(gè)放1，2有3種不同的選法，再從剩下的4個(gè)數(shù)中選兩個(gè)放一個(gè)信封有，余下放入最后一個(gè)信封，∴共有〔10〕△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB，假設(shè)=a,=b,=1，=2,那么=〔A〕a+b〔B〕a+b〔C〕a+b〔D〕a+b【解析】B：此題考查了平面向量的根底知識∵CD為角平分線，∴，∵，∴，∴〔11〕與正方體ABCD—A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)〔A〕有且只有1個(gè)〔B〕有且只有2個(gè)〔C〕有且只有3個(gè)〔D〕有無數(shù)個(gè)【解析】D：此題考查了空間想象能力∵到三條兩垂直的直線距離相等的點(diǎn)在以三條直線為軸，以正方體邊長為半徑的圓柱面上，∴三個(gè)圓柱面有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，〔12〕橢圓C：〔a>b>0〕的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為k〔k>0〕的直線于C相交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)。那么k=〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2【解析】B：，∵，∴，∵，設(shè)，，∴，直線AB方程為。代入消去，∴，∴，，解得，〔13〕α是第二象限的角,tanα=1/2，那么cosα=__________【解析】：此題考查了同角三角函數(shù)的根底知識∵，∴(14)(x+1/x)9的展開式中，x3的系數(shù)是_________【解析】84：此題考查了二項(xiàng)展開式定理的根底知識∵，∴，∴(15)拋物線C：y2=2px〔p>0〕的準(zhǔn)線l，過M〔1,0〕且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，假設(shè)，那么p=_________【解析】2：此題考查了拋物線的幾何性質(zhì)設(shè)直線AB：，代入得，又∵，∴，解得，解得〔舍去〕〔16〕球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，，假設(shè)，那么兩圓圓心的距離?！窘馕觥?：此題考查球、直線與圓的根底知識OOMNEAB∵ON=3，球半徑為4，∴小圓N的半徑為，∵小圓N中弦長AB=4，作NE垂直于AB，∴NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE=，ON=3，∴，∴，∴MN=3三、解答題；本大題共6小題，共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟?！?7〕〔本小題總分值10分〕中，為邊上的一點(diǎn)，，，，求?！窘馕觥看祟}考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系、正弦定理與余弦定理的根底知識。由與的差求出，根據(jù)同角關(guān)系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。〔18〕〔本小題總分值12分〕是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，〔Ⅰ〕求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。【解析】此題考查了數(shù)列通項(xiàng)、前項(xiàng)和及方程與方程組的根底知識?！?〕設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于與的方程求得與，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?〕由〔1〕中求得數(shù)列通項(xiàng)公式，可求出bn的通項(xiàng)公式，由其通項(xiàng)公式化可知其和可分成兩個(gè)等比數(shù)列分別求和即可求得?！?9〕〔本小題總分值12分〕如圖，直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC，AA=AB，D為BB的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn)，AE=3EB〔Ⅰ〕證明：DE為異面直線AB與CD的公垂線；〔Ⅱ〕設(shè)異面直線AB與CD的夾角為45°,求二面角A-AC-B的大小【解析】此題考查了立體幾何中直線與平面、平面與平面及異面直線所成角與二面角的根底知識?！?〕要證明DE為AB1與CD的公垂線，即證明DE與它們都垂直，由AE=3EB1，有DE與BA1平行，由A1ABB1為正方形，可證得，證明CD與DE垂直，取AB中點(diǎn)F。連結(jié)DF、FC，證明DE與平面CFD垂直即可證明DE與CD垂直?！?〕由條件將異面直線AB1，CD所成角找出即為FDC，設(shè)出AB連長，求出所有能求出的邊長，再作出二面角的平面角，根據(jù)所求的邊長可通過解三角形求得?！?0〕〔本小題總分值12分〕如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T，T，T，T，電源能通過T，T，T的概率都是P，電源能通過T的概率是0.9，電源能否通過各元件相互獨(dú)立。T，T，T中至少有一個(gè)能通過電流的概率為0.999?！并瘛城驪；〔Ⅱ〕求電流能在M與N之間通過的概率?！窘馕觥看祟}考查了概率中的互斥事件、對立事件及獨(dú)立事件的概率，〔1〕設(shè)出根本領(lǐng)件，將要求事件用根本領(lǐng)件的來表示，將T1，T2，T3至少有一個(gè)能通過電流用根本領(lǐng)件表示并求出概率即可求得p?！?〕將MN之間能通過電流用根本領(lǐng)件表示出來，由互斥事件與獨(dú)立事件的概率求得。〔21〕〔本小題總分值12分〕函數(shù)f〔x〕=x-3ax+3x+1?！并瘛吃O(shè)a=2，求f〔x〕的單調(diào)期間；〔Ⅱ〕設(shè)f〔x〕在區(qū)間〔2,3〕中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍?！窘馕觥看祟}考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，主要考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)與方程的知識。〔1〕求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可求得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可求得減區(qū)間?！?〕求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在〔2，3〕內(nèi)有極值，即為在〔2，3〕內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，即可根據(jù)，即可求出a的取值范圍?！?2〕〔本小題總分值12分〕斜率為1的直線1與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M〔1.3〕〔Ⅰ〕〔Ⅰ〕求C的離心率；〔Ⅱ〕〔Ⅱ〕設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|·|BF|=17證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