考點20二項式定理一．二項式定理（1）二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)（2）通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項（3）二項式系數：二項展開式中各項的系數為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)（4）項數為n＋1，且各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n指定項的系數或二項式系數1.解題思路：通項公式2.常見指定項：若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數項(2)h(r)是非負整數?Tr＋1是整式項(3)h(r)是負整數?Tr＋1是分式項(4)h(r)是整數?Tr＋1是有理項三．二項式系數的性質四．系數和賦值法1．賦值法的應用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展開式的各項系數之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．2．二項式系數最大項的確定方法(1)如果n是偶數，則中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數最大；(2)如果n是奇數，則中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)項與第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數相等并最大．五．常見解題思路1.求形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量(常數項、參數值、特定項等)的步驟①利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式，常把字母和系數分離(注意符號不要出錯)；②根據題目中的相關條件(如常數項要求指數為零，有理項要求指數為整數)先列出相應方程(組)或不等式(組)，解出r；③把r代入通項公式中，即可求出Tr＋1，有時還需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．2.求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中與特定項相關的量的步驟①根據二項式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開，并寫出其通項公式；②根據特定項的次數，分析特定項可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開式中的哪些項相乘得到；③把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關量．3.求三項展開式特定項的方法①通常將三項式轉化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法求解．②將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形．4.二項展開式系數最大項的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數最大的項，一般是采用待定系數法，設展開式各項系數分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數最大，應用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))從而解出k來，即得．5.整除問題：用二項式定理處理整除問題，通常把冪的底數寫成除數(或與除數密切關聯的數)與某數的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面一、二項(或者是某些項)就可以了．6.近似運算：利用二項式定理近似運算時，首先將冪的底數寫成兩項和或差的形式，然后確定展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度．考點一二項式指定項的系數【例11】（2023·四川南充·統考一模）二項式的展開式中常數項為（

）A． B．60 C．210 D．【例12】（2024·貴州·校聯考模擬預測）在的展開式中，含的項的系數為（

）A．8 B．28 C．56 D．70【例13】（2023·山東青島）若的展開式中共有個有理項，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式】1．（2024·四川綿陽·統考二模）的展開式中，x的系數為（

）A． B． C．5 D．102．（2024·陜西寶雞·統考一模）展開式中的第四項為（

）A． B． C．240 D．3．（2024上·全國·高三專題練習）展開式中含項的系數為，則實數a的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高三專題練習）寫出展開式中的一個有理項為.考點二二項式系數與系數的性質【例21】（2023遼寧省大連市）的展開式中，二項式系數最大的是（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【例22】（2023·四川雅安·統考一模）的展開式中，系數最小的項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【例23】2．（2023·西藏日喀則·統考一模）已知的展開式中第四項和第八項的二項式系數相等，則展開式中x的系數為【變式】1．（2023·甘肅）已知的展開式中只有第5項是二項式系數最大，則該展開式中各項系數的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·上海嘉定·統考一模）已知的二項展開式中系數最大的項為．3．（2023上·上海·高三上海市宜川中學校考期中）二項式的展開式中，系數最大的項為．考法三（二項式）系數和【例31】（2024·重慶·校聯考一模）（多選）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【例32】．（2024·黑龍江）（多選）若，其中為實數，則（

）A． B．C． D．【變式】1．（2024·河南）（多選）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．2（2023·遼寧）（多選）若，則（

）A． B．C． D．3．（2023·浙江紹興）（多選）設，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023·山西朔州）（多選）若，，則下列結論中正確的有（

）A．B．C．D．考法四兩個二項式乘積的系數【例41】（2024·全國·模擬預測）展開式中，含項的系數為．【例42】（2024上·全國·高三專題練習）展開式中的常數項是120，則實數．【變式】1．（2024·全國·模擬預測）展開式中，含的項的系數為．2．（2024·海南海口·統考模擬預測）在的展開式中的系數為.3．（2024上·陜西西安·高三長安一中校考階段練習）的展開式中的常數項為.考法五三項式系數【例51】（2023·江西南昌）在的展開式中，項的系數為（

）A．299 B．300C． D．【例52】（2024·全國·模擬預測）在的展開式中，的系數為．【變式】1．（2023上·云南曲靖·高三校考階段練習）的展開式中的常數項為（

