天津市和平區2022-2023下學期中考一模數學試卷

溫馨提示：本試卷分為第口卷（選擇題）、第□卷（非選擇題）兩部分.第□卷為第1頁至第

3頁，第□卷為第4頁至第8頁.試卷滿分120分.考試時間100分鐘.祝你考試順利！

第□卷

注意事項：

1.每題選出答案后，用2B鉛筆把“答題卡”上對應題目的答案標號的信息點涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號的信息點.

2.本卷共12題，共36分.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

Ltan30°的值等于（）

A.?B.立C.—D.√3

232

2.下列圖形是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（）

3.如圖所示的幾何體是由四個小正方體組合而成的，它的主視圖是（）

,正面

A.D.

4.如圖所示的幾何體，它的俯視圖是（）

正面

A.B.C.D.

5.如圖，為測樓房5C的高，在距樓房50米的A處，測得樓頂的仰角為則樓房5C的高為（）

∣C

A50tanα米B.米C.50sinα米D.米

tanaSina

6.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A,B,C,。四個點均在格點上，AC與相交于點

則,ABE與λCDE的周長比為（）

B.4：1C.1：2D.2：1

7.已知甲、乙兩地相距S（單位：km）,汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時間/（單位：h）關

于行駛速度V（單位：km/h）的函數圖象是（）

8.南宋著名數學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊

各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各

是多少步？”設矩形田地的長為X步，根據題意可以列方程為（）

AX2-60x-864=0B.X(X+60)=864C.X2-60Λ+864=0D.X(X+30)=864

9.正比例函數P=X的圖象與反比例函數y=±的圖象有一個交點的縱坐標是2,當一3<x<—1時，反比

X

k

例函數>=一的取值范圍是（）

X

21

A——<y<——B.-4<y<--

3-33

124,

C.-<y<—D.-<y<4

3-33-

10.如圖，已知，ABC中，NC43=20°,ZABC=30°,將.ABC繞點A逆時針旋轉50。得到

AAB'C,以下結論中錯誤的是（）

A.CB'YBB'B.BC=B'CC.ACCB'D.ZABB'=ZACC

11.如圖，一個大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為2的小正六邊形ABCDEE的中心。重合，且

與邊AB，C。相交于點G,H.圖中陰影部分的面積記為S,三條線段GB,BC,CH的長度之和記

為/,在大正六邊形繞點O旋轉過程中，S和/的值分別是（）

D.S和/的值不能確定

是（）

A.1B.2C.3D.4

第□卷

注意事項：

1.用黑色字跡的簽字筆將答案寫在“答題卡”上（作圖可用2B鉛筆）.

2.本卷共13題，共84分.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.如圖是一副普通撲克牌中的13張黑桃牌，將它們洗勻后正面向下放在桌子上，從中任意抽取一張，則

抽出的牌點數小于9的概率為□

14.在一個不透明口袋有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3,4.隨機摸出一個球后不放

回，再隨機摸出一個，則兩次摸出的小球標號之和為5的概率為.

15.如圖，UAOB的頂點。（0,0）,頂點A在第一象限，頂點B在y軸正半軸上，點C為。4上的一點，

AC:OC=1:2,過C作CDS交AB于點。，CD=2,則B點的坐標為.

16.已知直線y=E+6（k,人為常數，ZHO）與直線y=2x平行，且與直線y=3x+4交于y軸的同

一點，則此一次函數的表達式為.

17.如圖，圓內接四邊形ABC。，ZABC=ωo,對角線BD平分/ADC,過點B作BE〃CD交DA

的延長線于點E，若AD=2，OC=3,則BDE的面積為.

18.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，。上的點A,圓心。均在格點上,

（1）OA=；

（2）若點C是（O上的一個動點，連接AC,將AC繞點C逆時針旋轉90°得到CB,連0B,當線段

。8最長時，點C的對應點為點C',點8的對應點為點玄，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，

畫出點C',B'，并簡要說明點C',8'的位置是如何找到的（不要求證明）.

三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

19.解方程：

（1）解方程：（x—3）2=2x（3—x）；

（2）關于X的一元二次方程/一4了一2加+5=0有兩個實數根％，巧，并且玉HX2?

