青島二中2023-2024學年第一學期12月份階段練習高二試題（數學）時間：120分鐘滿分：150分8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1m2xy0l2x10l21.若直線1：與直線2：垂直，則實數m的值為（）1121A.0B.或0C.0或D.22x2y22.與橢圓C：1共焦點且過點P2的雙曲線的標準方程為（）6x2y2x2y2111A.C.B.D.16763x2y2x2y2136916的前項和為，若，且a2，a3，4成等差數列，則（））anSna222S53.設等比數列nA.7B.12C.15D.31(0,2)相切于點的圓的方程是（2xy10xy20B.x24.求圓心在直線上，且與直線A.x12y12y122424C.x12y12D.x2y12的前項和為，（）anSn32a413160，則11565.已知等差數列nA.240B.180C.120D.60滿足，n1，則滿足不等式an1nn1an212nn的最大正整數為6.若數列n（）A.28B.29C.30D.317.細心的觀眾發現，2023亞運會開幕式運動員出場的地屏展示的是8副團扇，分別是梅蘭竹菊松柳荷桂．“梅蘭竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大國風范“．團扇是中國傳統文化中的一個重要組成部分，象征著團結友善．花瓣型團扇，造型別致，扇作十二葵瓣形，即有12個相同形狀的弧形花瓣組成，花瓣的圓心角為，花瓣端點也在同一圓上，12個弧形花瓣也內切于同一個大圓，圓心記為O，若其中一片花瓣所在圓圓心記為C，兩個花瓣端點記為A、B，切點記為D，則不正確的是（）O,C,DA.在同一直線上B.12個弧形所在圓的圓心落在同一圓上D.弧形所在圓的半徑BC變化時，存在BCC.30x22y221ab0F1Fl過且與雙曲線C左支交于2F8.雙曲線C：，2ab2a2aS點P，原點O到直線l的距離為，且，則雙曲線C的離心率為（）△1A2B.3C.2D.5二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.x2y2的公比為q，曲線）aCn:1，則下列敘述正確的有（9.已知首項為正數的等比數列nnn1A.若CB.若q為圓，則q1n1，則C離心率為2n0qC1q離心率為C.D.n1qCyx是雙曲線且其漸近線方程為nq的前項積為，且滿足1，ann01a2023a20242，10.已知各項均為正數的等比數列n，則（）1a00q1a202320251B.A.nTTT1D.使得nn的最小正整數為4047C.對任意的正整數，有n404711.歐拉函數nnN*的函數值等于所有不超過正整數1nn32，42，則（）A.4610B.當為奇數時，n1nn2n32的前項和小于n2nnC.數列為等比數列D.數列312.已知拋物線C:y22px(p0)的焦點為，準線為，過FlF的一條直線與C交于A，B兩點，若點M在l上運動，則（）AMl時，A.當B.當AMAF2時，C.當D當時，時，,M,B三點的縱坐標成等差數列AMBM2AFBF三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分中，若，，則的通項公式為a12n1nn1a13.在數列______．nn14.已知圓C：x12y22l:mxmy4m2025，直線，直線l與圓C交于,BAB______________.兩點，最短弦長15.英國數學家亞歷山大·艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數標度單位.一個八度音程為1200音分，它們的頻率值構成一個等比數列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個音的頻率值構成一個公比為2的等比數列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若m32n，則kl_________x22y22F1F2分別為雙曲線C1ab0F116.