2023年軍隊(duì)文職《數(shù)學(xué)2》考試備考總結(jié)

基礎(chǔ)(精講)+沖刺(仿真)+督學(xué)(測評)+口訣(速記)+經(jīng)典(資料)

1、初等函數(shù)

⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、

幕函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下:

函

數(shù)

函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)

名

稱

一X

指y=^fy

數(shù)a):不論x為何值,y總為正數(shù)；

y=a'(a>0,awl)

函b):當(dāng)x=0時(shí)，y=l.

l二

數(shù)

1a):其圖形總位于y軸右側(cè)，并

對

過(1,0)點(diǎn)

數(shù)\.---■■>=log

y=log&x(a〉0,a豐1.)>：當(dāng)2>1時(shí),在區(qū)間(0,1)的

函

值為負(fù)；在區(qū)間(-,+8)的值為

數(shù)/Q-=log1.%

正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.

令a=m/n

a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y

幕是偶函數(shù)；

a

函V=Xa為任意實(shí)數(shù)b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇

數(shù)[o1函數(shù)；

這里只畫出部分函數(shù)圖形c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(~°°,0)

的一部分。無意義.

a):正弦函數(shù)是以2n為周期

y=sinx的周期函數(shù)

角_y=sin工(正弦函數(shù))-二---T-----------"

b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且

函-提、/<

這里只寫出了正弦函數(shù)

數(shù)-1|sinx|<1

反

卜〉1a):由于此函數(shù)為多值函數(shù)，

y=arcsinx(反正弦函I'1

J

1JL因此我們此函數(shù)值限制在

角作

數(shù))[-n/2,n/2]上,并稱其為反正

函-I1.°1|J

r

這里只寫出了反正弦函數(shù)!\1弦函數(shù)的主值.

數(shù)1

?1

(2)、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)

生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).

例題：、=28"+1^時(shí)節(jié)+汕8x)是初等函數(shù)。

2.極限的性質(zhì)

唯一性

有界性

局部保號性

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3.函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極

限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。

⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

若已知x-x。（或x-8）時(shí)，⑶—8.

hm（/（X）±g（x））=.4±5Innf（x）■g（x）=AB

貝j（：XTX°XTX0

/（x）A..

bin=—,（Rw0）

XT*。g（x）B

推論：

bin上.=也4,能為常數(shù)）hm[〃x）『=月",（加為正整數(shù)）

XT/XTXQ

在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡單的函數(shù)來求極

限。

,3x2+x-l

hm—；----------

例題：求+/一二+3

1ml3/+1=唆+吧公吧1=3+一=3

12

KT14K'+x'一1+3InnAx'4-hrnx-limx+lim34+1-1+37

解答：%T1XTIXTIXTI

例題：求i7/+5/-3

此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分

式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。

197犬+5/一3—9r,537

/+--y

解答：xx

4函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一：對于點(diǎn)X。的某一鄰域內(nèi)的一切X,X。點(diǎn)本身可以除外（或絕對值大于某一正數(shù)

（、\Inng（x）=月Innh（x）=A

的一切X）有g(shù)（x）w〃x）w"⑴，且'，XT*。

lim/（x）

那末?存在，且等于A

注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.

無窮小量的比較

定義：設(shè)。，B都是x7%時(shí)的無窮小量，且B在x。的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，

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lun—=0

a）：如果i"。1，則稱a是B的高階無窮小或P是a的低階無窮?。?/p>

lim-=c0

b）：如果*一*。尸，則稱a和。是同階無窮小：

hm—=1

c）：如果2%?，則稱a和B是等價(jià)無窮小，記作：asB（a與B等價(jià)）

5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對于閉區(qū)間上

的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：

最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不作證明）

介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何

值。即：J⑷=./心）=/，u在a、B之間，則在［a,b］間一定有一個(gè)&，使七）="