①求實數〃?的取值范圍；

②滿足XIX2+%+W=加2+6,求〃？的值.

20.二次函數y=0√+"+c（。，。，C為常數，fl≠0）的頂點坐標為4）,與X軸交于點A（3,θ）

和8,與y軸交于點c.

（1）求二次函數解析式和點C的坐標；

（2）一元二次方程OX2+bχ+c=o的根為；

（3）當0≤x≤3時，＞的取值范圍是.

21.已知AB為（O的直徑，C為。。上一點，AO和過點C的切線互相垂直，垂足為。,AZ）交。。于

（1）如圖①，求證：AC平分NDW；

（2）如圖②，過8作B/〃A。交0。于點尸，連接C/，若4。=46，QC=4,求Cb和。。半

徑的長.

22.為了測量一條兩岸平行的河流寬度，三個數學研究小組設計了不同的方案，他們在河南岸的點A處測

得河北岸的樹”恰好在A的正北方向.測量方案與數據如下表:

課題測量河流寬度

測量工具測量角度的儀器，皮尺等

測量小組第一小組第二小組第三小組

H

H_________________________旦

測量方案

示意圖三

ABC

C

點B,C在點/的正東點、B,。在點Z的正東點8在點工的正東方向，點C在點/

說明

方向方向的正西方向

BC=54.8m,BD=20m,BC=84.8m,

測量數據ZABH=74。,NABH=74。,ZABH=74。,

ZACH=37°.NBCD=37。.ZACH=3T.

（1）第小組的數據無法計算出河寬；

（2）請選擇其中一個方案及其數據求出河寬（結果保留小數點后一位）.參考數據：sin74o≈0.96,

cos74o≈0.28,tan74o≈3.49,sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan37o≈0.75

23.共享電動車是一種新理念下的交通工具：主要面向3IOkm的出行市場，現有A,8兩種品牌的共

享電動車，給出的圖象反映了收費y元與騎行時間Xmin之間的對應關系，其中A品牌收費方式對應％,

B品牌的收費方式對應內?

騎行時間∕min102025

A品牌收費/元8

8品牌收費/元8

(2)填空：

①8品牌10分鐘后，每分鐘收元

②如果小明每天早上需要騎行A品牌或B品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均

行駛速度均為3(X)m∕min,小明家到工廠的距離為9km,那么小明選擇品牌共享電動車更省

錢；

③直接寫出兩種品牌共享電動車收費相差3元時X的值是.

(3)直接寫出,，為關于X的函數解析式.

24.在一次數學興趣小組活動中，小明將兩個形狀相同，大小不同的三角板AQB和三角板Z)EB放置在平

面直角坐標系中，點。(0,0),A(0,3),NABO=30°,BE=3.

(1)如圖①，求點。的坐標;

(2)如圖②，小明同學將三角板OEB繞點3按順時針方向旋轉一周.

①若點。，E，。在同一條直線上，求點。到X軸的距離；

②連接。0,取。。的中點G,在旋轉過程中，點G到直線AB的距離的最大值_____________(直接寫

出結果即可).

25.已知：y=gf2+bx+c經過點A(-2,-1),β(0,-3).

(1)求函數解析式；

(2)平移拋物線使得新頂點P(m,n)(w>0).

□倘若S",PB=3,且在X=A的右側，兩拋物線都上升，求上的取值范圍；

□尸在原拋物線上，新拋物線與>軸交于Q,NBPQ=I2()時，求P點坐標.

天津市和平區2022-2023下學期中考一模數學試卷

溫馨提示：本試卷分為第口卷（選擇題）、第□卷（非選擇題）兩部分.第□卷為第1頁至第

3頁，第□卷為第4頁至第8頁.試卷滿分120分.考試時間100分鐘.祝你考試順利！

第□卷

注意事項：

1.每題選出答案后，用2B鉛筆把“答題卡”上對應題目的答案標號的信息點涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號的信息點.

2.本卷共12題，共36分.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

Ltan30°的值等于（）

A.?B.立C.—D.√3

232

【答案】B

【解析】

【分析】直接寫出tan30°的值即可

【詳解】解：tan30°=3,

3

故選：B

【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵.