已知，：且斜率存在的直線l與雙ab8c軸的上方，、兩個點到軸的距離之和為，若C曲線的漸近線相交于,B兩點，且點A、B在xABx52BF，則雙曲線的漸近線方程是_____________________.2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.xy60A3AC17.已知頂點上的高所在直線方程為AB上的中線CM所在的直線方程為5x3y140.（1）求直線AC的方程：（2）求的面積.的前項和為，anSnS4，9018.已知等差數列.n（1）求的通項公式；anSnSn（2）求的最小值，并指出取何時取得最小值.n的前項和為，anSnSnn12n3.19.數列n（1）求數列的通項公式；an2nnc的前項和nnncnnN*，求數列（2）.2到拋物線的焦點的距離是3MaF.20.已知拋物線C:y22pxp0上的一點（1）求拋物線C（2）已知過點F的方程；的直線與C交于A，B兩點，線段AB的中垂線與C的準線交于點，且線段AB的lDABN中點為，設.，求實數的取值范圍5，且中，an12n1n2.21.已知數列（1）求證：數列a2是等比數列，并求的通項公式；annn14a2m322n0m,nN，總有*（2）設b，cnn，若對任意3，其中m37bc成立，求的取值范圍.mn3x22y221ab0的上頂點K0,2F2,0F2,022.設橢圓12abA1A.2別為、（1）求橢圓方程；2P交y軸于點Q，若△1PQ（2）已知點P的面積是△AFP面積的222P倍，求直線的方程；22FF1使得△KMN（3）如圖過橢圓的上頂點K作動圓的切線分別交橢圓于M、N兩點，是否存在圓為直1角三角形?若存在，求出圓的半徑r；若不存在，請說明理由.F1青島二中2023-2024學年第一學期12月份階段練習高二試題（數學）時間：120分鐘滿分：150分8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1m2xy0l2x10l21.若直線1：與直線2：垂直，則實數m的值為（）1121A.0B.或0C.0或D.22【答案】C【解析】m【分析】根據直線垂直列方程，從而求得的值.ll12m2m2m2mm2m0，【詳解】由于，所以212解得m0或故選：Cm.x2y22.與橢圓C：1共焦點且過點P2的雙曲線的標準方程為（）6x2y2x2y2111A.C.B.D.16763x2y2x2y2136916【答案】C【解析】ca,b的值即可求解.x22y221，【詳解】由題意不妨設所求雙曲線的標準方程為ab則c由雙曲線的定義可知1563，即橢圓與所求雙曲線的公共焦點為F1，,F223222322333232a2c61FPF2，12所以a3,cb936，x2y21.所以所求雙曲線的標準方程為36故選：C.的前項和為，若Sn，且a2，a3，4成等差數列，則（）ana222S53.設等比數列nA.7B.12C.15D.31【答案】D【解析】【分析】根據等比數列，等差中項等知識求得等比數列的首項和公比，從而求得anS.5【詳解】設等比數列的公比為，qq0，ana2aq221依題意，則，2aaa221q2aqaq23113242，4q22q2q4q0，2aqqaqaqq2221111125q=2a11解得，則，所以S531.12故選：D4.求圓心在直線2xy10xy20(0,2)相切于點的圓的方程是（上，且與直線）2y12B.x2y12A.x12424C.x12y12D.x2y12【答案】A【解析】xy20【分析】首先由題意可知圓心也在直線上，聯立即可得圓心坐標，進而得半徑，從而即可得解.(0,2)xy20垂直的直線上，而該直線方程為【詳解】由題意圓心也在過點且與直線，即，x0xy20y20xy20xy1，即圓心坐標為-)(0,2)與圓心-)的距離聯立，解得，半徑為點2xy10112，故所求圓的方程為x12y122.故選：A.的前項和為，（）anSn32a413160，則11565.已知等差數列nA.240B.180C.120D.60【答案】A【解析】n【分析】根據等差數列通項公式以及前項和公式的基本量計算來求得正確答案.【詳解】設等差數列的公差為ad，na2aa4a20da5d40，34111156155d515d6130d6a5d640240.1故選：A滿足，n1，則滿足不等式的最大正整數為an1nn1an212nn6.