）A．588 B．589 C．798 D．7992．（2023·四川達州）的展開式中，的系數為（

）A．20 B． C． D．153．（2023·黑龍江大興安嶺地）展開式中含項的系數為.4．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）的展開式中的系數為.考法六二項式定理的應用【例61】（2023·山東）被8除的余數為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【例62】（2024湖北）的計算結果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【變式】1．（2023·山東菏澤）設，且，若能被13整除，則等于（

）A．0 B．1 C．11 D．122．（2023·江蘇連云港）如果今天是星期三，經過7天后還是星期三，那么經過天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六3．（2023江蘇）用二項式定理估算.（精確到0.001）4．（2023·課時練習）將精確到0.01的近似值是．1．（2024·全國·模擬預測）展開式中的常數項為（

）A．672 B． C． D．53762．（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）二項式的展開式中常數項為（

）A． B． C． D．3．（2024上·全國·高三專題練習）在的展開式中，含的項的系數為（

）A．12 B．－12 C．－2 D．24．（2023·全國·校聯考模擬預測）在的展開式中常數項為（

）A．721 B．61 C．181 D．595．（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學校考期末）的展開式的各項系數之和為1，則該展開式中含項的系數是（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東揭陽）的展開式中的系數為（

）A．200 B．210 C．220 D．2407．（2024上·河北廊坊）設，且，若能被7整除，則（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2024·遼寧）（多選）已知的展開式的各二項式系數的和為128，則（

）A．B．展開式中的系數為280C．展開式中所有項的系數和為D．展開式中的第二項為9．（2023·廣西·模擬預測）（多選）已知，則（

）A．展開式中所有二項式的系數和為 B．展開式中二項式系數最大項為第1012項C． D．10．（2023·福建泉州）（多選）已知的二項展開式中二項式系數之和為64，下列結論正確的是（

）A．二項展開式中各項系數之和為B．二項展開式中二項式系數最大的項為C．二項展開式中無常數項D．二項展開式中系數最大的項為11．（2023·浙江杭州）（多選）在二項式的展開式中，下列說法正確的是（

）A．常數項是 B．各項系數和為C．第5項二項式系數最大 D．奇數項二項式系數和為3212．（2023·上海浦東新）（多選）若，則不正確的是（

）A． B．C． D．13．（2023·福建泉州）（多選）關于，則（

）A．B．C．D．14．（2023·河北秦皇島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．15．（2023·云南楚雄）（多選）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．16（2023下·湖北武漢）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．17．（2023下·山東青島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．18．（2023·江蘇南通）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．19．（2024上·天津和平·高三統考期末）在的二項展開式中，的系數為．20．（2024上·天津南開·高三南開中學校考階段練習）在的展開式中，常數項為．（結果用數字表示）21．（2024上·天津河北·高三統考期末）已知，若的展開式中含項的系數為40，則.22．（2024上·廣東揭陽·高三統考期末）在二項式的展開式中，若常數項恰是所有奇數項的二項式系數之和的5倍，則實數a的值為．（用數字作答）23．（2023上·江蘇常州·高三校聯考階段練習）展開式中項的系數為．24．（2024·吉林白山·統考一模）已知二項式的展開式中第二、三項的二項式系數的和等于45，則展開式的常數項為．25．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統考期末）的展開式中常數項為.26．（2024·遼寧沈陽·統考一模）的展開式中常數項的二項式系數為.27．（2023·甘肅白銀）的展開式中有理項的個數為.28．（2023上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學校考期中）的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，則的展開式中系數最大的項的系數為.29．（2023上·全國·高三專題練習）在的展開式中的系數為.30．（2024·湖南株洲·統考一模）在的展開式中，含的項的系數是.（用數字作答）31．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學校考一模）除以的余數是．32．（2023上·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）若的展開式中第4項是常數項，則除以9的余數為．33．（2023上·山東·高三山東省實驗中學校考階段練習）二項式展開式的各項系數之和被7除所得余數為．34．（2024·廣東珠海）的近似值（精確到）為．35．（2024·山西朔州）的計算結果精確到0.01的近似值是．36．（2023河南）求的二項展開式中系數最大的項37（2023上·云南）求的二項展開式中系數最大的項38．（2023江蘇）求的近似值．(精確到兩位小數)1.（2024廣西）設為奇數，那么除以13的余數是（）A． B．2 C．10 D．112．（2023上·江