2.下列圖形是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形概念和中心對稱圖形的概念即可得到正確選項.

【詳解】解：A、項是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故A項符合題意;

B、項不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故B項不符合題意；

C、項不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故。項不符合題意：

D、項不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故D項不符合題意；

故選A.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，理解軸對稱圖形概念和中心對稱圖形的概念是解

題的關鍵.

3.如圖所示的幾何體是由四個小正方體組合而成的，它的主視圖是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案.

【詳解】該幾何體的主視圖為兩列，第1列有1個小正方形，第2列有2個小正方形,

故選：B.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，熟練掌握知識點是解題的關

鍵.

4.如圖所示的幾何體，它的俯視圖是（）

【答案】C

【解析】

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在俯視圖中.

【詳解】解：從上面看，可得選項C的圖形.

故選：C.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

5.如圖，為測樓房BC的高,在距樓房50米的A處，測得樓頂的仰角為明則樓房BC的高為（）

C

也米50“

A.5()tan4米B.C.50Sina米D.------米

tanaSina

【答案】A

【解析】

【分析】根據三角形三角函數的計算可以求得BcAC的關系，根據Ae即可求得BC的長度，即可解題.

【詳解】解：在直角aABC中，sina=OG□cosa=4^?

ABAB

□—=tana□

AC

□BC=AC?tanα=50tanɑ□

故選A.

【點睛】本題考查了三角函數的定義，考查了三角函數在直角三角形中的運用，本題中計算BC口AC的關

系是解題的關鍵.

6.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A,B,C,。四個點均在格點上，AC與8。相交于點

則/ABE與&CDE的周長比為（）

B.4：1C.1：2D.2：1

【答案】D

【解析】

【分析】運用網格圖中隱藏的條件證明四邊形。C8Λ∕為平行四邊形，接著證明，A6ES:C0E,最后利

相似三角形周長的比等于相似比即可求出.

【詳解】如圖：由題意可知，DM=3,BC=7>,

：.DM=BC，

而DM〃BC,

四邊形DC8例為平行四邊形，

/.AB//DC,

：.ZBAE=ZDCE,ZABE=NCDE,

，，ABESCDE,

c22

?^AKE:AB√2+4,2√5=2

2-

"C&CDE~^CD~√j=+2-??'

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及勾股定理，熟練掌握相關知識

并正確計算是解題關鍵.

7.已知甲、乙兩地相距S（單位：km）,汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間/（單位：h）關

于行駛速度V（單位：km/h）的函數圖象是（）

【解析】

【分析】根據實際意義，寫出函數的解析式，根據函數的類型，以及自變量的取值范圍即可進行判斷.

【詳解】解：根據題意有：v?f=s,

“=上，

V

故，與V之間的函數圖象為反比例函數圖象,

且根據實際意義v>o、r>0,

.?.其圖像在第一象限，故C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了反比例函數的應用，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后

利用實際意義確定其所在的象限.

8.南宋著名數學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊

各幾何？”意思是''一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各

是多少步？”設矩形田地的長為X步，根據題意可以列方程為（）

A.X2-60x-864=0B.X（X+60）=864C.χ2-60Λ+864=0D.X（X+30）=864

【答案】C

【解析】

【分析】設長為X步，則寬為（60-x）步，根據矩形田地的面積為864平方步，即可得出關于X的一元二

次方程，此題得解.

【詳解】設長為X步，則寬為（60-x）步，

依題意得：X（60-x）=864,

整理得Y-60X+864=0:.

故選：C.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關

鍵.

k

9.正比例函數V=X的圖象與反比例函數y=—的圖象有一個交點的縱坐標是2,當一3<xv—1時，反比

X

例函數y=七的取值范圍是（）

X

214

A---<y<—B.—4ZI<y<—

333

124

C.—<y<—D.—<y<4

333

【答案】B

【解析】

【分析】把y=2代入y=χ,求出交點的坐標，將此坐標代入反比例函數y=與，即可求出發的值，進而

X

求出x=-3,x=-l時〉的取值，再根據反比例函數的增減性求出y的取值范圍.