若數列n（）A.28B.29C.30D.31【答案】B【解析】aa,求得正確答案.n【分析】利用累乘法求得，由此解不等式n【詳解】依題意，數列滿足，n112，an1nn1an2nnn123nn1345nn1n2aa2，所以n1n1n1aa123n2n112nn1a1anna也符合，所以，是單調遞增數列，nn，ann1n31n30031n30，由，解得nn所以的最大值為29.故選：B7.細心的觀眾發現，2023亞運會開幕式運動員出場的地屏展示的是8副團扇，分別是梅蘭竹菊松柳荷桂．“梅蘭竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大國風范“．團扇是中國傳統文化中的一個重要組成部分，象征著團結友善．花瓣型團扇，造型別致，扇作十二葵瓣形，即有12個相同形狀的弧形花瓣組成，花瓣的圓心角為，花瓣端點也在同一圓上，12個弧形花瓣也內切于同一個大圓，圓心記為O，若其中一片花瓣所在圓圓心記為C，兩個花瓣端點記為A、B，切點記為D，則不正確的是（）O,C,DA.在同一直線上B.12個弧形所在圓的圓心落在同一圓上D.弧形所在圓的半徑BC變化時，存在BCC.30【答案】D【解析】【分析】根據兩個圓的位置關系逐個判斷即可.【詳解】已知外圈兩個圓的圓心都為O，令最外面圓半徑為，花瓣所在圓半徑為r，R對于A：因為大圓與小圓內切且切點為D，所以切點與兩個圓心共線，即O,C,D在同一條直線上，A正確；Rr對于B：由兩圓內切可知為定值，所以12個弧形的圓心在同一圓上，B正確；360對于C：因為12個弧形花瓣也內切于同一個大圓，所以AOB30，C正確；12CACB1OCOC得△△COB3015，對于D：由，所以2OAOB1ACB120120120，又，所以OCB3602所以45COB，所以恒成立，D錯誤，故選：Dx22y221ab0F1Fl過且與雙曲線C左支交于2F8.雙曲線C：，2ab2a2aS點P，原點O到直線l的距離為，且，則雙曲線C的離心率為（）△1A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】S△12a2aPF1,PF，2【分析】由題意首先根據對稱性得出，又，所以可依次求得FFc，又，所以結合直角三角形中銳角三角函數的定義12△22c2b又，再由平方關系可得4a2222c24a2c2ab以及余弦定理可得方程【詳解】如圖所示：，結合平方關系離心率公式運算即可求解.cOAPFa2c2cab，22，垂足為點A，由題意，又，所以2bPFF，21c1a又因為原點OFF是的中點，所以22SS2a2，12△2△122PF4a,PFPF2a4a2a2a解得，212FFc又，124a2222c2ab所以由余弦定理cosPFF，整理得a2c24ab，2124a2cc2bbb2，又c2a2b2，所以4a2b24ab0，即4a40，解得aaba22從而所求離心率為e1故選：D5.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是畫出圖形，通過數學結合、雙曲線的定義以及解三角形知識即可順利求解，綜合性比較強.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.x2y2的公比為q，曲線）aCn:1，則下列敘述正確的有（9.已知首項為正數的等比數列nnn1A.若CB.若q為圓，則q1n1，則C離心率為2n0qC1q離心率為C.D.n1qCyx是雙曲線且其漸近線方程為nq【答案】AC【解析】【分析】對于A，若C為圓，則aaa，求出B，為等軸雙曲線，求其離心率qCnnnn11C，當0q1時，曲線Cn為雙是焦點在xD，故曲線Cn曲線，求其漸近線方程.x2y2【詳解】對于A，首項為正數的等比數列的公比為，曲線q1，若C為圓，則nanCn:anan1nn11，所以Cn:xA正確；2y210q1，即曲線Cn為圓心為0，半徑為1的圓，故，所以q1ana(n1ana對于B，當時，，所以與互為相反數且不為0，n11x2y2故Cn:1為等軸雙曲線，故曲線C的離心率為2，故B錯誤；nanan1x2y21x焦點在軸上的橢圓，對于C，0q1，數列為遞減數列，0an1an，所以曲線Cn:anan1n1n11q故的離心率為，故C正確；q0時，與ana異號，n1對于D，當x2y2x2y2故曲線Cn:1為雙曲線，其漸近線為0，即yqx，故D錯誤.anan1anan1故選：AC.