黑龍江省綏化市東興辦事處中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A.1 B.2 C. D.參考答案：C試題分析：拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為.由漸近線的對稱性可知，焦點(diǎn)到兩漸近線距離相等.不妨計算焦點(diǎn)到直線即的距離，，選.考點(diǎn)：1.雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)；2.點(diǎn)到直線的距離公式.2.個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表，根據(jù)規(guī)律，2011到2013，箭頭的方向依次為（

）A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑參考答案：B略3.已知變量滿足，則的最大值為

(

)

A.

B.

C.16

D.64參考答案：b略4.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（﹣1，0）的直線在第一象限交拋物線于A、B，使，則直線AB的斜率k=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】由題意可得直線AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0，代入拋物線y2=4x化簡求得x1+x2和x1?x2，進(jìn)而得到y(tǒng)1+y2和y1?y2，由，解方程求得k的值．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），直線AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0．代入拋物線y2=4x化簡可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1?x2=1．∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，y1?y2=k2（x1+x2+x1?x2+1）=4．又=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）=x1?x2﹣（x1+x2）+1+y1?y2=8﹣，∴k=，故選：B．5.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），那么|PM|的最小值是（）A． B．

C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出|PM|的最小值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，|PM|的最小值為M（3，0）到直線x﹣y=0的距離，等于．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．6.等腰三角形ABC底邊兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(4，2)、C(－2，0)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是(

)A．

B．C．

D．參考答案：C7.下列命題：①空集是任何集合的子集；②若整數(shù)是素數(shù)，則是奇數(shù)；③若空間中兩條直線不相交，則這兩條直線平行；④其中真命題的個數(shù)是

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：B8.已知方程，它們所表示的曲線可能是

A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.A. B. C. D.參考答案：D分析：根據(jù)公式，可直接計算得詳解：，故選D.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復(fù)數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負(fù)號導(dǎo)致出錯.10.統(tǒng)計中有一個非常有用的統(tǒng)計量，用它的大小可以確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”，下表是反映甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按學(xué)生考試及格與不及格統(tǒng)計成績后的2×2列聯(lián)表.

不及格及格總計甲班123345乙班93645總計216990則的值為（

）A．0.559

B．0.456

C．0.443

D．0.4參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為

．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由已知得=+，從而得到，由此求出a=﹣2．【解答】解：==+，∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，∴，解得a=﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

參考答案：（或）略13.雙曲線M的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，若雙曲線M上存在點(diǎn)P，使是有一個內(nèi)角為的等腰三角形，則M的離心率是______；參考答案：【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應(yīng)該為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應(yīng)為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，且點(diǎn)在第一象限，故，等腰有一內(nèi)角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線的定義可得，，即，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.14.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，測得一組數(shù)據(jù)如下表：若已求得它們的回歸直線方程的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為．x24568y1020403050參考答案：y=6.5x﹣2.5【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，寫出樣本中心點(diǎn)，由回歸直線的斜率可求回歸直線的方程【解答】解：∵，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（5，30）把樣本中心點(diǎn)（5，30）代入回歸直線方程，可得a=﹣2.5∴回歸直線的方程為y=6.5x﹣2.5故答案為：y=6.5x﹣2.515.設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均是正整數(shù)，前項和為，且，，，則=

．參考答案：402416.拋擲兩顆質(zhì)量均勻的骰子各一次，其中恰有一個點(diǎn)數(shù)為2的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式．【專題】計算題；對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】求出所有的基本事件個數(shù)和符合要求的事件個數(shù)，代入古典概型的概率公式即可．【解答】解：拋擲兩顆質(zhì)量均勻的骰子各一次共有6×6=36個基本事件，其中恰有一個點(diǎn)數(shù)為2的事件共有10個，分別是（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），∴恰有一個點(diǎn)數(shù)為2的概率P==．故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了古典概型的概率計算，屬于基礎(chǔ)題．17.已知x=0是函數(shù)f（x）=（x﹣2a）（x2+a2x+2a3）的極小值點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為x＜0時，f′（x）=3x2+2（a2﹣2a）x＜0恒成立，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．【解答】解：f（x）=（x﹣2a）（x2+a2x+2a3）=x3+（a2﹣2a）x2﹣4a4，故f′（x）=3x2+2（a2﹣2a）x，x=0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，則x＜0時，f′（x）=3x2+2（a2﹣2a）x＜0恒成立，即2（a2﹣2a）＞0，解得：a＞2或a＜0，故答案為：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列，…的前n項和為Sn.（1）計算的值，根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中猜想的Sn表達(dá)式.參考答案：（I）

猜想

（II）①當(dāng)時，左邊=，右邊=，猜想成立．

②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，那么，

所以，當(dāng)時猜想也成立．

根據(jù)①②可知，猜想對任何都成立．

19.已知等差數(shù)列{an}滿足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，該數(shù)列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項．（Ⅰ）分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式an，bn；（Ⅱ）設(shè)，若恒成立，求c的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的公差與公比，a1=1．由題可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項，從而可得（2+d）2=2（4+2d），根據(jù)an+1＞an，可確定公差的值，從而可求數(shù)列{an}的通項，進(jìn)而可得公比q，故可求{bn}的通項公式（Ⅱ）表示出，利用錯位相減法求和，即可求得c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的公差與公比，a1=1．由題可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項，∴（2+d）2=2（4+2d）?d=±2．∵an+1＞an，∴d＞0．∴d=2，∴an=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴bn=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴Tn=3﹣．∴Tn+﹣=3﹣≤2，∴滿足條件恒成立的最小整數(shù)值為c=2．【點(diǎn)評】本題以等差數(shù)列與等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列通項公式的求解，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查錯位相減法求數(shù)列的和，綜合性強(qiáng)20.（本小題滿分12分）用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積，參考答案：設(shè)容器底面短邊的邊長為，容積為.則底面另一邊長為高為：-------------------------------2分由題意知：-----------------------4分則--------------------------------------------6分令，解之得：（舍去）又當(dāng)時，為增函數(shù)

時，為減函數(shù)所以得極大值，---------------------------9分這個極大值就是在時的最大值，即此時容器的高為1.2所以當(dāng)高為1.2m時，容器的容積最大，最大值為1.8m------------------12分21.已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且以為漸近線。（1）求雙曲線方程．（2）求過雙曲線右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程參考答案：（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)雙曲線方程為則漸近線方程為所以解得

則雙曲線方程為

（2）直線的傾斜角為直線的斜率為，

故直線方程為

即

略22.在極坐標(biāo)系中,曲線C1的極坐標(biāo)方程是，點(diǎn)P是曲線C1上的動點(diǎn).點(diǎn)M滿足(O為極點(diǎn)).設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C2.以極點(diǎn)O為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，已知直線l的參數(shù)方程是，(t為參數(shù)).（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；（2）設(shè)直線l交兩坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值.參考答案：(1)的直角坐標(biāo)方程為，