【詳解】解：把y=2代入y=χ,WX=2

k

將X=2,y=2,代入>=—中，得：々=2x2=4.

X

4

.?.所求反比例函數的解析式為y=一.

X

4

當X=-3時，y=—；當x=—l時，y=-4.

3

?.?攵=4>0,

.?.反比例函數在每個象限內y隨X的增大而減少.

k4

.?.當一3<x<-l時，反比例函數>=一取值范圍是—4<y<-?

X3ττ

故選:B.

【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點及正比例函數與反比例函數的性質，關鍵是掌握用待定

系數法求解函數的解析式.

10.如圖，已知中，ZCAB=20o,ZABC=30°,將,.ABC繞點Z逆時針旋轉50。得到

?AB'C',以下結論中錯誤的是（）

A.CB'±BB'B.BC=B'CC.ACCB'D.ZABB'=ZACC

【答案】A

【解析】

［分析］根據旋轉的性質可得，BC=B'C',ZCAB'?ZCAB=20o,ZAB'C'=ZABC=30°,再根據旋

轉角的度數為50°,通過推理證明對四個結論進行判斷即可.

【詳解】解：匚MBe繞/點逆時針旋轉50°得到A4B'C',

□NB4B'=50°,BC=B'C',WC=NABC=30。，故B結論正確，不符合題意；

□ZG4B=20o,

□ZB'AC=NBABr-ZCAB=30°.

QZAB,C'=ZB'AC.

□ACCB'.故C結論正確，不符合題意;

在，β45'中，AB=AB',ZBAB'=50°,

□ZAB'B=ZABB'=；(180°-50°)=65°.

□ZBB'C'=ZΛB'B+ZAB'C=65°+30°=95°.

□CB'與88'不垂直.故A結論錯誤，符合題意;

在AACC中，AC=AC',NCAC=50°,

□ZACC,=1(180°-50°)=65°.

□NABB'=NACC'.故D結論正確，不符合題意.

故選：A.

【點睛】此題考查了旋轉性質的應用，圖形的旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，還考查

了等腰三角形的性質、平行線的判定等知識.熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

11.如圖，一個大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為2的小正六邊形ABCD所的中心。重合，且

與邊A6，C。相交于點G,H.圖中陰影部分的面積記為S,三條線段GB,BC,C”的長度之和記

為/,在大正六邊形繞點。旋轉過程中，S和/的值分別是（）

A.2√3,4B.√3.6C.4.√3D.S和/的值不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】連接Q4、oaOB、OD,作OR垂足為R,證明C空;AoG,再利用平行四邊形

的面積公式和正六邊形的性質即可得到陰影部分的面積S和/的長度.

【詳解】解：連接。4、OC.OB.OD,作ORLAB,垂足為R,

,/多邊形ABCDEF是正六邊形，

.?.ZCOD=ZAOB=60°,

?：OA=OC,

.?.,OAB和ACOD是等邊三角形，

,.?NeBA=I20。，

ΛOA//BC,OA=BC,

.?.四邊形OABC是平行四邊形，

.?.ZAOC=UOo,

「NHOG=120。，

.?./HOC=ZAOG,

在C和一AoG中，

ZHOC=ZAOG

<OC=OA,

ZOCD=NOAB=60°

.?^HOC^^GOA(ASA),

.?.AG=CH,

?,?S陰=S四邊形OABC=°R*AB,

,/OA=OB=AB=BC=2,

；?OR=QA?sin600=2χ3=√L

2

=

,??S四邊形OAeC=OR-AB=2>/3,

'：I=GB+BC+CH,AB=GB+GA,

/.AB=GB+CH,

：.l=AB+BC,

'：AB=BC,

.?.∕=2BC=4,

故答案為：A.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，掌握全等三角形判定與性

質是解題的關鍵.