推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。

6等價(jià)無窮小量和兩個(gè)重要的極限求極限

lun—lun—=lim—

設(shè)as或尸s夕，且夕存在，則B葭

注:這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替,

因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來簡化求極限問題。

.sinax

hm-----

例題:1.求XtanBx

..sinax..axa

lliTl-----=11111—=一

解答：當(dāng)x-0時(shí)，sinaxsax,tanbx^bx,故：tanbxbxb

,tanx-sinx

hm---------

例題：2.求3tan'3x

..tanx-sinxtanAU-cosx)21

lim-----7----=hm-------------=lim--~=—

解答.tan'13x2。tan''3x(3x)354

1-cosx=2sin2—co2(—)2=—

注：22，2

兩個(gè)重要的極限

lim(1+-)'=e

一：X"/注：其中。為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045

工注：在此我們對這兩個(gè)重要極限不加以證明.

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第二章一元函數(shù)微分學(xué)

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則

函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則

(u±v)r=ur±vfd(u±v)=du±dv

(Cuy=Cu'd(Cu)=Cdu

(uv)f=+03d(uv)=vdu+udv

f

ffJu']vdu一udv

fw]uv-uvd\-2

IMV

函數(shù)的和差求導(dǎo)法則

法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（差）.用公式可寫為:

（u±vy=u'±v'o其中u、V為可導(dǎo)函數(shù)。

^=—+x5+7,

例題：已知.云，求丁

_/=+（”+（7/=-1婷+5x4+o=-士+5尸

解答：X/

函數(shù)的積商求導(dǎo)法則

常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則

法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面

去。用公式可寫成：（8）'=皿'

例題：已知y=3sinx+4x［求y

解些.y'=（3sin工）'+（4/）'=3（smx）f+4（x2）f=3cosx+42x=3cosx+8x

函數(shù)的積的求導(dǎo)法則

法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子

乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：=+

例題：已知/（x）=J^inx,求

=（瓜丫smx+瓜（sinx）r=—Lsinx+瓜cosx

解答：2dx

注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。

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函數(shù)的商的求導(dǎo)法則

法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)

,然、,_u'v-uv'

數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成："V2

例題：已知/（x）=tMX,求『

解答：

”、,/sinx.（smx）rcosx-sinx（cosx）rcos2x+sin2x1

=zr===

j（x）—（tsiix,?i,------,）-------------------------------------------------------——T—secx

COSXCOSXCOSXCOSX

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變

dy_dydu

量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：dx-dudx,其中u為中間變量

的

例題：已知‘nhsmx,求不

dy1、/cosx

—=（InsinX）=------（zsinx）=-------=cotx

解答：dxsinxsinx

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)的微分公式

由于函數(shù)微分的表達(dá)式為：dy=f'5dx,

導(dǎo)數(shù)公式微分公式

(cy=od(C)=0

(x)'=ld(x)=dx

（二）'=d(xK)=

(sinx)f=cosxd(sinx)=cosxdx

d(e')=/dx

(Inx)r=—d0nx)=—

X

用洛必達(dá)法則求未定式極限

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當(dāng)x-a（或x-8）時(shí)，函數(shù)/（X）,gS）都趨于零或無窮大，在點(diǎn)a的某個(gè)去心

鄰域內(nèi)（或當(dāng)Ix|>N）時(shí)，尸⑶與g'S）都存在，g'（x）￥o,且翠％g'E存在

hin----Inn-----

則：—⑼力=，9#'⑶

這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的洛必達(dá)法則

..sinax.acosaxa

lim—.....=lini-------=一

w0

sinbxXT"bcosbxb

2

rax+3

lim-------

例題：求xT9"2+d

解答：此題為未定式中的8型求解問題，利用羅彼塔法則來求解

「ax2+3,2axa

urn-------=hm----=—

xTOci'+dXT02cxc

0底co

另外，若遇到08、CQ-8、之、0°、8°等型，通常是轉(zhuǎn)化為68型

后，在利用法則求解。

用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性

判定方法：設(shè)函數(shù)了=/5）在［a,b］上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo).

a）：如果在（a,b）內(nèi)/'（幻>0,那末函數(shù)了=/6）在［a,b］上單調(diào)增加；

b）：如果在果b）內(nèi)尸（X）V0,那末函數(shù)y=、（x）在［a,b］上單調(diào)減少.