的前項積為，且滿足1，2，ann01a2023a202410.已知各項均為正數的等比數列n，則（）1a00q1a202320251B.A.nTTT1D.使得nnC.對任意的正整數，有的最小正整數為4047n4047【答案】BD【解析】【分析】根據等比數列的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.aq0,0a1【詳解】依題意，，n10a10a1由于a1a10，所以2023或2024.a20241a120230a120240q10aq，則1矛盾，1若，則a2023110a120231q，所以A選項錯誤.所以，則a2024120241，選項正確220232025B.0a12023的最小值為TTT，即n2023T，所以C選項錯誤.由于，所以1n2023a2024，aa211a2023a2024222a1，由于，所以，所以1，所以a10a1q12023TTn時，n1，由于，且，所以當a202414046T1nn，所以D選項正確.綜上所述，使得的最小正整數為故選：BD11.歐拉函數*nnN的函數值等于所有不超過正整數1nn32，42，則（）A.4610B.當為奇數時，n1nn2n32的前項和小于n2nnC.數列為等比數列D.數列3【答案】ACD【解析】【分析】根據“歐拉函數*nnN”的定義對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】nn不超過正整數，且與互質的正整數nn211234561,232422,3,41,52,3,4,5,61,3,5,76467894,5,7,8107,9487,277,26184622410，A選項正確.A選項，B選項，9691，B選項錯誤.C選項，由列表分析可知，對于2n，“不超過正整數2n，且與2n互質的正整數”為：2n2n12n1不超過2n的奇數，則2n2n1，則2n，222n122n，所以是等比數列，所以C選項正確.2nD選項，有列表分析可知，對于n，“不超過正整數2n，且與2n互質的正整數”為：3n從1到n中，除掉的倍數，則33n3n2n1，3n12232nn1122n12n1則，，2n1233n31223n121232nnn13323232nn是等比數列，前項和為所以，223233231所以D選項正確.故選：ACD12.已知拋物線C:y22px(p0)的焦點為，準線為，過F的一條直線與C交于A，B兩點，若點FlM在l上運動，則（）AMl時，A.當AMAF2時，B.當C.當時，,M,B三點的縱坐標成等差數列AMBM2AFBF時，D.當【答案】ACD【解析】1y2y1y2AAB方程與拋物線方程求得、kk1，可判斷B項，由直角三角形性質及拋物線的定義可判斷C項，設出點M坐標，計算可得可得，運用等面積法、直角三角形性質及基本不等式可判斷D項.【詳解】對于選項A：如圖所示，AMl，故選項A正確；由拋物線定義可知，若，則對于選項B：如圖所示，AMAF當時，為正三角形，π所以直線AB的傾斜角為，3p2y3x,Ax,y,Bx,y，設直線AB的方程為1122p2可得y3x2py2yp20，由3y22px3py3p,y，12313，故選項B錯誤；所以y2A,B,BAB的中點N，如圖所示，對于選項C：過點作直線垂直于l，垂足分別為，作p2p2A,y,B,y由選項B可知，21又因為，1AB所以，2，由拋物線定義可知1，所以2所以M為AB的中點，,M,BC三點的縱坐標成等差數列，故選項正確；所以對于選項D：如圖所示，pM,ykABk的斜率為，2設，直線的斜率為，直線01200p，1pp則221y21y22p1y2k212y2y22由B項可知，12p2pyy2y，0由選項C可知122ppk所以所以，21y200pypkk1，120所以，又因為，AMBMAB，且||AFBF，2所以AMBMABAFBFAFBF2AFBF由基本不等式可得，當且僅當|AF|BF|時等號成立.