12.二次函數y=0χ2+0χ+c（a,b,C是常數，α≠0）的自變量X與函數值y的部分對應值如下表:

當t≤x≤l時，V有最大值為機，最小值為攵，此時，的取值范圍是一3≤r≤-l.其中，正確結論的個數

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用表格所給信息得出對稱軸X=-I,由—3<χ<-l<O<w<曰<1，n<m,可判斷對稱軸

X=-I右側，y隨X增大而增大，進而可知α>0,m>0,c<0,進而可判斷①②③；由對稱軸X=-I可

知最小值為％，即x=—l時，當f≤x≤l時，最大值在x=f或X=I時產生，根據當尤=—3時，y=rn,

當x=l時，y=m,即可判斷，的取值范圍，進而可對④進行判斷.

【詳解】解：???當x=-3時，y=m,當X=I時，丁=加，

-3l

...函數丁=辦2+法+。的對稱軸為：x~~~^+—=-1，

即：————I,亦即A=2a>0,

2a

?.?-1<0<X2<X3<1,且當X=X3時，y="，當X=I時，y=m=a+b+c,

又?；”<加，

.?.函數y=0√+bχ+c在對稱軸X=-I右側，y隨X增大而增大，

.,.ɑ>0>則〃?>0,

a+b+c=3a+c>O,故②正確；

則U-S+，+C）=3=_3,故③正確；

aaa

當X=O時，y=c,則c<o,

：.abc<O,故①正確；

又：函數y=Gf2+∕λr+c的最小值為當x=-l時，y=k,

當r≤x≤l時，V有最小值為左，即X能取-1,

?*?t≤—1,

又?.?當x=—3時，y=m,當X=I時，y=

由在對稱軸x=-ι左側，y隨X增大而減小，知：當x<—3時，y>m

，當r≤x≤ι時，y最大值為加，

Λ-3≤∕≤-l；故④正確；

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數圖象上點的特征，能夠從表格中獲取信息確

定出對稱軸是解題的關鍵.

第□卷

注意事項：

1.用黑色字跡的簽字筆將答案寫在“答題卡”上（作圖可用2B鉛筆）.

2.本卷共13題，共84分.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.如圖是一副普通撲克牌中的13張黑桃牌，將它們洗勻后正面向下放在桌子上，從中任意抽取一張，則

抽出的牌點數小于9的概率為□

Q

【答案■

【解析】

【詳解】分析：

由題意可知：在13張撲克牌中口點數小于9的共有8張，由此即可求出所求概率了.

詳解口

□在13張撲克牌中口點數小于9的共有8張，

口從中任抽一張口抽出的撲克牌的點數小于9的概率為：

n_8

P（點效小于9>=—?

O

故答案為I-

13

點睛□知道“13張黑桃牌里點數小于9的有8張”是解答本題的關鍵.

14.在一個不透明口袋有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2,3,4.隨機摸出一個球后不放

回，再隨機摸出一個，則兩次摸出的小球標號之和為5的概率為

【答案】-

【解析】

［分析］先利用樹狀圖列出兩次取出的小球標號和的所有可能情況數，再找出兩次取出的小球標號的和等

于5的情況數，最后求出概率即可.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

開始

由樹狀圖可知：共有12種等可能的結果，兩次摸出的小球標號之和等于5的有4種情況，

41

.?.兩次摸出的小球標號之和等于5的概率是：—

123

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查求隨機事件概率的方法，利用樹狀圖列出兩次取出的小球標號和的所有可能情況是

解答本題的關鍵.

15.如圖，_AoB的頂點0(0,0),頂點A在第一象限，頂點8在y軸正半軸上，點C為。4上的一點，

AC?.OC=??.2,過。作CB交AB于點。，CD=I,則B點的坐標為.

【答案】(0,6)

【解析】

【分析】由CD〃。B可證明，ADCABO,根據相似三角形的性質列出比例式求出OB的長即可得出結

論.

【詳解】解：?.?CD"QB,

,

..i.ADCABO,

.DCAC

??一，

BOAO

?.?AC:(9C=I:2,

???AJ=1—，

AO3

又CD=2,

21

/.---=—

BO3

BO-6，

：.3(0,6),

故答案為：(°,6)

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，求出8。=6是解答本題的關鍵

16.已知直線y=丘+6(k,b為常數,Z≠())與直線y=2x平行，且與直線y=3x+4交于y軸的同

一點，則此一次函數的表達式為.