例題：確定函數(shù)/（X）=--x-1的增減區(qū)間.

解答：容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)椋?8,+8）其導(dǎo)數(shù)為：因

此可以判出：當(dāng)x>0時(shí)，故它的單調(diào)增區(qū)間為（0,+8）；

當(dāng)x<0時(shí)，故它的單調(diào)減區(qū)間為（-8,0）；

求函數(shù)極值

函數(shù)極值的定義

設(shè)函數(shù)/（X）在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，X。是（a,b）內(nèi)一點(diǎn).

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若存在著X。點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x（x。點(diǎn)除外），/（x）＜

均成立，

則說」［近）是函數(shù)/（X）的一個(gè)極大值；

若存在著設(shè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x（x°點(diǎn)除外），/a）＞m

均成立，

則說」〔近）是函數(shù)的一個(gè)極小值.

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

用方法一求極值的一般步驟是：

a）：求尸（X）；

b）：求J"?。）=0的全部的解一一駐點(diǎn)；

c）：判斷了'（X）在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。

例題：求」5）=（x+2＞（x—D'極值點(diǎn)

解答：先求導(dǎo)數(shù)

/*（%）=2（x+2）（x-1）3+（X+2）23（x—1）2=（X+2）（x—1）2（5x+4）

再求出駐點(diǎn)：當(dāng)/1曲）="時(shí)，x=-2、1、-4/5

判定函數(shù)的極值，如下圖所示

X(-8,-2)-2(-2,-4/5)-4/535,1)1(1,+8)

+0—0十0+

揚(yáng)口71

J無

大小

函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用

函數(shù)的極值是局部的。要求/（x）在g,b］上的最大值、最小值時(shí)，可求出開區(qū)間（a,b）內(nèi)全

部的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)儂）的值，從中取得最大值、最小值即為所求。

例題：求函數(shù)/（x）=x'-3x+3,在區(qū)間一3,3/2］的最大值、最小值。

解答：/（門在此區(qū)間處處可導(dǎo)，

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先來求函數(shù)的極值/⑶=3--3=0,故*=±1,

再來比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。

因?yàn)榘薉=={3)=-15,〃7)=5,

故函數(shù)的最大值為了(-1)=5,函數(shù)的最小值為/(-3)=-15o

求平面曲線的切線方程和法線方程

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性

定義：對區(qū)間I的曲線了=/(］)作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲

線在區(qū)間】下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。

曲線凹向的判定定理

定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)

的充分必要條件是：導(dǎo)數(shù)/'(X)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。

定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；

那末：若在(a,b)內(nèi)，則￥=/(工)在［a,b］對應(yīng)的曲線是下凹的；

若在(a,b)內(nèi)，尸⑶<0,則-=在［a,b］對應(yīng)的曲線是上凹的;

例題：判斷函數(shù)111*的凹向解答：我們根據(jù)定理二來判定。

11

因?yàn)閄X,所以在函數(shù)V-1nx的定義域(0,+8)內(nèi)，》<0,

故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時(shí)下凹的。

求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)

拐點(diǎn)的定義連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn)。

拐定的判定方法如果》在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來

判定V=的拐點(diǎn)。

(1)：求人⑶;(2)：令/"3)=0,解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根;

(3)：對于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0,檢查了“(%)在X。左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符

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號相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn)。

2

43=-24x=36工（工-一）

例題：求曲線歹2二'A"+1的拐點(diǎn)。解答：由3,

令/=0,得x=0,2/3

判斷y"在0,2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號，可知此兩點(diǎn)皆是曲線的拐點(diǎn)。

以及水平和鉛直漸近線

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

不定積分的基本公式

1.\kdx^kx+C(%是常數(shù))

xn+1

2.rfxrtdx=--+C("-1)

J〃+1

3.[―=In|x|+C

Jx

cdx〃

4.---------=arctanx+C

J1+x2

f