故選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分中，若，，則的通項公式為a12n1nn1a13.在數列______．nnn2n2【答案】an2【解析】an1nn1變為n1nn1，利用累加法即可求得答案.【分析】將【詳解】由題意可知數列中，a21nn1，aa，n1nan1nn1，故aaaaaaaan所以n12132n1(nn2)n2n2223n2，22n2n2故答案為：an214.已知圓C：x12y22l:mxmy4m2025，直線，直線l與圓C交于,BAB______________.兩點，最短弦長【答案】45【解析】【分析】先求得直線l所過定點，然后根據圓的幾何性質求得最短弦長.【詳解】直線l:m1xm1y4m20，即3xy4mxy20，3xy40xy1D，由，解得，設xy20由于11212525，所以D在圓C2內，圓C:x1225的圓心為C2y2，半徑r=5，2當CDAB時，最短，2545.CD2225，所以的最小值為252故答案為：4515.英國數學家亞歷山大·艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數標度單位.一個八度音程為1200音分，它們的頻率值構成一個等比數列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個音的頻率值構成一個公比為2的等比數列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若m32n，則kl_________【答案】【解析】【分析】根據等比數列的通項即可由指數運算求解.【詳解】由題意可知，1200個音的頻率值構成一個公比為2的等比數列，1200n1k1l1a==,na1設第一個音頻率為，所以aa2，故ma22，1n11k1112002kl13mnlk12002212002因為m32n，所以，l1112002kl13，解得kl400.所以故答案為：.x22y22F1F2分別為雙曲線C1ab0F116.已知，：且斜率存在的直線l與雙ab8c軸的上方，、兩個點到軸的距離之和為，若C曲線的漸近線相交于,B兩點，且點A、B在xABx52BF，則雙曲線的漸近線方程是_____________________.26【答案】yx3【解析】b0Mx,y【分析】設是AB的中點，先求得M點的坐標，然后利用點差法求得，進而求得正確答案.0a【詳解】設，依題意yy0，設的中點為0，Ax,y,Bx,yABMx,y,y11221200012BFMF2ABFFc2c2，由于由于，所以，所以，所以，2122c1y4cyyy02，125252ccMc4c4c5c,所以0c2，所以,或M，55555由于在雙曲線的漸近線上，Ax,y,Bx,y1122212212xy00ba221yyyy1abyb2120kkFc,0，，2所以，兩式相減并化簡得k1x21x20x2222222ac4cMba22418,若，則不符合題意，舍去.4c553305cc5cc55ba224123ba6M,若，則，所以，34c305cc56所以漸近線方程為yx.36故答案為：yx32BFF2【點睛】本題解題的關鍵點有兩個，一個是，則在線段AB的垂直平分線上，由此可以構2建中點和斜率的關系式；另一個關鍵點是點差法，利用點差法可以減少運算量，可以快速求得問題的答案.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A3ACxy6017.已知頂點上的高所在直線方程為AB上的中線CM所在的直線方程為5x3y140.（1）求直線AC的方程：（2）求的面積.xy60【答案】（1）（2）【解析】1）利用點斜式求得直線AC的方程.（2）先求得C,B【小問1詳解】兩點的坐標，結合點到直線的距離公式、兩點間的距離公式求得三角形的面積.xy60，AC邊上的高所在直線方程為xy60AC的斜率為1，直線的斜率為1，所以直線y3的方程為x3,xy60.AC所以直線【小問2詳解】邊AB上的中線CM所在的直線方程為5x3y140，xy60x4y2解得由C4,2.