【答案】y=2x+4

【解析】

【分析】根據直線y=履+人與直線y=2x平行得到女的值；再根據與直線y=3x+4交于y軸的同一點得

到b的值，進而得出函數的表達式.

【詳解】解：???直線y=履+b(Z,b為常數，A≠0)與直線y=2x平行，

：.k=2,

???直線＞=3x+4與y軸的交點坐標為(04),且直線y=6+6與直線y=3x+4交于y軸的同一點，

.?.直線y=爪+6(k,人為常數，ZHO)與V軸的交點坐標為(0,4),

Z?=4,

直線V=履+6的解析式為：y=2x+4,

故答案為：y=2x+4.

【點睛】本題考查了平面直角坐標系內兩條平行直線的函數解析式的性質，平面直角坐標系內直線與V軸

的交點問題，熟知兩直線平行則左相等是解題的關鍵.

17.如圖，圓內接四邊形ABCr),ZABC=GDo,對角線Bo平分/ADC，過點8作5E〃C。交D4

的延長線于點E,若AD=2，DC=3,則89E的面積為.

E

A

D

【答案】竽

【解析】

【分析】首先證明NABC=NBaL=NB4C=60°,再過點N作AW_L8,垂足為點M,過點5作

BN上AC,垂足為點N.根據S四邊形Ag=S.C+Sg),分別求出一ABC，ACO的面積，即可求得

四邊形ABCO的面積，然后通過證得工￡483二Z)CB,即可求得Z組的面積=四邊形A88的面積.

【詳解】?；四邊形ABeD內接于圓，

ZABC+ZADC=180°,

,：ZABC=60°,

：.ZADC=I20。，

,/平分∕AΓ>C,

/.ZADB=ZCDB=60°,

：.ZACB=ZADB=60o,ZBAC=ZCDB=60°,

：.ZABC=ZBCA=ZBAC=60°,

.?..ABC是等邊三角形，

過點Z作AM_L8,垂足為點過點B作BNA.AC,垂足為點M

ZAMD=90°,

■：ZADC=UQo,

：.ZADM=GOo,

：.ZDAM=30°,

.?.DM=-AD=l,AM=^AD--DM2=√22-l2=區

2

'：8=3,

/.CM=CD+DM=1+3=4,

FOgo?AM=gx3xG=半

RtZVlMC中，ZAM￡)=90°,

.?.AC=yjAM2+CM2=√3+16=√19,

???一ABC是等邊三角形，

.?.AB=BC^AC=√19,

22

?c_1/777√57-19√3

??SΛABC=5XS9x^-=4，

.?.四邊形ABC。的面積=上叵+述=至叵,

424

?.?BE//CD,

：.ZE+ZADC=ISOo,

,.?ZAr)C=I20。，

.?.NE=60°,

.?.NE=NBDC,

???四邊形ABCD內接于O,

：.ZEAB=ZBCD,

在《￡45和ADCB中，

ZE=ZBDC

<NEAB=NDCB,

AB=BC

「EAB2一DCB,

△%>￡：的面積=四邊形ABCO的面積=至8

4

故答案為：生8

4

【點睛】本題考查圓內接四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積等知識，解

題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

18.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，。。上的點A,圓心O均在格點上,

（1）OA=；

（2）若點C是O上的一個動點，連接AC,將AC繞點C逆時針旋轉90°得到CB,連。8,當線段

OB最長時，點C的對應點為點C',點5的對應點為點玄，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，

畫出點C',B'，并簡要說明點C',B’的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】□.√5□.作直徑AQ的垂直平分線交半圓于E,連接EAEQ,則"在以E為圓心,

E4為半徑的圓上運動，直徑AQ的垂直平分線交E于B',過E作AB'的垂線交：。于C',當E,O,

?三點共線時，OA最長，則點夕即為所求.

