吉林省長春市市希望中學2022年高二數學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.點在圓的內部，則實數a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知函數f(x)的導函數的圖像如左圖所示，那么函數f(x)的圖像最有可能的是(

)參考答案：A3.某程序框圖如下圖所示，若輸出的s=57，則判斷框內為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A由程序框圖知第一次運行，第二次運行，第三次運行，第四次運行，輸出，所以判斷框內為.

4.，則方程組

（

）

A．有且僅有一組實數解

B．有且僅有兩組不同的實數解C．有兩組解，但不一定都是實數解

D．由于為參數，以上情況均有可能出現參考答案：B提示：原方程組可變為

(1)表示過點的直線,(2)表示橢圓,中心為,短半軸長為.由知,點在橢圓內部,因此,過點

的直線與橢圓必有兩個不同的交點.

故選.5.在區間上隨機取一個數，的值介于0到之間的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：A6.

與，兩數的等比中項是(

)A.

B.

C. D.參考答案：C7.已知向量a，b，若a∥b，則=

(

）A．

B．4

C．

D．16參考答案：C8.下列等于1的積分是 （

）A．

B． C．

D．參考答案：C9.已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則(

)A.

1

B.

C.

D.2參考答案：B略10.設，，n∈N，則（

）A. B.－ C. D.－參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0，當x∈[﹣1，1]時，函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，則m的取值范圍是

．參考答案：（，0）考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：導數的概念及應用．分析：求出函數的導數，利用函數恒成立，轉化為一元二次函數恒成立問題，即可得到結論．解答： 解：函數的導數為f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6），且當x∈[﹣1，1]時，f′（x）＞3m，即mx2﹣2（m+1）x+2＞0，在x∈[﹣1，1]上恒成立，設g（x）=mx2﹣2（m+1）x+2，（m＜0）則，即，解得＜m＜0，故m的取值范圍是（，0），故答案為：（，0）點評：本題主要考查不等式恒成立問題，求函數的導數，根據導數的幾何意義，轉化為一元二次函數是解決本題的關鍵．12.在1與2之間插入10個數使這12個數成等差數列，則中間10個數之和為__▲________.參考答案：1513.已知f是集合的映射，f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，則不同的映射有

。參考答案：19

略14.曲線上的點到直線的最短距離是___________參考答案：略15.不等式的解集是或，則

．參考答案：16.若（2x2﹣3）n展開式中第3項的二項式系數為15，則n=．參考答案：6【考點】DB：二項式系數的性質．【分析】由題意可得：=15，解出n即可得出．【解答】解：由題意可得：=15，化為：n2﹣n﹣30=0，解得n=6．故答案為：6．17.圓錐的底面半徑是3，高是4，則圓錐的側面積是．參考答案：15π考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．專題：計算題．分析：由已知中圓錐的底面半徑是3，高是4，由勾股定理，我們可以計算出圓錐的母線長，代入圓錐側面積公式S=πrl，即可得到答案．解答：解：∵圓錐的底面半徑r=3，高h=4，∴圓錐的母線l=5則圓錐的側面積S=πrl=15π故答案為：15π點評：本題考查的知識點是圓錐的側面積，其中熟練掌握圓錐的側面積公式S=πrl，其中r表示底面半徑，l表示圓錐的母線長，是解答本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓.現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取6次，記錄如下：甲

83

81

79

78

97

92

乙

90

96

79

75

80

90（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數據，并寫出乙組數據的中位數；（Ⅱ）現要從中選派一人參加數學競賽，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由.參考答案：解析：（Ⅰ）

作出莖葉圖如下：乙組數據的中位數為85

（Ⅱ），，,

,，，∴甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適。19.由四個不同的數字1，2，4，x組成無重復數字的三位數． （1）若x=5，其中能被5整除的共有多少個？ （2）若x=9，其中能被3整除的共有多少個？ （3）若x=0，其中的偶數共有多少個？ （4）若所有這些三位數的各位數字之和是252，求x． 參考答案：【考點】排列、組合的實際應用． 【專題】計算題；排列組合． 【分析】（1）若x=5，根據題意，要求的三位數能被5整除，則5必須在末尾，在1、2、4三個數字中任選2個，放在前2位，由排列數公式計算可得答案； （2）若x=9，根據題意，要求的三位數能被3整除，則這三個數字為1、2、9或2、4、9，分“取出的三個數字為1、2、9”與“取出的三個數字為2、4、9”兩種情況討論，由分類計數原理計算可得答案； （3）若x=0，根據題意，要求的三位數是偶數，則這個三位數的末位數字為0或2或4，分“末位是0”與“末位是2或4”兩種情況討論，由分類計數原理計算可得答案； （4）分析易得x=0時不能滿足題意，進而討論x≠0時，先求出4個數字可以組成無重復三位數的個數，進而可以計算出每個數字用了18次，則有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值． 【解答】解：（1）若x=5，則四個數字為1，2，4，5； 又由要求的三位數能被5整除，則5必須在末尾， 在1、2、4三個數字中任選2個，放在前2位，有A32=6種情況， 即能被5整除的三位數共有6個； （2）若x=9，則四個數字為1，2，4，9； 又由要求的三位數能被3整除，則這三個數字為1、2、9或2、4、9， 取出的三個數字為1、2、9時，有A33=6種情況， 取出的三個數字為2、4、9時，有A33=6種情況， 則此時一共有6+6=12個能被3整除的三位數； （3）若x=0，則四個數字為1，2，4，0； 又由要求的三位數是偶數，則這個三位數的末位數字為0或2或4， 當末位是0時，在1、2、4三個數字中任選2個，放在前2位，有A32=6種情況， 當末位是2或4時，有A21×A21×A21=8種情況， 此時三位偶數一共有6+8=14個， （4）若x=0，可以組成C31×C31×C21=3×3×2=18個三位數，即1、2、4、0四個數字最多出現18次， 則所有這些三位數的各位數字之和最大為（1+2+4）×18=126，不合題意， 故x=0不成立； 當x≠0時，可以組成無重復三位數共有C41×C31×C21=4×3×2=24種，共用了24×3=72個數字， 則每個數字用了=18次， 則有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7． 【點評】本題考查排列知識，解題的關鍵是正確分類，合理運用排列知識求解，第（4）問注意分x為0與否兩種情況討論． 20.如圖，在直三棱柱中，，，點是的中點，（1）求證：∥平面；（2）設點在線段上，，且使直線和平面所成的角的正弦值為，求的值.

參考答案：略21.頂點在原點，焦點在y軸的正半軸的拋物線的焦點到準線的距離為2．（1）求拋物線的標準方程；（2）若直線l：y=2x+1與拋物線相交于A，B兩點，求AB的長度．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線的標準方程；（2）直線l：y=2x+1與拋物線聯立，利用韋達定理及拋物線的定義，即可求AB的長度．【解答】解：（1）由題意，焦點在y軸的正半軸的拋物線的焦點到準線的距離為2，可知p=2．…∴拋物線標準方程為：x2=4y…（2）直線l：y=2x+l過拋物線的焦點F（0，1），設A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2…聯立得x2﹣8x﹣4=0…∴x1+x2=8…∴|AB|=y1+y2+2=2x1+1+2x2+1+2=2（x1+x2）+4=20…【點評】本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，正確運用拋物線的定義是關鍵．22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．參考答案：（1）；；（2）【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐標方程；根據極坐標與直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（2