，即5x3y140a3b3設Ba,b，則M,，22ab60aba3b3所以，解得.B26，即53140222026640AC1222，B到xy60的距離為202，221220220.所以三角形的面積為2的前項和為SnS490，，ann18.已知等差數列.（1）求的通項公式；anSnS（2）求的最小值，并指出取何時取得最小值.nna5n35n【答案】（1）S，對應n6或7（2）的最小值為n【解析】1）根據已知條件求得等差數列的首項和公差，從而求得ana.na0nSnSn（2）利用，求得取得最小值時對應的值，進而求得的最小值.n【小問1詳解】設等差數列的公差為，adnS4a6d9041ad5，解得，1依題意，，a19d1510a30n155n35.所以n【小問2詳解】a5n350，解得1n7,nNn*由，n6或n7時S取得最小值，n所以當SS6a15d1807510561且的最小值為.n的前項和為，anSnSnn12n3.19.數列n（1）求數列的通項公式；an2nnc的前項和nncnnN*，求數列（2）.n2a23nnN*【答案】（1）n6n33Tnn,nN*（2）44【解析】1）由題意直接由aSaSS以及nnN*時，nnn1即可求解.11（2）發現數列“差比數列之積”cn求解.【小問1詳解】1112138a1由題意，3n2n5232，n當nnN*時，anSnSn13n12n3當n1時，也有a23281成立，1綜上所述，數列的通項公式為a23nnN*.ann【小問2詳解】2nacna23nnN*n3nN，nn*由（1）可知，所以由題意n2T131232n3n，T132233nn1，所以nn313n3nn1nn1，兩式相減得n3132n136n33所以數列的前項和為.cnTnn,nN*n44到拋物線的焦點的距離是3MaF.20.已知拋物線C:y22pxp0上的一點（1）求拋物線C的方程；（2）已知過點F的直線與C交于A，B兩點，線段AB的中垂線與C的準線交于點，且線段AB的lDN中點為，設AB，求實數的取值范圍.2y4x【答案】（1）1（2）【解析】1）根據拋物線的定義求得，進而求得拋物線的方程.2p（2AB的方程并與拋物線方程聯立，化簡寫出根與系數關系，求得直線的方程并與準線方程求得D，根據兩點間的距離公式、弦長公式、對鉤函數等知識來求得實數的取值范圍.【小問1詳解】p2p2根據拋物線的定義有，2所以拋物線C的方程為2y4x.【小問2詳解】，拋物線的準線為x=1，依題意可知直線F1,0ABx與軸不重合，設直線AB的方程為x1x1，x2y440，由消去并化簡得y24x，16m160，設Ax,y,Bx,y2211221y162yy4,yyxxmyy24m22則，1x21，121212122mN2m2，由于垂直平分AB，所以y2mmx2m21,y2mm0，3所以直線的方程為4m，x=1得my2m3my2m34m，則D2m3令2m2222m32m22ABAB2，22x12p2m222m22m2222m324m214m24m24216m2111111m2m44，所以2.442中，52n1n2，且a121.已知數列.n（1）求證：數列a2是等比數列，并求的通項公式；annn14a2m322n0m,nN，總有*（2）設b，cnn，若對任意3，其中m37bc成立，求的取值范圍.mn3n11【答案】（1）證明詳見解析，n23273,（2）【解析】1）利用構造法，結合等比數列的定義證得數列a2是等比數列，先求得a2，進而求得nnan.（2）利用二次函數的性質求得b的最小值，利用商比較法求得的最大值，從而列不等式來求得的取cmn值范圍.【小問1詳解】a512n1n2，依題意，，且1112aa1an12a1a2所以所以，則，n1nnn22n12n212，所以數列ana231是首項為，n1n112121公比為的等比數列，所以n23,n23.2【小問2詳解】n1123n1n1n14a242，nn333337依題意，0，且對任意m,nN*，總有bc成立，mn37bc所以，mn3m3222，當m3時取得最小值.,bmm443c,c,c，1233n123nn12n2n當n2時，n2，23n12nn3n3214nn141，所以nn2n3時，當則時，，當，33477321或，解得3373綜上所述，的取值范圍是,.73bc【點睛