【解析】

【分析】（1）先根據垂徑定理確定圓心，連接。4，由勾股定理可求出。4的長；

（2）作直徑A。垂直平分線交半圓于￡,連接E4,EQ,則8'在以E為圓心，￡8'為半徑的圓上運動,

當E,O,?三點共線時，08’最長

【詳解】解：（1）如圖,

OA=OC=-Ji2+2r=√5>

故答案為：?∣5;

（2）如圖，點C',B',即為所畫,

作直徑AQ的垂直平分線交半圓于E,連接胡,EQ,則勿在以E為圓心，E4為半徑的圓上運動，直徑

AQ的垂直平分線交JE于9，過E作AB'的垂線交Oo于C',當E,0,9三點共線時，08’最長,

則點"即為所求.

理由如下：

由作圖可得：EA=EQ,ZAEQ=90o,ZAEO=45°,

.?.ZAB'O=NCBO=22.5°,

：.ZEAB'=45°-22.5o=22.5o=ZAB'O,

：.EA=EB1=EQ,

???B'在以E為圓心，仍'為半徑的圓上運動，CE是AB'的垂直平分線，

.?.NBCE=ZACE=ZAQE=45o,CB'=CA,

ZACB'=90°,

當E,0,6'三點共線時，OB'最長，則點三即為所求.

故答案為：作直徑A。的垂直平分線交半圓于E,連接E4,EQ則8'在以E為圓心，E4為半徑的圓上

運動，直徑AQ的垂直平分線交：E于B'，過E作AB'的垂線交（。于C',當E,O,8'三點共線時,

OB'最長，則點8'即為所求.

【點睛】本題主要考查了圓心的確定，垂徑定理的應用，勾股定理以及在網格中確定三角形外接圓圓心,

正確作出圖形是解答本題的關鍵.

三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

19.解方程：

（1）解方程：（x—3）2=2x（3—x）；

(2)關于X的一元二次方程/一4χ-2m+5=0有兩個實數根王，4，并且XlHX2?

①求實數〃?的取值范圍；

②滿足X1X2+X∣+工2=+6，求m的值.

【答案】(1)%=3,X2~?

(2)0>?；②m=1.

2

【解析】

【分析】(1)利用解一元二次方程的步驟即可得到未知數X的值；

(2)①根據一元二次方程根的判別式即可得到團的取值范圍；②根據根與系數關系即可得到〃?的值.

【小問1詳解】

解：(x-3)2=2x(3-X),

移項，得：(x—3『+2x(x—3)=0,

化簡，得：3(x-3)(x-l)=0,

解得：％=3,x2=1,

【小問2詳解】

解：①???方程f—4x—2機+5=0有兩個實數根為，演，并且XlHX2?

b=F-4<zc=16-4(-2m+5)=8m-4>0,

1

../77>一,

2

②?.?方程X—4尤—2M+5=0有兩個實數根為，々，并且XHX2，

.-4—2m+5CU

??F+=—~=4,x∣?電=---j----=-2/71+5,

2

*.*x1x2÷x1+x2=m+6,

?*?-2m÷5+4=m2+6，

解得到：加=一3或1，

1

,.*m>—

2f

/.m=1,

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數關系，掌握根的判別式以及根與系數關系是解

題的關鍵.

20.二次函數y=α√+bχ+c(?,b,C為常數，α≠0)的頂點坐標為(1,4),與X軸交于點A(3,θ)

和8,與y軸交于點c.

(1)求二次函數解析式和點C的坐標；

(2)一元二次方程ox?+bχ+c=0的根為；

(3)當0≤x≤3時，V的取值范圍是.

【答案】(1)y=-χ2+2x+3,C(0,3)

(2)x^——1,尤2=3

(3)0≤y≤4

【解析】

【分析】(1)岔氣拋物線的對稱性結合對稱軸可求出點B的坐標，再運用待定系數法可求出拋物線的解析

式，再求出拋物線與y軸的交點C的坐標即可；

(2)由點48的橫坐標可得出以2+bχ+c=o的解；

(3)拋物開口向下，當0≤x≤3時，結合函數圖象可得出0≤y≤4

【小問1詳解】

□二次函數的頂點坐標為(1,4),

口拋物線的對稱軸為直線x=l,

□拋物線與X軸交于A8兩點，

□點”與點8關于直線χ=l對稱，

?.?A(3,0),

.?.B(TO),

把(3,0),(-1,0),(1,4)分別代入y=0χ2+歷c+c,得：

9a+3b+c=0

<a-b+c-0,

a+b+c=4

α=-1

解得，■b=2,

c=3

.?y=-Jr2+2x+3,

當X=O時，y=3,

.?.C(0,3)

【小問2詳解】

?.?A(3,0),B(-1,O),

，方程Ox2+Zzx+C=θ的根為：Xl=-I,工2=3

故答案為：Xl=-I,Λ?=3;

【小問3詳解】

Vd=-1<0,

...拋物線開口向下，如圖，

由圖象知，在0≤x≤3范圍內，y有最大值為4,有最小值為0,

的取值范圍為0≤y≤4,

故答案為：0≤yW4

【點睛】本題考查二次函數與圖象與系數關系，解題關鍵是掌握二次函數與方程及不等式的關系.

21.已知AB為。。直徑，C為O。上一點，Ao和過點C的切線互相垂直，垂足為。，Ao交OO于

點E.

(2)如圖②，過8作6/〃Ap交'O于點尸，連接CT7,若AC=4有，Z)C=4,求CT7和二。半

徑的長.

【答案】(1)見解析(2)CF=4√5;半徑為5

【解析】

【分析】(1)連接OC根據切線的性質和已知求出OC〃4),求出NOG4=NC4O=NZMC,即可得

出答案；

(2)連接EC,BC,由勾股定理求出AO=8,證明ECDCA,求出OE=2，由勾股定理求出

CE=2√5.由AC平分/DW可得CB=26，由勾股定理得A3=1()，從而可求出圓的半徑，再證明

CGF-BGC即可解決問題

【小問1詳解】

解：連接OC

.?.CDLOC,

又：CD,A。，

.?.AD//OC,

：.ZCADZACO,

?：OA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

.?.ZCAD=ZCAO,

即AC平分NDW；

【小問2詳解】

在RtaACD中，AC=4百,CO=4,NADC=90°,

.?.AD=y∣AC2-CD2=8,

連接EC,BC,如圖，

則ZOCB=ZOBC,ZOAC=ZOCA,

/W是。的直徑，

..ZACB=ZACO+NBCo=90°,

.?.ZOCA+ZABC=90°,

又8為Co的切線，

.?.ZDCO=ZOCA+ZACD=90°,

.?.ZABCZACD,

□四邊形ABcE內接于。。，

../DEC=ZABC,

：.ZDEC=ZACD,

又No=NO，

.?..DECDCA,

DEDC

"~DC~~DA'

:.CE=>JCD2+DE2=2√5,

Q/DAC=/BAC

BC=CE=2√5.，

?AB=y∣AC2+BC2=10,

.?√。的半徑為5,

延長R5交。。于點G,

.?.cr＞是（。的切線，

..OClCD,

QADlCD,

OC//AD,

?.?BF//AD,

:.AD//OC//BF

.GCOB

''~CD~^OA,

OA=OB,

..GC=CD=A.

在RlZ?CBG中，CG=4,BC=2E

由勾股定理得，BG=y]BC2-CG2=^(2√5)2-42=2.

QOC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

又NC48+NA8C=90。，

.?.NC48+NOCB=90°,

又NOCB+NBCG=9C,

NCAB=/BCG,

ZCFB=NCAB,

.-.ZCFB=ZBCG,

又NBGC=NCGF,

:.CGF-BGC

CGCF4_CF

---=----，即H:"=-/='

BGBC22√5

.?.CF=4√5

【點睛】本題考查了切線的性質，平行線的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的

關系的應用，相似三角形的判定與性質等知識，能靈活運用知識點進行推理是解此題的關鍵.

22.為了測量一條兩岸平行的河流寬度，三個數學研究小組設計了不同的方案，他們在河南岸的點A處測

得河北岸的樹〃恰好在A的正北方向.測量方案與數據如下表：

課題測量河流寬度

測量工具測量角度的儀器，皮尺等

測量小組第一小組第二小組第三小組

H

H______________________H

測量方案F

示意圖三

ABCCAB

C

點B,